Algoritmos y redes complejas

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Algoritmos y redes complejas

• Satu Elisa Schaeffer

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Introducción

• Quién y de dónde soy?
• Modelación de redes naturales
• Extracción de propiedades
• Implicaciones algorítmicas
• Trabajo actual
• Trabajo futuro y colaboraciones

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Sra. Elisa Schaeffer

• Magister en Ciencias, Mención Computación (2000),
  especialición en técnicas de implementación y
  usabilidad
• Después de esto, Licendiado en Ciencias, Mención
  Computación (2003), especialición en informática
  teórica y matemática discreta (el licendiado es
  un título predoctoral en Finlandia)

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Mi universidad

• Universidad Politécnica de Helsinki, Finlandia
  (ubicada en Espoo, una ciudad vecina)
• Laboratorio de Informática Teórica
• http//www.tcs.hut.fi/
• Supervisado por Doctor Catedrático Pekka Orponen
• Subvencionado por la Academia Finlandesa para un
  proyecto de 3 años

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En DCC

• Mi visita perdura desde el 28 de febrero hasta el
  16 de diciembre de 2005
• Tengo una beca de buena voluntad de la Fundación
  Rotaria para estudiar en Chile
• Soy supervisado por Ricardo Baeza-Yates (cuando
  vuelva) y Carlos Hurtado
• Oficina 329
• E-mail sschaeff_at_dcc.uchile.cl

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Teoría de grafos

• Un grafo G está compuesto de un conjunto de N
  vértices (nodos) V y un conjunto de M aristas
  (conexiones) E

• Por lo general cada arista conecta exactamente
  dos vértices distintos
• Las aristas se puede definir sin o con dirección
• Dos vértices conectados por una arista se llaman
  vecinos

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Modelos de redes uniformes

• En los años 1950 y 1960, se propusieron los
  modelos uniformes de Gilbert y Erdös Rényi
• La cantidad de vértices es fija, N, y cada arista
  de las N(N-1)/2 posibles tiene la misma
  probabilidad de aparecer en el grafo
• Gilbert define una probabilidad p para cada
  arista
• ER define una candidad fija de M aristas
  escogidas al azar con probabilidad uniforme

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Redes del mundo real

• Nunca se intentó construir un modelo para
  aplicaciones reales los modelos sólo eran para
  análisis matemática
• En las redes de comunicación, por ejemplo, los
  vértices no son iguales las aristas distribuyen
  diferentemente entre los vértices más centrales
  que los lejanos

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Redes de colaboración científica

• Los vértices representan autores de artículos
  científicos
• Existe una arista entre dos autores si ellos han
  publicado algo juntos
• (cf. los números Erdös)

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Watts StrogatzNature 1998

• Fenómeno del mundo pequeño todas las personas
  en el mundo se conocen por cadenas de contactos
  con más o menos seis personas (realmente basado
  en una interpretación mal educada de un estudio
  sociológico antiguo)
• Proponen un modelo de generación de redes que
  combina una topología rígida circular
  predeterminada y aristas movidas al azar
• Resuelta que el grafo obtiene rutas muy cortas
  entre todos los vértices mientras mantiene
  vecinarios densos

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La construcción de Watts y Strogatz
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Dos medidas claves

• Coeficiente de racimo (C)
• La proporción de los vecinos de un vértice que
  también son vecinos entre ellos (si son todos,
  forman una pandilla entre ellos), promediado
  por todos los vértices
• Largura de sendero promedio (L)
• La largura del sendero más corto entre dos
  vértices, promediado por todos los pares de
  vértices

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Redes depequeño mundo

• Watts Strogatz observaron que las redes
  naturales por lo general tienen
• Un coeficiente de racimo más grande que los redes
  uniformes y
• Una largura de sendero promedio tan baja como los
  redes uniformes
• Nombraron ejemplos como redes de transmisión
  eléctrica, redes de neurones, redes de
  comunicación.

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El efecto de la reubicación de aristas
Probabilidad de reubicación
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Distribución de grados

• El grado de un vértice es el número de vecinos
  que tiene
• La lista de los grados de todos los vértices se
  llama la distribución de grado del grafo
• También se puede representar como una
  distribución probabilística en forma de una
  histograma

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Distribución de gradoredes uniformes
La posición del máximo depende de la
probabilidad de conexión, pero la forma de la
distribución no cambia
Escala logarítmica para los ejes
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Distribución de gradoredes de pequeño mundo
(modelo de WS)
Un cambio de altura pero no de forma resulta
cuando se ajusta la probabilidad de reubicación
de las aristas
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Distribución de gradoredes naturales
Se puede obtener una aproximación cruda con una
linea derecha en el gráfico de escala
logarítmica.
Para muchas redes naturales, la distribución
parece muy distinta de las de estos modelos
existen vértices con un grado muy grande que se
llaman concentradores.
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Redes sin escala

• Barabási Albert 1999
• Observaron que la probabilidad Pr(k) de que un
  vértice tenga grado k tiene forma k-?
• Sugieron el siguente proceso de generación
• Los vértices llegan uno por uno con una
  cantidad de aristas predeterminada adjunta.
• Los otros extremos de las aristas se conectan en
  los vértices que ya existen con probabilidad
  relativa de sus grados actuales.
• Se necesita un grafo seminal para empezar la
  construcción

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Modelos y aplicaciones

• Hoy en día existe muchos modelos también
  modelos decididos que combinan las ideas de
  redes pequeño-mundo y redes sin escala, para que
  éstas concuerdan con las observaciones de
  distintos clases de redes naturales
• Si se requieren simulaciones en grafos semejantes
  de una red de mundo real, primero se miden las
  propiedades de la red y despues se generan
  instancias similares según un modelo que
  corresponde las medidas obtenidas

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Extraccíón de propiedades

• Se necesita algoritmos eficientes para el cálculo
  de las medidas de estructura
• A menudo es más factible y rápida de calcular
  aproximaciones
• Si la red natural de que se trata es muy grande,
  se necesita métodos de muestreo para analisarla
• A veces la red entera no tiene importancia, pero
  sólo unos vértices y sus alrededores, en cual
  caso se puede utilizar métodos locales

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Algoritmos y redes naturales

• El estudio de algoritmos ha tradicionalmente
  usado el modelo ER como fundamento para el
  análisis de complejidad promedio cualquier
  instancia se supone equiprobable
• Las instancias de mundo real son muy específicas
  y tienen estructuras especiales los algoritmos
  no se podría diseñar y analizar tomando en cuenta
  las observaciones estructurales?

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Observaciones algorítmicas

• Para variosos problemas, como la coloración de
  grafos y el descubrimiento de cliques máximas, se
  ha tomado cuenta que el rendimiento de algoritmos
  depende mucho de las propiedades estructurales
• Quizás sea posible aprovechar los conocimientos
  estructurales de las instancias naturales para
  dar eficacia o construir soluciones aproximadas
  buenas

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Métodos de tratamiento de grafos muy grandes

• El número de vértices es tan grande que toda la
  información de adyacencia no se puede procesar al
  mismo tiempo
• Normalmente los grafos naturales son muy
  esparcidos (N ? M en vez de N ltlt M)

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Algoritmos locales

• Métodos de muestreo
• Descubrimiento de racimos
• subgrafos de alta densidad y independencia del
  resto de grafo
• aplicaciones en redes ad hoc
• Búsqueda rápida de rutas con largura casi optimal

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Muestreo

• La recoleción de vértices en una manera
  uniforme según alguna propiedad específica, como
  el grado, por ejemplo
• Se necesitan métodos que no usen mucha memoria,
  que no necesiten acceso a la red entera al mismo
  tiempo y que sean eficientes y adaptables a
  varias medidas
• Proponemos una construcción para combinar dos
  cadenas de Markov una que se mezcla rápidamente
  y una para la elección de las muestras

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Descubrimiento de racimos

• Clasificación de redes según la estructura y la
  distribución de racimos
• Consultas (queries) de vértices relacionados en
  un base de datos con enlaces entre documentos
  similares
• Ùtil para el encaminamiento jerárquico en redes
  adhocs
• Algoritmos locales, optimización de una función
  objetivo que se basa en datos disponibles en el
  candidato de racimo actual, justificación
  física de funciones diferentes

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Rutas suboptimales

• No siempre es necesario usar la ruta de largo
  mínima la rapidez y/o localidad de las
  decisiones de encaminamiento pueden tener mucho
  más valor
• Búsqueda de una ruta de largo casi tan corta como
  la de la ruta optimal
• Utilizacíón de conocimiento sobre vecinos
  secundarios (los vecinos de los vecinos) junto
  con caminos aleatorios rápidos
• Problemas con la presencia de concentradores en
  redes naturales
• El número de vecinos secundarios puede ser
  demasiado grande y se puede guardar solamente
  información parcial en los vértices

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Oportunidades de colaboración?

• Me interesa cualquier cosa que tiene algo que ver
  con minería de datos con grafos, como la búsqueda
  para subgrafos semejantes, métodos asignación de
  ruta
• Si alguién necesita auyda con modelación y/o
  generación de redes para simulaciónes o otros
  experimentos, dígame por favor
• Todos mis artículos y otro material están
  disponibles en mi página de web (son en inglés
  más o menos todos)
• http//www.tcs.hut.fi/satu/castellano.shtml

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Muchas gracias por su atención!

• Preguntas?