Investigacin Operativa

1
Investigación Operativa

• DESARROLLO DE MODELOS

2
El problema
Los recursos son escasos
Los sistemas son cada vez más complejos
Cada vez es más difícil asignar los recursos o
actividades de la forma más eficaz
3
Investigación operativa (I.O.)

• Es la aplicación del método científico para
  asignar los recursos o actividades de forma
  eficaz, en la gestión y organización de sistemas
  complejos
• Su objetivo es ayudar a la toma de decisiones
• Requiere un enfoque interdisciplinario

4
Historia de la I.O.

• Se aplica por primera vez en 1780
• Antecedentes
• Matemáticas modelos lineales (Farkas, Minkowski)
  (s.XIX)
• Estadística fenómenos de espera (Erlang, Markov)
  (años 20)
• Economía Quesnay (x.XVIII), Walras (s.XIX), Von
  Neumann (años 20)
• El origen de la I.O. moderna se sitúa en la 2ª
  Guerra Mundial

5
Historia de la I.O.

• Al terminar la guerra, sigue el desarrollo en la
  industria, debido a
• competitividad industrial
• progreso teórico
• RAND (Dantzig)
• Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker)
• Carnegie Institute of Technology (Charnes,
  Cooper)
• gran desarrollo de los ordenadores

6
Actualidad de la I.O.

• Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos
  sectores, con grandes avances sobre todo en el
  campo de la Inteligencia Artificial
• Más información
• Sociedad Española de Estadística e Inv. Op.
  (SEIO)
• www.cica.es/aliens/seio
• Association of European O.R. Societies (EURO)
• www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.html
• Institute for O.R. and the Management Sci.
  (INFORMS)
• www.informs.org
• International Federation of O.R. Societies
  (IFORS)
• www.ifors.org

7
El método de la I.O.

• Definición del problema
• Formulación del problema y construcción del
  modelo
• Resolución
• Verificación, validación, refinamiento
• Interpretación y análisis de resultados
• Implantación y uso extensivo

A lo largo de todo el proceso debe haber una
interacción constante entre el analista y el
cliente
8
El modelado

• Es una ciencia
• análisis de relaciones
• aplicación de algoritmos de solución
• Y a la vez un arte
• visión de la realidad
• estilo, elegancia, simplicidad
• uso creativo de las herramientas
• experiencia

9
Definición del problema

• Consiste en identificar los elementos de decisión
• objetivos (uno o varios, optimizar o satisfacer)
• alternativas
• limitaciones del sistema
• Hay que recoger información relevante (los datos
  pueden ser un grave problema)
• Es la etapa fundamental para que las decisiones
  sean útiles

10
Formulación del problema

• Modelo representación simplificada de la
  realidad, que facilita su comprensión y el
  estudio de su comportamiento
• Debe mantener un equilibrio entre sencillez y
  capacidad de representación
• Modelo matemático modelo expresado en términos
  matemáticos
• hace más claras la estructura y relaciones
• facilita el uso de técnicas matemáticas y
  ordenadores
• a veces no es aplicable

11
Construcción del modelo

• Traducción del problema a términos matemáticos
• objetivos función objetivo
• alternativas variables de decisión
• limitaciones del sistema restricciones
• Pero a veces las relaciones matemáticas son
  demasiado complejas
• heurísticos
• simulación

12
Tipos de modelos

• Determinísticos
• Programación matemática
• Programación lineal
• Programación entera
• Programación dinámica
• Programación no lineal
• Programación multiobjetivo
• Modelos de transporte
• Modelos de redes

• Probabilísticos
• Programación estocástica
• Gestión de inventarios
• Fenómenos de espera (colas)
• Teoría de juegos
• Simulación

13
Resolución

• Determinar los valores de las variables de
  decisión de modo que la solución sea óptima (o
  satisfactoria) sujeta a las restricciones
• Puede haber distintos algoritmos y formas de
  aplicarlos

14
Verificación y validación

• Eliminación de errores
• Comprobación de que el modelo se adapta a la
  realidad

15
Interpretación y análisis

• Robustez de la solución óptima obtenida Análisis
  de sensibilidad
• Detección de soluciones cuasi-óptimas atractivas

16
Implantación

• Sistema de ayuda y mantenimiento
• Documentación
• Formación de usuarios

17
Ejemplo nº1
En una fábrica de cerveza se producen dos tipos
rubia y negra. Su precio de venta es de 50
ptas/l y 30 ptas/l, respectivamente. Sus
necesidades de mano de obra son de 3 y 5
empleados, y de 5.000 y 2.000 ptas de materias
primas por cada 1000 l. La empresa dispone
semanalmente de 15 empleados y 10.000 ptas para
materias primas, y desea maximizar su beneficio.
Cuántos litros debe producir?
18
Formulación
19
El modelo de P.L.
20
El modelo de P.L.
z función objetivo CT (c1,...,cn) vector de
coeficientes de la f.o. XT (x1,...,xn) vector de
variables de decisión A (...,aij,...) matriz de
coeficientes técnicos b (b1,...,bm) vector de
demandas
Matricialmente, Opt CTX s.a. AX b x ?
0
Forma canónica
21
Propiedades del modelo lineal

• Proporcionalidad
• La contribución al coste y a las restricciones es
  directamente proporcional al valor de cada
  variable
• Aditividad
• El coste y las restricciones son la suma directa
  de las variables
• Divisibilidad
• Las variables pueden dividirse en cualquier tipo
  de fracción

22
Modelos de prog. entera

• El modelo matemático es el modelo de P.L., pero
  con algunas variables enteras
• Programación entera mixta (MIP)
• x ? R, y ? Z
• Programación entera pura (IP)
• x ? Z
• Programación binaria ó 0-1 (0-1 MIP, 0-1 IP, BIP)
• x ? 0,1 variables de asignación, lógicas
• Son problemas más complicados de resolver que los
  de P.L.
• El primer algoritmo de resolución se planteó en
  el año 1958 (Gomory)

23
Problemas típicos

• Problema del transporte
• Problema de flujo con coste mínimo en red
• Problema de asignación
• Problema de la mochila (knapsack)
• Problema del emparejamiento (matching)
• Problema del recubrimiento (set-covering)
• Problema del empaquetado (set-packing)
• Problema de partición (set-partitioning)
• Problema del coste fijo (fixed-charge)
• Problema del viajante (TSP)
• Problema de rutas óptimas

24
Problema del transporte

• Minimizar el coste total de transporte entre los
  centros de origen y los de destino, satisfaciendo
  la demanda, y sin superar la oferta

xij unidades a enviar de origen i a destino
j cij coste unitario de transporte de i a j ai
unidades de oferta en el punto origen i bj
unidades de demanda en el punto destino j Se
supone oferta total igual a demanda total
25
Flujo con coste mínimo en red
Embarcar los recursos disponibles a través de la
red para satisfacer la demanda a coste mínimo
xij unidades enviadas de i a j (flujo) cij
coste unitario de transporte de i a
j birecursos disponibles en un nodo i oferta
bigt0 demanda bilt0 transbordo bi0 Se supone
oferta total igual a demanda total
26
Problema de asignación
Minimizar el coste total de operación de modo
que - cada tarea se asigne a una y sólo una
máquina - cada máquina realice una y sólo una
tarea
xij 1 si la tarea i se hace con la máquina
j cij coste de realizar la tarea i con máquina
j n tareas m máquinas Si hay más máquinas que
tareas se formula con desigualdades, y se
resuelve con tareas ficticias
27
Problema de la mochila
Escoger un grupo de productos que maximice el
valor total sin exceder el espacio disponible
n objetos aj espacio que ocupa el objeto j cj
valor del objeto j b volumen de la mochila xj
1 si se escoge el objeto j
28
Problema de emparejamiento
Distribuir un conjunto por parejas de tal forma
que el valor sea máximo. Si hay elementos sin
pareja emparejamiento imperfecto. Si están en
dos conjuntos, emparejamiento bipartito.
xij1 si los elementos i y j son pareja cij
valor de la pareja i-j iltj
29
Problema de recubrimiento
Minimizar el coste de las actividades que en su
conjunto cubren todas las características al
menos una vez
m características n actividades xj1 si la
actividad j se realiza cj coste unitario de la
actividad j aij1 si la característica i está en
la actividad j A matriz de incidencia
30
Problema de empaquetado
Maximizar el beneficio total de forma que hay que
elegir conjuntos completos de actividades, y que
no se realice una actividad dos veces
m actividades n conjuntos de actividades xj1 si
se elige el subconjunto j cj beneficio por
realizar el conjunto j aij1 si el conjunto j
incluye la actividad i A matriz de incidencia
31
Problema de partición
Si en el problema de recubrimiento o en el de
empaquetado las desigualdades se cambian por
igualdades
m actividades n conjuntos de actividades xj1 si
se elige el subconjunto j cj beneficio por
realizar el conjunto j aij1 si el conjunto j
incluye la actividad i A matriz de incidencia
32
Problema del coste fijo
Decidir la cantidad de cada producto de modo que
se minimicen los costes de producción y se
satisfaga la demanda
xij unidades del producto j cj coste unitario
de producción de j yk1 si se usa la instalación
k fk coste de arranque de la instalación k akj1
si el producto j usa la instalación k bj
demanda del producto j M número lo
suficientemente grande
33
Problema del viajante
Encontrar un circuito que visite exactamente una
vez cada ciudad empezando en la primera y que
tenga longitud mínima
xij1 si de i va directamente a j cij distancia
entre i y j A conjunto de arcos V conjunto de
nodos
34
(No Transcript)
35
Problema de rutas
Minimizar el coste total, visitando todos los
clientes
N clientes M vehículos xijk1 si el vehículo k
visita j después de i cij coste unitario de
transporte de i a j dij distancia de i a j tij
tiempo de i a j qi demanda si tiempo de
descarga ?i prioridad Qk capacidad rok, dok
período tiempo disponible ck coste fijo por uso
36
Formulación con var. binarias
Restricciones disyuntivas
K de N alternativas deben darse
Restricciones condicionales
equiv. a
Decisiones contingentes
x ? y
y ? x