CC3001 Algoritmos y Estructuras de Datos

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CC3001Algoritmos y Estructuras de Datos

• Diseño y Análisis de Algoritmos Casos de Estudio

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Casos de estudio

• Estudiaremos tres problemas
• Subsecuencia de suma máxima
• Subsecuencia común más larga
• Multiplicación de matrices

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Subsecuencia de suma máxima

• Subsecuencia de suma máxima
• Dados enteros A1, , An (posiblemente negativos),
  encontrar el maximo valor de
• Si todos los números son negativos, la
  subsecuencia de suma máxima es 0

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Subsecuencia de suma máxima

• Ejemplo
• Secuencia -2,11,-4,13,-5,-2
• Respuesta 20
• Veremos cuatro soluciones distintas para este
  problema
• Primera solución (fuerza bruta)
• Calcular la suma de todas las subsecuencias
• Quedarse con la suma mayor

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Subsecuencia de suma máxima

• Solución 1 Fuerza bruta
• int maxSum 0
• for( i0 ilta.length i)
• for( ji jlta.length j)
• int thisSum 0
• for (ki kltj k)
• thisSum ak
• if (thisSum gt maxSum)
• maxSum thisSum

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Subsecuencia de suma máxima

• Tiempo O(n3)

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Subsecuencia de suma máxima

• Segunda solución (mejora fuerza bruta)
• Notar que
• Por lo tanto, el tercer ciclo for se puede
  eliminar

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Subsecuencia de suma máxima

• Solución 2 Mejora a fuerza bruta
• int maxSum 0
• for( i0 ilta.length i)
• int thisSum 0
• for (ji jlta.length j)
• thisSum aj
• if (thisSum gt maxSum)
• maxSum thisSum

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Subsecuencia de suma máxima

• Tiempo O(n2)
• Solución 3 Usando dividir para reinar
• Idea dividir el problema en dos subproblemas del
  mismo tamaño
• Resolver recursivamente
• Mezclar las soluciones
• Obtener solución final

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Subsecuencia de suma máxima

• Dividiendo el problema
• Subsecuencia de suma máxima puede estar en tres
  partes
• Primera mitad
• Segunda mitad
• Cruza por el medio ambas mitades

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Subsecuencia de suma máxima

• Dividiendo el problema
• Ejemplo

Primera mitad Segunda mitad
4 -3 5 -2 -1 2 6 -2
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Subsecuencia de suma máxima

• Dividiendo el problema
• Ejemplo
• Suma máxima primera mitad 6

Primera mitad Segunda mitad
4 -3 5 -2 -1 2 6 -2
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Subsecuencia de suma máxima

• Dividiendo el problema
• Ejemplo
• Suma máxima segunda mitad 8

Primera mitad Segunda mitad
4 -3 5 -2 -1 2 6 -2
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Subsecuencia de suma máxima

• Dividiendo el problema
• Ejemplo
• Suma máxima incluyendo último primera mitad 4
• Idem primer elemento segunda mitad 7
• Total 11 (mayor que máximo en ambas mitades)

Primera mitad Segunda mitad
4 -3 5 -2 -1 2 6 -2
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Subsecuencia de suma máxima

• Algoritmo
• Dividir secuencia en dos (izquierda, derecha)
• Resolver recursivamente las mitades
• Caso base secuencia de largo 1
• Calcular suma máxima centro (borde izquierdo
  borde derecho)
• Retornar maxizquierda, derecha, centro

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Subsecuencia de suma máxima

• Complejidad del algoritmo
• Dos llamadas recursivas de tamaño n/2
• Suma máxima centro O(n)
• Ecuación de recurrencia

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Subsecuencia de suma máxima

• Tiempo O(n log(n))
• Solución 4 Algoritmo eficiente
• Observaciones
• No es necesario conocer donde esta la mejor
  subsecuencia
• La mejor subsecuencia no puede comenzar en un
  número negativo
• Cualquier subsecuencia negativa no puede ser
  prefijo de la subsecuencia óptima

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Subsecuencia de suma máxima

• Solución 4 Algoritmo eficiente
• Inducción (reforzada)
• Se conoce la mejor subsecuencia entre 1 y j
• Se conoce la mejor subsecuencia que termina en j
• Algoritmo
• Se almacenan ambos valores (inicialmente 0)
• Se incrementa j en 1
• Se actualiza mejor subsecuencia si es necesario
• Si subsecuencia que termina en j es lt 0 se puede
  descartar, volver su valor a 0

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Subsecuencia de suma máxima

• Seudocódigo
• int maxSum 0, thisSum 0
• for( j0 jlta.length j)
• thisSum aj
• if (thisSum gt maxSum)
• maxSum thisSum
• else if (thisSum lt 0)
• thisSum 0

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Subsecuencia de suma máxima

• Tiempo de la solución eficiente O(n)

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Multiplicación de matrices

• Problema numérico fundamental
• A, B matrices de N x N
• Se desea calcular C A B

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Multiplicación de matrices

• Algoritmo simple
• // A, B matrices de N x N
• int Cnew intNN
• for( int i0 iltn i) // Inicializacion
• for (int j0 jltn j)
• Cij0
• for( int i0 iltn i)
• for (int j0 jltn j)
• for (int k0 kltn k)
• CijAikBkj

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Multiplicación de matrices

• Tiempo algoritmo simple O(N3)
• Por largo tiempo se supuso cota W(N3)
• En los 60, Strassen mostró como romper la
  barrera W(N3)
• Idea del algoritmo de Strassen
• Dividir cada matriz en cuatro cuadrantes

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Multiplicación de matrices

• Descomposición de ABC en cuatro cuadrantes

25
Multiplicación de matrices

• Se realizan 8 multiplicaciones de matrices de N/2
  x N/2

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Multiplicación de matrices

• Tiempo O(N3)
• Mejora disminuir número de subproblemas
• Estrategia de Strassen

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Multiplicación de matrices

• Respuesta final

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Multiplicación de matrices

• Complejidad ahora satisface la recurrencia

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Multiplicación de matrices

• Detalles a considerar
• N no es potencia de 2 (detalle menor)
• En la práctica, algoritmo de Strassen funciona
  mejor que el algoritmo simple cuando N es
  grande
• Numéricamente inestable
• Sin embargo, representa un resultado interesante
  desde el punto de vista teórico

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Subsecuencia común más larga

• Problema comparar dos secuencias de ADN
• ADN secuencia de moléculas llamadas bases
• Se puede representar como un string (A, C, G, T)
• Cómo determinar si dos secuencias son similares
• Una es substring de la otra
• Costo de transformar una en otra (distancia
  edición)
• Encontrar una tercera que se parezca a ambas

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Subsecuencia común más larga

• Definiciones
• Subsecuencia la secuencia con cero o más
  elementos dejados fuera
• Formalmente
• Z es subsecuencia de X si existe secuencia de
  índices creciente de X tal que

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Subsecuencia común más larga

• Definiciones
• Z es subsecuencia común de X e Y si es
  subsecuencia de X y de Y
• Ejemplos
• Problema encontrar subsecuencia común más larga
  (LCS) de X e Y

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Subsecuencia común más larga

• Solución por fuerza bruta
• Enumerar todas las subsecuencias de X
• Chequear cada una si es también subsecuencia de Y
• Guardar la subsecuencia común más larga
• X tiene 2m subsecuencias
• Tiempo O(2m)

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Subsecuencia común más larga

• Idea intentar dividir el problema
• Definición i-ésimo prefijo de X
• Subproblemas de LCS prefijos de X e Y

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Subsecuencia común más larga

• Teorema Subestructura óptima de una LCS
• X (m) e Y (n) secuencias, Z (k) una LCS de X e Y

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Subsecuencia común más larga

• Teorema implica revisar uno o dos subproblemas
• La solución del subproblema es parte de la
  solución final (óptima)
• Nota Encontrar LCS de casos (2) y (3) del
  Teorema implica calcular LCS de Xm-1 e Yn-1
• Muchos subproblemas comparten otros subproblemas
• Total subproblemas distintos mn

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Subsecuencia común más larga

• Solución Programación dinámica
• Definición Matriz C de m x n
• Algoritmo llenar tabla en forma bottom-up

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Subsecuencia común más larga

• Implementación
• mX.length-1 nY.length-1 // indices 1 a m,n
• for(i1 iltm i) ci,00
• for(j0 jltn j) c0,j0
• for(i1 iltm i)
• for(j1 jltn j)
• if (XiYj)
• ci,jci-1,j-11 bi,j\
• else if (ci-1,jgtci,j-1)
• ci,jci-1,j bi,j
• else
• ci,jci-1,j bi,j-
• return c,b

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Subsecuencia común más larga

• Ejemplo
• Para imprimir LCS
• void LCS(b,X,i,j)
• if (i0 j0)
• return
• if (bi,j\)
• LCS(b,X,i-1,j-1)
• print(Xi)
• else if (bi,j)
• LCS(b,X,i-1,j)
• else \\ -
• LCS(b,X,i,j-1)

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Selección del k-ésimo

• Selección (k-ésimo)
• Problema dado un arreglo desordenado encontrar
  el k-ésimo del conjunto
• Determinar mínimo o máximo O(n) (cota mínima)
• Supongamos una especie de torneo entre elementos,
  x es el primero (máximo)
• El segundo puede ser cualquiera de los que
  perdieron directamente con x

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Selección del k-ésimo

• Luego, para calcular segundo, tercero, , toman
  tiempo
• Segundo nlog2n
• Tercero n2log2n
• k n(k-1)log2n
• Esto está bien para k constante, pero para un k
  genérico (como la mediana)
• kn/2 O(n log n)

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Selección del k-ésimo

• Quickselect
• Se basa en el tipo de operaciones de quicksort
• Se escoge pivote al azar
• Se particiona el arreglo de acuerdo al pivote
  escogido
• Si el pivote cae más allá de la posición k, sólo
  se ordena la parte izquierda
• Si el pivote estaba en la posición k, lo
  encontramos de inmediato

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Selección del k-ésimo

• Seudocódigo
• Quickselect(S,k)
• Sea p en S
• S1 x en S, x lt p
• S2 x en S, x gt p
• Si k lt S1 return Quickselect(S1,k)
• Si k S11 return p
• return Quickselect(S2, k-S1-1)

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Selección del k-ésimo

• Peor caso O(n2) (mala elección del pivote)
• Caso promedio O(n)
• En la práctica este algoritmo es muy rápido, pero
  su peor caso es pésimo
• Uno quisiera asegurar una garantía de orden
  lineal para encontrar el k-ésimo
• Idea buscar un pivote tal que deje fuera por lo
  menos una fracción fija del total de elementos

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Selección del k-ésimo

• Método de selección lineal
• Dividir S en S/5 conjuntos (cada Si contiene 5
  elementos)
• Obtener las medianas m1, m2,
• Obtener pSelect(mi, (S/5)/2) (mediana de las
  medianas)

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Selección del k-ésimo

• Características de p
• Mayor que la mitad de las medianas
• Menor que la otra mitad de las medianas
• De los grupos con medianas menores (que fueron
  obtenidas de entre 5 elementos)
• 3 elementos son menores que p
• De los grupos con medianas mayores
• 3 elementos son mayores que p
• Esto implica que 3/10 elementos son menores que p
  y que 3/10 son mayores que p

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Selección del k-ésimo

• El pivote p sólo puede ser mayor que el 3/10
  menor y menor que el 3/10 mayor de S
• En el peor caso habrá que buscar recursivamente
  en un grupo con 7/10 de los elementos
• Cálculo de mi y particiones cálculo de mediana
  de medianas recursión sobre (7/10)n restantes

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Selección del k-ésimo

• Suponiendo solución O(n)

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Selección del k-ésimo

• La elección de 5 elementos para los grupos Si se
  debe a que
• Este número debe ser impar para obtener mediana
  exacta
• Debe ser mayor o igual a 5 para asegurar
  linealidad del algoritmo
• Se escoge 5 porque
• Mediana de medianas queda muy a la mitad
• Para números muy grandes de elementos calcular
  las medianas toma tiempo mayor