Esame di Ricerca Operativa 2

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Esame di Ricerca Operativa 2
SimRestHouse
Federici Lisa Gatti Francesca Maestri
Cristina Nesci Elisabetta - Redento Vincenza
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Introduzione del Progetto
Il nostro lavoro di simulazione consiste
nellanalisi del flusso di ricoveri di una Casa
di Riposo per anziani.
Obiettivo
Valutare, sulla base dei dati relativi agli
ultimi dieci anni, quale aumento di posti letto
sarà necessario per far fronte alle richieste di
degenza nei prossimi cinquantanni.
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Individuazione del Progetto
Nella struttura analizzata vi è una disponibilità
di 93 posti letto.
Per ogni anno abbiamo considerato i seguenti
fattori

• numero di degenti trasferiti ad altra sede o
  dimessi

• numero di degenti deceduti

• numero di posti-letto disponibili

• numero di richieste di ricovero

• numero di nuovi degenti entrati nella struttura
  (cioè numero di richieste
• soddisfatte)

• numero di richieste in attesa.

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Raccolta dati storici relativi agli anni dal 1995
al 2004 presso la Casa di Riposo Paolo VI del
Comune di Bagnolo Mella.
Anno Trasferiti in altra sede/Dimessi Deceduti N posti disponibili N richieste di ricovero Entrati In attesa
1995 12 21 33 39 33 6
1996 3 27 30 41 30 11
1997 13 9 22 32 22 10
1998 11 15 26 33 26 7
1999 15 20 35 44 35 9
2000 13 13 26 42 26 16
2001 8 16 24 37 24 13
2002 4 20 24 39 24 15
2003 2 25 27 55 27 28
2004 7 16 23 64 23 41
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Introduzione Teorica

• Modelli di Simulazione

• Metodo di Montecarlo

• Linguaggi di Simulazione

• Struttura dei Modelli di Simulazione

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I modelli di Simulazione
Nella simulazione si descrive cosa succederà nel
futuro in modo tale da tenere un comportamento
razionale.
Viene simulato un problema tipicamente
probabilistico con le tecniche previsionali,
conoscendo la storia presente e passata
dell'ambiente in analisi.
Esse agiscono da stimatori e hanno in sè gli
elementi che permettono di valutare la storia
futura.
Il metodo della simulazione è particolarmente
interessante quando la problematica da analizzare
presenta componenti probabilistiche che spesso
introducono elementi di grande complessità nei
modelli analitici che le prendono in
considerazione.
La simulazione di tipo probabilistico crea una
storia simulata partendo da una storia certa
conosciuta secondo una legge di probabilità.
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Il metodo di Montecarlo
Rappresenta lo strumento che permette, nella
simulazione, la generazione di eventi
pseudo-casuali (non realizzati mediante un
processo realmente casuale ma in grado di
riprodurre le caratteristiche dellaleatorietà). P
er poter simulare un fenomeno occorre riprodurlo
si parte da una serie di dati osservati nel
passato (serie storica), supponendo che il
meccanismo di ciò che è avvenuto sia uno
stimatore corretto di quello che accadrà, e se ne
rileva la distribuzione di probabilità.
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Generazione numeri casuali

1. si traccia il grafico della funzione cumulata

1. si genera un numero casuale compreso tra 0 e 1

1. si riporta il numero così trovato sull'asse y e
   lo si proietta orizzontalmente sulla curva y
   F(x)

1. il valore di x così trovato (x f-1(y) ) sulla
   curva si assume come uno dei valori del campione
   di x.

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Vantaggi

1. produrre dati relativi a simulazioni di eventi
   per tempi anche molto lunghi

1. è possibile modificare a piacimento i parametri
   che determinano l'andamento della simulazione

Esempio nella simulazione si può aggiungere un
ulteriore centro di servizio per vedere come
evolve la situazione, senza doverlo installare
nella realtà, eliminando così l'impiego di tempo
e risorse che si sarebbe dovuto affrontare nel
caso la modifica fosse stata compiuta
materialmente.
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Linguaggi di Simulazione

• GPSS (General Purpose Simulation System)

• Simula

• DYNAMO (linguaggio destinato alla simulazione di
  sistemi dinamici ovvero sistemi dipendenti
  dallistante di osservazione).

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Struttura dei modelli di simulazione
Entità indicano un pezzo del modello che verrà
rappresentato e che potrà essere composto da una
pluralità di questi pezzi.
Attributi rappresentano linsieme delle
caratteristiche che permettono alle entità di
operare.
Orologio di simulazione
Meccanismo di avanzamento del tempo di
simulazione che scandisce il verificarsi degli
eventi più importanti. Questo avanzamento può
essere di tipo

• costante la situazione delle entità viene
  valutata ad incrementi periodici di tempo per
  verificarne il risultato

• variabile il contatore viene avanzato alla fine
  dellintervallo di tempo considerato, quando
  avviene uninterazione fra le entità del modello.

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Analisi del Progetto

• Analisi delle variabili casuali

• Trasformazione inversa

• Generazione degli eventi pseudo-casuali

• Algoritmo di simulazione

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Analisi delle variabili casuali
Variabile casuale x
Numero decessi (x) valore centrale frequenza (f) f(x) F(x)
4, 10 7 1 0,1 0,1
10, 16 13 2 0,2 0,3
16, 22 19 5 0,5 0,8
22, 28 25 2 0,2 1
      1  
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Variabile casuale y
Numero dimessi (y) valore centrale frequenza (f) f(y) F(y)
0, 4 2 2 0,2 0,2
4, 8 6 2 0,2 0,4
8, 12 10 2 0,2 0,6
12,16 14 4 0,4 1
      1  
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Variabile casuale z
Numero richieste ricovero (z) valore centrale frequenza (f) f(z) F(z)
32, 40 36 5 0,5 0,5
40, 48 44 3 0,3 0,8
48, 56 52 1 0,1 0,9
56, 64 60 1 0,1 1
      1  
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Trasformazione inversa U
Per generare gli eventi casuali simulati secondo
la densità di probabilità rilevata si introduce,
per ognuna delle tre variabili casuali descritte,
una nuova variabile casuale in grado di
presentarsi secondo la densità di quelle in
oggetto, ma più semplice da calcolare. Ognuna
delle tre variabili casuali viene quindi
sostituita con una variabile U, uniformemente
distribuita nellintervallo 0,1. Una volta
generato il valore pseudo-casuale u, possiamo
facilmente ottenere i valori x, y, z che
rappresentano i valori numerici degli eventi
simulati.
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Per definizione di variabile uniforme, abbiamo
quindi realizzato le seguenti trasformazioni
Variabile decessi Valore centrale corrispondente
P(0 U lt 0,1) 0,1 7
P(0,1 U lt 0,3) 0,2 13
P(0,3 U lt 0,8) 0,5 19
P(0,8 U lt 1) 0,2 25
   
Variabile dimessi Valore centrale corrispondente
P(0 U lt 0,2) 0,2 2
P(0,2 U lt 0,4) 0,2 6
P(0,4 U lt 0,6) 0,2 10
P(0,6 U lt 1) 0,4 14
   
Variabile richieste ricovero Valore centrale corrispondente
P(0 U lt 0,5) 0,5 36
P(0,5 U lt 0,8) 0,3 44
P(0,8 U lt 0,9) 0,1 52
P(0,9 U lt 1) 0,1 60
   
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Generazione eventi pseudo-casuali
Il tempo del nostro modello di simulazione è
scandito da un orologio simulato, la cui unità di
misura è lanno. Abbiamo analizzato la
situazione per i 50 anni successivi al 2004
(ultimo anno di rilevazione dei dati
fornitici). I tre eventi (numero decessi, numero
dimessi e numero richieste di ricovero) si
verificano ogni anno, quindi, il tempo della
nostra simulazione avanza in modo sincrono.
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Esempio
anni simulati variata casuale in 0,1 evento pseudo-casuale
    numero decessi
2005 0,380 19
2006 0,382 19
2007 0,688 19
2008 0,388 19
2009 0,374 19
2010 0,288 13
2011 0,281 13
2012 0,863 25
2013 0,542 19
2014 0,263 13
2015 0,582 19
2016 0,641 19
2017 0,997 25
2018 0,466 19
2019 0,677 19
2020 0,776 19
2021 0,474 19
2022 0,269 13
2023 0,432 19
2024 0,601 19
primi venti anni simulati per la variabile
casuale numero decessi per ogni numero casuale
generato viene riportato il relativo evento
pseudo-casuale .
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Algoritmo della Simulazione
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Conclusioni

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e quindi
"Aggiungi un posto in camera che c'è un
vecchietto in più!!!"
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Bibliografia

• Prof. Lorenzo Schiavina - Metodi e strumenti
  per la modellizzazione aziendale - (versione
  2.2 preliminare revisione al 25/07/2004)

Ringraziamenti

• Ringraziamo il personale della Casa di Riposo
  Paolo VI del Comune di Bagnolo Mella (Bs) che
  ci ha fornito i dati annuali presi in
  considerazione nel nostro progetto di simulazione.