ALGORITMOS DE KRUSKAL Y PRIM

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ALGORITMOS DE KRUSKAL Y PRIM

•  
• JULIÁN RICARDO CÁRDENAS FERNANDO PEREZ TORRES
• ELKIN YAMITH BARRERA

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GRAFOS

• Un grafo es un conjunto de puntos (vértices) en
  el espacio, que están conectados por un conjunto
  de líneas (aristas).

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Terminología de Grafos

• Una arista se representa por los vértices que
  conecta. La arista 3 conecta los vértices b y d,
  y se representa por A(b,d).
• Algunos vértices pueden conectar un nodo consigo
  mismo por ejemplo, el vértice d tiene el formato
  V(d,d). Estas aristas se denominan bucles
• Al número de vértices que tiene un grafo se le
  llama orden del grafo
• Un grafo nulo es un grafo de orden 0
• Dos vértices son adyacentes si hay un arco que
  los une.
• Un camino es una secuencia de uno o más arcos que
  conectan 2 nodos.
• Un grafo es dirigido cuando los arcos tienen
  dirección.
• Un grafo es no-dirigido cuando los arcos no
  tienen dirección.
• La longitud de un camino es el nº de arcos que
  comprende.
• Un camino simple es, si todos los vértices usados
  son distintos excepto el1ero y el último que se
  permite sean idénticos.

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Tipos de Grafos

• Existen dos tipos de grafos los no dirigidos y
  los dirigidos.
• No dirigidos son aquellos en los cuales los
  lados no están orientados (No son flechas). Cada
  lado se representa entre paréntesis, separando
  sus vértices por comas, y teniendo en cuenta
  (Vi,Vj)(Vj,Vi).
• Dirigidos son aquellos en los cuales los lados
  están orientados (flechas). Cada lado se
  representa entre ángulos, separando sus vértices
  por comas y teniendo en cuenta ltVi ,Vjgt!ltVj
  ,Vigt. En grafos dirigidos, para cada lado ltA,Bgt,
  A, el cual es el vértice origen, se conoce como
  la cola del lado y B, el cual es el vértice
  destino, se conoce como cabeza del lado.

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ÁRBOLES DE EXPANSIÓN MÍNIMOS

• es aquel que obtenemos en un grafo conexo y sin
  ciclos. Árbol de máximo alcance cuyo valor es
  mínimo, es decir, la suma de sus aristas es
  mínima.
•  
• Árbol es un grafo en el que existe un único nodo
  desde el que se puede acceder a todos los demás y
  cada nodo tiene un único predecesor, excepto el
  primero, que no tiene ninguno.
• También podemos definir un árbol como
• Un grafo conexo y sin ciclos.
• Un grafo sin ciclos y con n-1 aristas, siendo n
  el número de vértices.
• Grado de un nodo en un árbol es el número de
  subárboles de aquel nodo.Denominamos hojas en un
  árbol a los nodos finales (v3, v5 y v6).Un árbol
  de máximo alcance

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ROBERT PRIM

• Nació en 1921, Sweetwater, (Estados Unidos) es
  un matemático e ingeniero informático.
• Robert Prim en 1957 descubrió un algoritmo para
  la resolución del problema del Árbol de coste
  total mínimo(minimum spanning tree - MST). Este
  problema es un problema típico de optimización
  combinatoria, que fue considerado originalmente
  por Otakar Boruvka en 1926 mientras estudiaba la
  necesidad de electrificación rural en el sur de
  Moravia en Checoslovaquia. Este problema también
  fue resuelto por Joseph B. Kruskal en 1956.

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Joseph KRUSKAL

• Joseph B. Kruskal investigador del Math Center
  (Bell-Labs), que en 1956 descubrió su algoritmo
  para la resolución del problema del Árbol de
  coste total mínimo (minimum spanning tree - MST)
  también llamado árbol recubridor euclídeo mínimo.
  
• El objetivo del algoritmo de Kruskal es construir
  un árbol (subgrafo sin ciclos) formado por arcos
  sucesivamente seleccionados de mínimo peso a
  partir de un grafo con pesos en los arcos.

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• El Algoritmo de Kruskal que resuelve la misma
  clase de problema que el de Prim, salvo que en
  esta ocasión no partimos desde ningún nodo
  elegido al azar. Para resolver el mismo problema
  lo que hacemos es pasarle a la función una lista
  con las aristas ordenada de menor a mayor, e
  iremos tomando una para formar el ARM.

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ALGORITMO DE PRIM

• El algoritmo incrementa continuamente el tamaño
  de un árbol, comenzando por un vértice inicial al
  que se le van agregando sucesivamente vértices
  cuya distancia a los anteriores es mínima. Esto
  significa que en cada paso, las aristas a
  considerar son aquellas que inciden en vértices
  que ya pertenecen al árbol.
• El árbol recubridor mínimo está completamente
  construido cuando no quedan más vértices por
  agregar.
•  

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Objetivo de Algoritmo prim

• Encontrar el árbol recubridor más corto

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Requisitos

• ?  Ser un grafo conexo
•  
• ?  Ser un grafo sin ciclos
•  
• ?  Tener todos los arcos etiquetados.

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• La idea básica consiste en añadir, en cada paso,
  una arista de peso mínimo a un árbol previamente
  construido. Más explícitamente
• Paso 1. Se elige un vértice u de G y se considera
  el árbol Su
• Paso 2. Se considera la arista e de mínimo peso
  que une un vértice de S y un vértice que no es de
  S, y se hace SSe
• Paso 3. Si el nº de aristas de T es n-1 el
  algoritmo termina. En caso contrario se vuelve al
  paso 2

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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ALGORITMO DE KRUSKAL

• El algoritmo de Kruskal permite hallar el árbol
  minimal de cualquier grafo valorado (con
  capacidades). Hay que seguir los siguientes
  pasos
• Se marca la arista con menor valor. Si hay más de
  una, se elige cualquiera de ellas.
• De las aristas restantes, se marca la que tenga
  menor valor, si hay más de una, se elige
  cualquiera de ellas.
• Repetir el paso 2 siempre que la arista elegida
  no forme un ciclo con las ya marcadas.
• El proceso termina cuando tenemos todos los nodos
  del grafo en alguna de las aristas marcadas, es
  decir, cuando tenemos marcados n-1 arcos, siendo
  n el número de nodos del grafo

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Ejemplo

• Determinar el árbol de mínima expansión para el
  siguiente grafo
• Siguiendo el algoritmo de Kruskal, tenemos

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Ejercicio
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• Elegimos, por ejemplo, la arista (5, 6) 1
  (menor valor) y la marcamos.
• Elegimos la siguiente arista con menor valor (1,
  3) 1 y la marcamos.
• Elegimos la siguiente arista con menor valor (5,
  7) 2 y la marcamos, ya que no forma ciclos con
  ninguna arista de las marcadas anteriormente.
• Elegimos la siguiente arista con menor valor (1,
  2) 3 y la marcamos, ya que no forma ciclos con
  ninguna arista de las marcadas anteriormente.
• Elegimos la siguiente arista con menor valor (6,
  7) 4 y la desechamos, ya que forma ciclos con
  las aristas (5, 7) y (5, 6) marcadas
  anteriormente.
• Elegimos la siguiente arista con menor valor (2,
  5) 5 y la marcamos, ya que no forma ciclos con
  ninguna arista de las marcadas anteriormente.
• Elegimos la siguiente arista con menor valor (4,
  5) 6 y la marcamos, ya que no forma ciclos con
  ninguna arista de las marcadas anteriormente.
• FIN. Finalizamos dado que los 7 nodos del grafo
  están en alguna de las aristas, o también ya que
  tenemos marcadas 6 aristas (n-1).

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Por tanto el árbol de mínima expansión resultante
sería
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WEBGRAFÍA

• http//www.mitecnologico.com/Main/TiposDeGrafos
• http//personales.upv.es/arodrigu/grafos/Prim.htm
• http//www.matediscreta.8k.com/grafos.htm
• www.ganimides.ucm.cl/haraya/doc/GRAFOS.ppt
• http//eisc.univalle.edu.co/materias/Matematicas_D
  iscretas_2/pdf/cobertor_arbol_03.pdf
• http//www.matap.uma.es/profesor/magalan/MatDis/ma
  terial/ArbolesTema6_2_MatDiscreta.pdf
• http//www.inf.ucv.cl/rsoto/cursos/INF245/Cap2_Pa
  rte3_2ppt_INF245.pdf