Aplica

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Aplicações de Métodos Matemáticos
Prof. Nestor Roqueiro Laboratório de Controle de
Processos EQA - UFSC e-mail nestor_at_enq.ufsc.br
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O Problema

• Os modelos matemáticos que representam processos
  ou equipamentos são sistemas de equações
  algébricas, diferenciais e integrais que, em
  geral, não tem solução analítica.
• Para obter soluções, portanto, devem ser
  utilizados métodos numéricos.
• Para solução numérica de problemas de medio e
  grande porte é necessário o auxilio de
  computadores.
• E para que os computadores funcionem são
  necessários programas.

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A Solução

• Comprar o software que resolva a classe de
  problemas que deseja tratar
• Desenvolver seus proprios programas
• Contratar alguem que desenvolva os programas
• Fazer combinações das três propostas acima

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A Melhor Solução

• A melhor solução depende da verba disponível mas,
  em geral, o conhecimento de uma linguagem de
  programação de alto nível e programas que
  auxiliem na resolução de problemas numéricos
  costumam ser a solução mais eficiente, e mais
  barata.

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Os Problemas Matemáticos

• Os problmas matemáticos que sugem na modelagem de
  processos e equipamentos são
• Solução de sistemas de equaçoes algébricas
• Solução de sistemas de equações diferencias
  ordinárias
• Solução de sistemas de equações diferenciais
  parciais
• Ajuste de curvas e interpolação
• Otimização

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A Aula de Hoje

• Nesta aula abordademos
• Solução de sistema de equações algébricas
  (raízes)
• Solução numérica de EDO com condições iniciais
• Solução numérica de EDO com condições de contorno
• Solução numérica de EDP
• Interpolação

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Software

• Usaremos o Matlab que combina uma linguagem de
  programação de alto nível com bibliotecas de
  programas de diversas áreas do conhecimento. Esta
  característica facilita a implementação de
  soluções numéricas.

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Objetivo da Aula

• Resolver numericamente problemas matemáticos
  provenientes da modelagem de processos ou
  equipamentos.

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Reator Continuo em Estado Estacionario

• O modelo é
• os programas usados para resolver são
• reator e cstr

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Simulação de um tanque de nivel

• O tanque de nivel está representado pela equação
• os programas usados para resolver são edo,
  nivel e tanque.

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Pellet de Catalisador

• O pellet está representado pela equação
• os programas para solução numérica são pell e
  pellet

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Matemática simbólica

• Em uma calculadora a linha de comando
• ysin(x)
• dará erro se não for atribuído previamente
• um valor a
• x

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• Em cálculo simbólico é possível operar expressões
  como sin(x) sem atribuir valores numéricos às
  variáveis.
• Ex Cálculo da derivada de sin(x)
• gtgtf'sin(x)'
• gtgtdiff(f)
• gtgt
• cos(x)

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Outros exemplos

• Determinante de uma matriz simbólica
• Msym('a,bc,d')
• determ(M)
• Integral
• fint('x3/sqrt(1-x)','a','b')

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Conversão de variáveis

• Para converter uma variável simbólica em numérica
  usa-se numeric
• Ex
• phi'(1sqrt(5))/2'
• numeric(phi)

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Substituição de variáveis

• Para substituir uma variável em uma expressão
  simbólica usa-se subs
• Ex
• f'ax2bxc'
• subs(f,'s','x')

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Derivação

• Para derivação analítica utiliza-se a função diff
  
• Ex
• f'ax3bx2-xc'
• diff(f,'b',2)deriva em relação a b duas vezes

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Integração

• Para integração analítica utiliza-se a função int
  
• Ex
• f('sin(s2x)')
• int(f,'s','m','n')

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Resolução de equações algébricas

• Um sistema de equações algébricas
• e2'ucdv-10'
• e1'd(cu)/2v'
• e3'vduc/4'
• e4'vuc8d-1'
• resolve-se usando
• uu,cc,dd,vvsolve(e1,e2,e3,e4,'u,c,d,v')

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Resolução de equações diferenciais

• Uma equação diferencial pode ser resolvida usando
  a função dsolve
• Ex
• ydsolve('D2y-2Dy-3y0','y(0)0','y(1)1')
• tentar também
• ydsolve('D2y-2Dy-3y0')

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Formatação e simplificação

• Para simplificar expressões usa-se a função
  simple
• f'(1/x36/x212/x8)(1/3)'
• ysimple(f)
• e para melhorar a apresentação usa-se
• pretty(y)

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Representação gráfica

• Para representar graficamente uma expressão
  simbólica como
• y'-5t220t30'
• ezplot(y)

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Simulação de um tanque de nível

• O tanque de nível está representado pela equação
• A solução analítica pode ser calculada como
• hdsolve('Dhq/A-Cvh')
• e a solução pode ser observada usando
• pretty(h)

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• Para representar graficamente usa-se a função
  ezplot, mas antes devem ser substituídos os
  valores de q,A,C1 e Cv
• hsubs(h,'2','q')
• hsubs(h,'5','C1')
• hsubs(h,'1','Cv')
• hsubs(h,'10','A')
• ezplot(h)

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• Problema Proposto
• Resolver y-xy-y0
• Para resolver
• ydsolve('D2y-xDy-y0','y(0)1','Dy(0)2')
• Para representar graficamente
• ezplot(y)

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Pellet de Catalisador

• O pellet está representado pela equação
• E a linha de comando para resolver é
• Cadsolve('x2D2yxDyx2yk0','Dy(0)0','y(R)
  Cas','x')
• Casubs(Ca,'1','Cas')
• Casubs(Ca,'1','k')
• Casubs(Ca,'1','R')
• plot(1/besselj(0,1)besselj(0,00.011))

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Exemplos

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Soluções

• caso1
• ydsolve('Dy1y2','x')
• caso2
• ydsolve('2xyDy-y2x20','y(1)1','x')
• ezplot('(-x22x)(1/2)')

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Problemas sugeridos

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(No Transcript)
31
(No Transcript)
32
(No Transcript)
33
(No Transcript)
34
(No Transcript)