Algorithmes et structures de donnes 7me cours

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Algorithmes et structures de données7ème cours

• Patrick Reuter
• maître de conférences
• http//www.labri.fr/preuter

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Aujourdhui

• Complexité asymptotique
• Fonctions/Procédures

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Déclaration de variables

• var compteur integer
• var diviseur single
• var c char
• var precision double
• var nom string
• var masculin boolean
• var jours array1..12 of byte
• diviseur 1.1 Affectation
• compteur 1
• Nom Gerhard

Nombre entier
Nombre à virgule flottante
Nombre à virgule flottante avec double précision
Chaîne de caractères
Tableau
4
Déclaration de variables

• var compteur integer
• var diviseur single
• var c byte
• var precision double
• var nom string
• var masculin boolean
• var jours array1..12 of byte
• diviseur 1.1 Affectation
• compteur 1
• Nom Gerhard

Nombre entier
Nombre à virgule flottante
Nombre à virgule flottante avec double précision
Chaîne de caractères
Tableau
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Déclaration de variables

• Types de base prédéfinis
• Integer, boolean, Real, Single,
• Les types énumérés
• type t_jourdesemaine (lundi, mardi, mercredi,
  jeudi, vendredi, samedi, dimanche)
• var jour t_jourdesemaine
• Type tableau (structure homogène)
• 1 dimension
• type t_tableau array1..12 of byte
• var jours t_tableau
• 2 dimensions
• type t_damier array1..8 of array1..8 of
  t_champ

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• type t_date RECORD
• an integer
• mois byte
• jour byte
• END
• var aujourdhui t_date

536.870.911
536.870.910
...
...
aujourdhui.jour4005
24
Occupe de la place successive dans la mémoire
aujourdhui.mois4004
10
aujourdhui.an 4000
2006
...
0
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Exigences dun programme

• Lisibilité
• Extensibilité
• Portabilité
• Réutilisable
• Fiabilité
• Efficacité (faible complexité)

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Complexité

• Combien de temps dexécution le programme dure
  til?
• Complexité temporelle
• De combien de mémoire le programme a til besoin?
• ? Complexité de mémoire (ou Complexité spatiale)
• Comment trouver ces complexités ?
• ? méthode empirique
• ? méthode mathématique

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Méthode empirique

• Avec une montre et un logiciel danalyse de
  mémoire
• Problème dépend des facteurs suivants
• de la machine utilisée
• du jeu dinstructions utilisées
• de lhabileté du programmeur
• du jeu de données générées
• du compilateur choisi
• BIEN SUR Le temps dexécution dépend de la
  longueur de lentrée (par exemple le nombre de
  chansons dans la collection).
• Ce temps est une fonction T(n) où n est la
  longueur des données dentrée.

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Méthode mathématique

• Théorie de la complexité
• Temporelle
• Spatiale
• Basée sur une machine abstraite
• Random-access memory (RAM)
• Instructions de base (affectation, boucle, appel
  de fonctions )
• longueur des données dentrée n

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• Instructions de répétition
• Boucle
• complexité du corps multipliée par le nombre
  de fois quelle est répétée.
• Démarche
• 1. déteminer le nombre de répétitions
• 2. multiplier ce nombre par la complexité du
  corps de cette boucle.

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1er exemple pour T(n)

• Trouver lartiste dune chanson donnée kaya
• i 1
• tant que iltn faire
• si collectioni.title kaya alors
• afficher collectioni.artiste
• i i 1
• fin tant que
• Affectations 1 n
• Comparaisons 2n
• Appel de fonctions n (Attention
  considerer le worst case, c-à-d la pire option)
• ?
  T(n) 4n1

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2ème exemple pour T(n)

• i 1
• tant que iltn faire
• j 1
• tant que jltn faire
• si ij alors
• aij 1
• sinon
• aij 0
• fin si
• j j 1
• fin tant que
• i i 1
• fin tant que
• Affectations 1 2n 2n2
• Comparaisons n 2n2
• ?
  T(n) 4n23n1

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Théorie de la complexité

• Comment peut on résoudre des problèmes de plus
  grande échelle (plus grand longueur des données
  dentrée n ) ?
• On utilise une machine plus puissante
• On choisit un algorithme avec une meilleure
  complexité

15
Théorie de la complexité

• Comment peut on résoudre des problèmes de plus
  grande échelle (plus grande longueur des données
  dentrée n ) ?
• On utilise une machine plus puissante (p.ex.10
  fois plus )

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Théorie de la complexité Diminuer les constantes

• Comment peut-on optimiser T(n) ?
• T(n) 4n23n1
• 1ère solution diminuer les constantes a,b,c
• Exemple
• T1(n) 4n23n1
• T2(n) 4n2
• T3(n) n2

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Théorie de la complexité Diminuer les constantes

• 2 fonctions
• T1(n) a1n2b1nc1
• T2(n) a2n2b2nc2
• Amélioration
• lim n? 8 T1(n) /T2(n) a1/a2
• Pour des grand n, seule la constante du plus
  grand degré est significative

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Théorie de la complexité

• Comment peut on résoudre des problèmes de plus
  grande échelle (plus grande longueur des données
  dentrée n ) ?
• On choisit un algorithme avec une meilleure
  complexité !!!

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Théorie de la complexité Changement de la
fonction

• 2ème solution
• changer la fonction
• T1(n) log2n
• logarithmique
• T2(n) n
• linéaire
• T3(n) n log2 n
• Quasi-linéaire
• T4(n) n2
• quadratique
• T5(n) n3
• cubique
• T6(n) 2n
• exponentiel

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Théorie de la complexité Changement de la
fonction

• Quel taille de n peut être résolue en 1 seconde,
  une minute, une heure ?
• Avec une machine de 1000 instructions par seconde

21
Théorie de la complexité

• Notation Grand-O
• Exemple
• Si
• T(n) c n
• pour une constante c et toutes les valeurs de
  ngtn0, on dit
• T(n) est dans O(n) ou bien
• T(n) ? O(n) ou, par abus décriture,
• T(n) O(n)

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Théorie de la complexité

• Notation Grand-O
• Exemple (Rappel de T(n) 4n1)
• Si
• T(n) c n
• pour une constante c et toutes les valeurs de
  ngtn0, on dit
• T(n) est dans O(n) ou bien
• T(n) ? O(n) ou, par abus décriture,
• T(n) O(n)

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1er exemple pour T(n)

• Trouver lartiste dune chanson donnée kaya
• i 1
• tant que iltn
• si collectioni.title kaya alors
• afficher collectioni.artiste
• i i 1
• fin tant que
• Affectations 1 n
• Comparaisons 2n
• Appel de fonctions n (Attention
  considerer le worst case, c-à-d la pire option)
• ? T(n) 4n1 ? O(n) !

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Théorie de la complexité

• En général
• O(f) g ?c gt 0 ? n0 gt 0 ? n n0 g(n)
  c f(n)
• Soit g une fonction non négative.
• g est dans O(f) sil existe deux constantes
  positives c et n0 telles que g ? cf(n) pour tout
  n gt n0.
• EXEMPLE T(n) 9n2 ? O(n2) f n2, g
  9n2

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2ème exemple pour T(n)

• i 1
• tant que iltn faire
• j 1
• tant que jltn faire
• SI ij ALORS
• aij 1
• SINON
• aij 0
• j j 1
• fin tant que
• i i 1
• fin tant que
• Affectations 1 2n 2n2
• Comparaisons n 2n2
• ? T(n)
  4n23n1? O(n2) !

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Théorie de la complexité

• Classes de Grand-O
• O(1) complexité constante
• O(log n) complexité logarithmique
• O(n) complexité linéaire
• O(n log n) complexité quasi-linéaire
• O(na) complexité polynomiale
• O(n2) complexité quadratique
• O(n3) complexité cubique
• O(an) complexité exponentielle

O(log n) ? O(n) ? O(n log n) ? O(n2) ? O(n3) ?
O(2n)
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• Instructions de répétition
• Boucle
• complexité du corps multipliée par le nombre
  de fois quelle est répétée.
• Démarche
• 1. déteminer le nombre de répétitions
• 2. multiplier ce nombre par la complexité du
  corps de cette boucle.

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• On analyse les boucles pour comme les boucles
  tant que
• Pour i de 1 à n faire
• Fin pour
• Instruction si maximum entre le alors et le
  sinon
• cas maximum parmi les différents cas
• Appels de fonctions Temps dexécution de la
  fonction

29

• Procédures et fonctions
• leur complexité est déteminée par celle de leur
  corps.

30

• type t_tableau array1..n of integer
• var tab t_tableau
• function dedans(quoi integer, n integer)
  integer
• var position integer
• var i integer
• début
• position 0
• i 1
• tant que (iltn) faire
• si (quoi tabi) alors
• position i
• fin si
• i i 1

31

• type t_tableau array1..n of integer
• var tab t_tableau
• function dedans(quoi integer, n integer)
  integer
• var position integer
• var i integer
• début
• position 0
• i 1
• tant que (iltn) faire
• si (quoi tabi) alors
• position i
• fin si
• i i 1

En-tête de la fonction
32

• type t_tableau array1..n of integer
• var tab t_tableau
• function dedans(quoi integer, n integer)
  integer
• var position integer
• var i integer
• début
• position 0
• i 1
• tant que (iltn) faire
• si (quoi tabi) alors
• position i
• fin si
• i i 1

Corps de la fonction
33
(No Transcript)
34

• type t_tableau array1..n of integer
• var tab t_tableau
• function dedans(quoi integer, n integer)
  integer
• var position integer
• var i integer
• début
• position 0
• i 1
• tant que (iltn) faire
• si (quoi tabi) alors
• position i
• fin si
• i i 1

Paramètres de la fonction (arguments)
35

• type t_tableau array1..n of integer
• var tab t_tableau
• function dedans(quoi integer, n integer)
  integer
• var position integer
• var i integer
• début
• position 0
• i 1
• tant que (iltn) faire
• si (quoi tabi) alors
• position i
• fin si
• i i 1

Type de retour de la fonction
Valeur de retour de la fonction
36

• type t_tableau array1..n of integer
• var tab t_tableau
• function dedans(quoi integer, n integer)
  integer
• var position integer
• var i integer
• début
• position 0
• i 1
• tant que (iltn) faire
• si (quoi tabi) alors
• position i
• fin si
• i i 1

37

• type t_tableau array1..n of integer
• var tab t_tableau
• function dedans(quoi integer, n integer)
  integer
• var position integer
• var i integer
• début
• position 0
• i 1
• tant que (iltn) faire
• si (quoi tabi) alors
• position i
• fin si
• i i 1

boucle max n itérations
38

• type t_tableau array1..n of integer
• var tab t_tableau
• function dedans(quoi integer, n integer)
  integer
• var position integer
• var i integer
• début
• position 0
• i 1
• tant que (iltn) faire
• si (quoi tabi) alors
• position i
• fin si
• i i 1

39

• type t_tableau array1..n of integer
• var tab t_tableau
• function dedans(quoi integer, n integer)
  integer
• var position integer
• var i integer
• début
• position 0
• i 1
• tant que (iltn ET position 0) faire
• si (quoi tabi) alors
• position i
• fin si
• i i 1

? T(n) 4n3 ? O(n) !
40

• type t_tableau array1..15 of integer
• var tab t_tableau
• function enigme(quoi integer, n integer)
  integer
• var inf, sup, milieu integer
• var trouve boolean
• début
• inf 1
• sup n
• trouve FAUX
• tant que (sup gtinf ET trouve FAUX) faire
• milieu (inf sup) DIV 2
• si (quoi tabmilieu) alors
• trouve VRAI
• sinon
• si (quoi lt tabmilieu) alors
• sup milieu -1

41

• type t_tableau array1..15 of integer
• var tab t_tableau
• function enigme(quoi integer, n integer)
  integer
• var inf, sup, milieu integer
• var trouve boolean
• début
• inf 1
• sup n
• trouve FAUX
• tant que (sup gtinf ET trouve FAUX) faire
• milieu (inf sup) DIV 2
• si (quoi tabmilieu) alors
• trouve VRAI
• sinon
• si (quoi lt tabmilieu) alors
• sup milieu -1

42

• type t_tableau array1..15 of integer
• var tab t_tableau
• function enigme(quoi integer, n integer)
  integer
• var inf, sup, milieu integer
• var trouve boolean
• début
• inf 1
• sup n
• trouve FAUX
• tant que (sup gtinf ET trouve FAUX) faire
• milieu (inf sup) DIV 2
• si (quoi tabmilieu) alors
• trouve VRAI
• sinon
• si (quoi lt tabmilieu) alors
• sup milieu -1

boucle max. log2n itérations
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• Pourquoi log2n ?
• n entrées dans le tableau
• intervalle sup, inf
• à chaque itération, lintervalle est divisé par 2
• Soit
• milieu (inf sup) DIV 2
• sup milieu -1
• Soit
• milieu (inf sup) DIV 2
• inf milieu 1
• condition darrêt sup inf
• c-à-d que lintervalle est inférieur à 1
• ? max log2n itérations

44

• Pourquoi log2n ?
• n entrées dans le tableau
• intervalle sup, inf
• à chaque itération, lintervalle est divisé par 2
• Soit
• milieu (inf sup) DIV 2
• sup milieu -1
• Soit
• milieu (inf sup) DIV 2
• inf milieu 1
• condition darret sup inf
• c-à-d que lintervalle est inférieur à 1

45

• type t_tableau array1..15 of integer
• var tab t_tableau
• function enigme(quoi integer, n integer)
  integer
• var inf, sup, milieu integer
• var trouve boolean
• début
• inf 1
• sup n
• trouve FAUX
• tant que (sup gtinf ET trouve FAUX) faire
• milieu (inf sup) DIV 2
• si (quoi tabmilieu) alors
• trouve VRAI
• sinon
• si (quoi lt tabmilieu) alors
• sup milieu -1

? T(n) 7log2n5 ? O(log n) !