Algoritmos voraces

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Algoritmos voraces

• Práctica 1 de MTP
• José Manuel Sánchez Díaz

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Suposiciones y estrategia

• Existen N trabajos numerados de 1 a N. Como se
  dispone de un tiempo de trabajo T, considero que
  dicha cantidad, ya que está medida en unidades de
  tiempo (medidas positivas) supongo T entero mayor
  que 0.
• Por lo tanto lo que se pide en el enunciado es
  maximizar
• S i1 hasta N xi bi
• teniendo en cuenta que no se puede sobrepasar
  dicho tiempo T
• S i1 hasta N xi di lt T
• Siendo xi la fracción de trabajo tomada, real
  comprendido entre 0 y 1.
• Supongo el caso S i1 hasta N xi di gt T ya que
  de lo contrario la solución devuelve trivialmente
  que el operario realiza todos los trabajos
  encargados.
• La estrategia voraz consiste en elegir en cada
  momento el trabajo considerado como mejor de
  entre los restantes no elegidos en cada momento.
• Que un trabajo sea mejor significa que es un
  trabajo cuyo beneficio por unidad de tiempo (bi /
  di) es el mayor posible y además al consultar en
  la matriz M si dicho trabajo se puede realizar
  teniendo en cuenta el trabajo añadido
  anteriormente. Primeramente elijo trabajos
  enteros (i.e. xi 1) con el mencionado ratio
  mayor, y cuando me quedo sin trabajos enteros
  elijo la fracción de trabajo con su ratio
  proporcional mayor (en este caso la xi será menor
  estrictamente que 1)
• Si un trabajo con ratio mejor no se pudo elegir
  porque es incompatible realizarlo de manera
  consecutiva con el anterior añadido se elegiría
  el siguiente trabajo por orden de su mejor ratio
  beneficio-tiempo.

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Algoritmo

• fun crearYordenarMonticulo (BN de ent, DN de
  ent, N ent) dev Monticulo
• var
• Monticulo monticulo crearMonticulo()
• RegBT arrayRegarray RegBTN
• Fvar
• para i desde 0 hasta N-1 hacer
• RegBT aux new RegBT()
• aux.ratioDi)/Bi
• aux.posi
• aux.tiDi
• aux.beBi
• monticulo.insertar(arrayRegi))
• fpara
• dev monticulo
• ffun

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Algoritmo (II)

• fun TrabajosBenef(N de ent, DN de ent, N
  ent, T real, MNN de bool) dev INN de
  real
• Monticulo monticulocrearYordenarMonticulo(B,D,N
  )
• Inicializa INN
• tiempo0 ant0
• i0 acti
• RegBT primeromonticulo.primero() (accede al
  primer elemento)
• mientras (iltN and (tiempo (primero.getTi())
  lt T))
• si( !Mactant)
• I0iprimero.getPos()
• I1i1
• tiempotiempo (primero.getTi())
• antprimero.getPos()
• monticulo.eliminar(primero) (elimina la raíz)
• primero(RegBT)monticulo.primero()
• actprimero.getPos()
• i
• si no

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Elementos del esquema

• Es un problema de optimización, ya que se pide
  maximizar el beneficio entre todos los posibles
  trabajos.
• El conjunto de candidatos son todos los trabajos,
  que están contenidos en el montículo ordenados
  por ratio beneficio/tiempo.
• La función que determina si el conjunto de
  candidatos seleccionado constituye solución es
  que el tiempo del trabajo a añadir más el tiempo
  acumulado no sobrepase el tiempo T.
• La función de selección se define de manera que
  el candidato más prometedor es el primer trabajo
  en el montículo y además se pueda ejecutar dada
  la restricción de la matriz M.
• Las funciones de factibilidad y objetivo no
  aparecen explícitamente en el problema.

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Optimalidad

• La estrategia voraz que se usa no permite que el
  algoritmo alcance una solución óptima. Demuestro
  dicha afirmación mediante el siguiente
  contraejemplo
• Dadas N3, T3, B(5,2,4), D(2,1,2)
• y M ( (false, true, true),
• (false, false, false),
• (false, false, false) )
• Se escogería primero la tarea de beneficio 5 y
  tiempo 2, y no se podría coger después ninguna de
  las otras dos por la restricción de la matriz M,
  con lo que no se llegaría a la solución óptima,
  que sería coger las otras dos tareas restantes,
  acumulando un beneficio de 6.

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Optimalidad (II)

• El único caso en que la solución del algoritmo es
  la óptima es cuando la matriz M contiene en todos
  sus índices false de este modo nunca se tiene
  la restricción de no poder realizar dos tareas
  consecutivas, así que la estrategia voraz se
  simplifica siempre en elegir en cada momento el
  trabajo considerado como mejor de entre los
  restantes no elegidos en cada momento, como se ha
  explicado anteriormente en el punto 1. Esta
  estrategia conduce a una solución óptima siempre,
  ya que se pueden fraccionar los trabajos. La
  demostración es la siguiente
• Se supone que los trabajos están ordenados en
  forma decreciente respecto del ratio
  beneficio/tiempo. Sea X(x1, x2, ..., xn) la
  solución construida por el algoritmo voraz.
• Si todos los xi son 1, la solución es
  trivialmente óptima. Si no, existirá un menor
  índice j t.q. xjlt1, que indica el objeto
  fraccionado. Así xi1 si iltj y xi0 si igtj (los
  trabajos que ya no se escogen)
• Llamo B(X) al beneficio total que se consigue con
  la solución voraz X, B(X) S i1 hasta N xi bi.
• Considero una solución Y cualquiera, con lo que
• B(X) B(Y) S i1 hasta N (xi yi) bi S
  i1 hasta N (xi yi) (bi/ti)ti
• Cuando i lt j, como xi1 entonces xi yi gt 0, y
  se sabe que bi/ti gt 0 porque así se ordenaron
  los trabajos.
• Cuando i gt j, como xi 0 entonces xi yi lt 0 y
  y se sabe que bi/ti lt 0.
• Cuando i j quiere decir que bi/ti bj/tj. Por
  lo tanto
• p.t. i entre 1 y N se deduce que (xi
  yi)(bi/ti) gt (xj yj)(bj/tj)
• así pues,
• B(X) B(Y) gt S i1 hasta N (xi yi)
  (bi/ti)ti (bi/ti) S i1 hasta N (xi yi) ti
• Como todos los beneficios y tiempos son positivos
  y S i1 hasta N xi bi T y S j1 hasta N yj
  bj lt T se demuestra
• B(X) B(Y) gt S i1 hasta N (xi yi) ti S
  i1 hasta N xiti - S i1 hasta N yiti gt 0
• Con lo que se deduce que x es óptima, ya que no
  hay otra solución mejor posible

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Complejidad

• Todas las demás operaciones que no se indican son
  de coste constante
• fun crearYordenarMonticulo (BN de ent, DN de
  ent, N ent) dev Monticulo
• var
• Monticulo monticulo crearMonticulo()
• RegBT arrayRegarray RegBTN
• Fvar
• para i desde 0 hasta N-1 hacer // n vueltas
  del bucle -gtnlogn
• RegBT aux new RegBT()
• aux.ratioDi)/Bi
• aux.posi
• aux.tiDi
• aux.beBi
• monticulo.insertar(arrayRegi)) //
  insertar en montículos es de coste log(n)
• fpara
• dev monticulo
• ffun

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Complejidad (II)

• fun TrabajosBenef(N de ent, DN de ent, N
  ent, T real, MNN de bool) dev INN de
  real
• Monticulo monticulocrearYordenarMonticulo(B,D,N
  ) //complejidad nlogn
• Inicializa INN
• tiempo0 ant0
• i0 acti
• RegBT primeromonticulo.primero() (accede al
  primer elemento)
• mientras (iltN and (tiempo (primero.getTi())
  lt T))// n vueltas del bucle -gt nlogn
• si( !Mactant)
• I0iprimero.getPos()
• I1i1
• tiempotiempo (primero.getTi())
• antprimero.getPos()
• monticulo.eliminar(primero) (elimina la
  raíz)//eliminar en montículos es de coste log(n)
• primero(RegBT)monticulo.primero()
• actprimero.getPos()
• i
• si no

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Clase interna RegBT
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Clase Trabajos
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Implementación

• El código fuente en Java (usando JDK
  1.4.2_03-b02) se encuentra adjuntado en este
  mismo fichero zip, en la ruta Practica1/src
• El código compilado se encuentra adjuntado en
  este mismo fichero zip, en la ruta
  Practica1/classes
• El archivo nativo ejecutable se llama
  Practica1.jar y se encuentra en la ruta
  Practica1/
• El archivo ejecutable para la consola de Windows
  se llama Practica1.exe y se encuentra en la
  ruta Practica1/
• La documentación en formato javadoc generada se
  encuentra adjuntada en este mismo fichero zip, en
  la ruta Practica1/doc

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Comparación tiempos

• Tiempo medido en milisegundos

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Consideraciones tiempo

• Tiempos reales tomados de la ejecución del
  algoritmo implementado para N5, N10, N20,
  N40, en milisegundos.
• La barra de tiempo teórico se calcula dado el N,
  con NlogN.
• Como se puede observar, cuanto mayor es N, mayor
  se aproxima el tiempo real al tiempo teórico
  calculado en el apartado de complejidad. También
  influye cómo está construida la matriz de
  booleanos M.
• Nota las mediciones de tiempo se midieron en un
  equipo con sistema operativo Windows XP SP2,
  procesador Intel Pentium III con frecuencia de
  450 MHz. Es obvio que se pueden producir
  variaciones en las mediciones de tiempos del
  mismo algoritmo sobre diferentes plataformas.

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Ruegos y preguntas