Lezione 10 Misure d

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Lezione 10Misure dimpulso

• Un apparato che mi permette una misura di tracce
  ( insieme di camere MWPC o a deriva o silici)
  posto in un campo magnetico (possibilmente
  uniforme) mi fornisce una misura dellimpulso
  delle particelle ( misura di b dalla misura del
  raggio di curvatura).

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Lezione 10Misure dimpulso

• Magneti per esperimenti a targhetta fissa
• il più comune magnete usato in esperimenti a
  targhetta fissa è il magnete bipolare.
• Alluscita della targhetta i prodotti della
  reazione sono concentrati in un cono attorno alla
  direzione della particella incidente, a causa del
  pT limitato ( 350 MeV ) e del boost di Lorentz
  lungo la direzione del fascio.
• Lapertura del cono è approssimativamente dato
  dal rapporto pT/pL (con pT impulso trasverso e pL
  impulso longitudinale rispetto alla direzione
  della particella incidente) ? non serve un
  magnete con una grande apertura.

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Lezione 10Misure dimpulso

Rappresentazione schematica di uno spettrometro
magnetico
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Lezione 10Misure dimpulso

• La forza di Lorentz è
• Con p costante.
• La forma di questa equazione cioè dp/dt
  ortogonale a p ed a B implica moto circolare.

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Lezione 10Misure dimpulso

• Per ricavare il raggio di curvatura conviene
  utilizzare un sistema di coordinate curvilineo
• In questo sistema di riferimento lequazione di
  Lorentz diventa

con x, y ed s sistema destrorso. r raggio di
curvatura s coordinata curvilinea B diretto
lungo lasse y (By)
a
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Lezione 10Misure dimpulso

• Lequazione di Lorentz
• può essere semplificata osservando che p
  costante e

v velocità
?
r (p/qBy)
?
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Lezione 10Misure dimpulso

• La deflessione nel piano xs si vede dalla
  figura.

2sin(q/2)L/r
Il raggio di curvatura della traiettoria è molto
maggiore della lunghezza del magnete L ? langolo
di deflessione q può essere approssimato a
x
A causa della deflessione dovuta al campo
magnetico la particella acquista un impulso
trasverso addizionale
Dpx2psinq/2pqLqBy
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Lezione 10Misure dimpulso

• Se il campo magnetico non è uniforme, ma varia
  lungo L(z) allora

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Lezione 10Misure dimpulso

• La precisione della misura dellimpulso è
  influenzata da
• Precisione dellapparato tracciante
• Scattering multiplo

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Lezione 10Misure dimpulso

• Consideriamo una configurazione con B diretto
  lungo lasse y, il fascio incidente sulla
  targhetta diretto lungo z ? dato il pT limitato
  le particelle prodotte nella reazione sono
  dirette quasi lungo z. Le traiettorie delle
  particelle secondarie entranti nello spettrometro
  sono misurate prima e dopo il magnete.
  Consideriamo per semplicità una particella che
  entra nel magnete diretta lungo z.
• Poiché il campo magnetico è diretto lungo y la
  deflessione delle particelle è nel piano xz.

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Lezione 10Misure dimpulso

• Precisione dellapparato tracciante.
• Le particelle prima di entrare nel magnete e dopo
  essere uscite sono rettilinee ? misura di q.
• Per determinare q devo avere almeno 4 punti ( 2
  prima e 2 dopo il magnete), perché mi servono 2
  direzioni.

Misure di posizione
x
q
h
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Lezione 10Misure dimpulso

• Se ogni punto ha lo stesso errore s(x) la
  varianza dellangolo di deflessione sarà
• Siccome qx/h essendo h il braccio di leva per la
  misura angolare prima e dopo il magnete ?
• E ricordando che
• s(p) e dunque proporzionale a p2.

s(q)2s(x)/h
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Lezione 10Misure dimpulso

• A seconda della qualità dellapparato si possono
  ottenere risoluzioni
• Se definiamo impulso massimo misurabile quello
  per cui
• Si ha che uno spettrometro magnetico con
  risoluzione data dalla (1) può misurare impulsi
  fino a

(1)
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Lezione 10Misure dimpulso

• Limpulso di una o più particelle secondarie è,
  di norma, misurato in un magnete con la gap in
  aria ? leffetto dello scattering multiplo è di
  regola piccolo se paragonato allerrore dovuto
  alla misura di q nel tracciatore.
• Se però vogliamo misurare limpulso di m, i quali
  non interagiscono forte ed, ad energie inferiori
  alle centinaia di GeV, non fanno Bremsstrahlung,
  spesso si usa un magnete di ferro magnetizzato
  pieno ? alto scattering multiplo.

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Lezione 10Misure dimpulso

• Un m che attraversa un magnete di ferro pieno di
  spessore L acquisterà un impulso trasverso DpTms,
  dovuto allo scattering multiplo
• DpTms psinqrms pqrms ovvero DpTms
  19.2(L/X0)½ MeV/c (b 1)
• campo magnetico non uniforme

Siccome la deflessione dovuta al campo magnetico
è nella direzione x (particella lungo z e B lungo
y, solo la componente x è quella che ci interessa
Dpxms 13.6(L/X0)½. La risoluzione in impulso, a
causa dello scattering multiplo, diventa, nel
caso di
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Lezione 10Misure dimpulso

• Sia langolo di deflessione q dovuto al campo
  magnetico, che langolo di scattering multiplo
  sono inversamente proporzionali allimpulso p ?
  la risoluzione (relativa) in impulso non dipende
  dall impulso della particella incidente.
• Per spettrometri di ferro pieno (X0 1.76 cm) si
  considerano valori tipici di B 1.8 T
  (saturazione del ferro) ?

L in metri
Se L 3 m ?
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Lezione 10Misure dimpulso

• Sommando l errore dovuto allincertezza della
  misura di posizione ?
• Per un magnete in aria (X0304m) lerrore dovuto
  allo scattering multiplo è molto piu piccolo.
• ? per un magnete sempre di 1.8 T e lungo 3 metri
  s(p)/pms 0.08

s(p)/p
30
20
10
p Gev/c
100
200
300
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Lezione 10Misure dimpulso

• Un altro metodo utilizzato per determinare
  limpulso (per un magnete in aria è la misura
  della sagitta (s).

La sagitta s è connessa al raggio di curvatura r
ed allangolo di deflessione q tramite
Poiché per particelle relativistiche q è piccolo ?
Se B è in T L in m e p in GeV/c ?
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Lezione 10Misure dimpulso

• Per determinare la sagitta servono almeno 3
  misure di posizione. Questo si può ottenere con
  una camera allingresso (x1), una al centro (x2)
  ed una alluscita (x3) del magnete. Poiché
• Assumendo risoluzioni s(x) uguali per le 3 camere
  ?
• Per cui la risoluzione in impulso diventa
• Se la traccia è misurata in N punti equispaziati
  lungo la lunghezza del magnete L, si può
  dimostrare che la risoluzione in impulso dovuta
  allerrore della misura della traccia è

Per B1.8 T, L3 m, N4 e s(x)0.5 mm
Se le Ngtgt4 misure sono distribuite su L a k
intervalli (LkN) ?
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Lezione 10Misure dimpulso

• Magneti per esperimenti ad un Collider.
• A seconda del tipo di anello di accumulazione
  possono essere usati diversi tipi di magneti.
• Per protone-protone o antiprotone-protone
  possiamo usare un magnete bipolare, ma attenzione
  vengono deflessi anche i fasci incidenti ?
  servono dei magneti di compensazione, ma con
  gradiente di campo opposto

Fascio 1
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Lezione 10Misure dimpulso

• Un magnete bipolare può autocompensarsi se si usa
  la configurazione split-field. In questo caso
  nella zona di giunzione dei dipoli il campo è
  tuttaltro che omogeneo ? impossibile misure
  dimpulso per particelle prodotte ad angolo
  polare 90o.

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Lezione 10Misure dimpulso

• Il magnete toroidale non disturba i fasci del
  collider, in quanto il campo è nullo nella zona
  dei fasci. Fra i 2 cilindri B è circolare e di
  intensità 1/r.
• Lo svantaggio maggiore in un toro è lo scattering
  multiplo nel cilindro interno del toro e nei suoi
  avvolgimenti.? risoluzione della misura dimpulso
  dominata dallo scattering multiplo.

Cilindro esterno del toroide
I
B
Punto di interazione
Cilindro interno del toroide
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Lezione 10Misure dimpulso

• I magneti più comunemente usati in un collider
  sono quelli solenoidali. In questo caso I fasci
  viaggiano paralleli al campo magnetico quindi non
  sono disturbati dal magnete ( a parte effetti di
  bordo ).
• Sia toroidi che solenoidi non causano radiazione
  di sincrotrone ?
• Vanno bene sia per anelli di collisione di
  protoni che di elettroni.

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Lezione 10Misure dimpulso

• In un solenoide i tracciatori sono installati
  allinterno del solenoide stesso e sono
  cilindrici.
• Il campo magnetico (solenoidale quindi // ai
  fasci) agisce solo sulla componente trasversa
  dell impulso delle particelle ?
• Dove s(x) è la risoluzione per la coordinata nel
  piano ortogonale allasse dei fasci.
• Per determinare limpulso devo misurare anche pL
  (componente longitudinale dellimpulso) ?

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Lezione 10Misure dimpulso

• Utile usare coordinate cilindriche. In questo
  caso le coordinate sono r, f e z
• Considerando un generico punto P e la sua
  proiezione Q sul piano xy, la coordinata z indica
  la distanza PQ. Con r si denota la distanza
  dallorigine del punto Q, mentre f individua
  langolo che si forma fra il vettore r e lasse
  x.

Per passare dal sistema cilindrico a quello
cartesiano avremo xrcosf yrsinf zz e per
passare dal sistema cartesiano a quello
cilindrico r(x2y2) farctan (y/x) zz
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Lezione 10Misure dimpulso

• Utile usare coordinate cilindriche ?

r
f
m-
m-
q
z
m
m
punto dinterazione
proiezione rf
proiezione rz
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Lezione 10Misure dimpulso

• Se misuriamo N punti lungo una traccia di
  lunghezza totale L (m) con unaccuratezza srf (m)
  in un campo magnetico B (T), la risoluzione
  nellimpulso trasverso e
• Oltre allerrore sulla traccia dobbiamo
  considerare anche lo scattering multiplo

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Lezione 10Misure dimpulso

• Limpulso totale della particella è ottenuto da
  pT e dallangolo polare q
• Come nel caso del piano rf (trasverso) anche la
  misura dellangolo polare ha un errore, sia
  dovuto alla risoluzione del tracciatore, sia allo
  scattering multiplo.
• A questa s dobbiamo sommare in quadratura
  lerrore dovuto allo scattering multiplo

Nel caso di una misura di 2 sole z Se la
traccia è misurata in N punti equidistanti si
avrà
dove p è in GeV/c, l è la lunghezza di traccia in
unità X0 e b1. A parte il (3)-1/2 è la formula
usuale dello scattering multiplo.
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Lezione 10Misure dimpulso

• spiegazione di 1/(3)1/2..
• Langolo di scattering multiplo ltqgt che ci
  interessa per la misura dellangolo polare deve
  essere inteso come il rapporto dello spostamento
  della traccia Dr ( a causa dello scattering
  multiplo ) diviso per la lunghezza di traccia l.
• Nei solenoidi si usano normalmente camere a bassa
  massa come tracciatori ? possiamo ignorare lo
  scattering multiplo.

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Lezione 10Misure dimpulso

• Concludendo
• dalla
• notiamo che la precisione migliora aumentando
  BL2. Migliora solo come (N)1/2 aumentando N,
  dove N è il numero di misure