Escalares y Vectores Operaciones con Vectores

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Escalares y VectoresOperaciones con Vectores
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PANAMA

• Prof. Cynthia Samudio

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Magnitudes Escalares

• Son aquellas en las que las medidas quedan
  correctamente expresadas por medio de un número y
  la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son
  las siguientes magnitudes, entre otras
• Masa
• Temperatura
• Presión
• Densidad

Para muchas magnitudes físicas basta con indicar
su valor para que estén perfectamente definidas.
Así, por ejemplo, si decimos que un hombre tiene
una temperatura de 38 ºC, sabemos perfectamente
que tiene fiebre y si una chica mide 165 cm de
altura y su masa es de 35 kg, está claro que es
sumamente delgada.
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Magnitudes Vectoriales

• Son magnitudes que para estar determinadas
  precisan de un valor numérico, una dirección, un
  sentido y un punto de aplicación.
• Fuerza, velocidad, desplazamiento

Si nos dicen que un hombre corría a 20 km/h
apenas sabemos algo más que al principio.
Deberían informarnos también desde dónde corría y
hacia qué lugar se dirigía.
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Vector

• Un vector es todo segmento de recta dirigido en
  el espacio. Cada vector posee unas
  características que son
• Origen
• También denominado Punto de aplicación. Es el
  punto exacto sobre el que actúa el vector.
• Módulo
• Es la longitud o tamaño del vector. Para
  hallarla es preciso conocer el origen y el
  extremo del vector pues para saber cuál es el
  módulo del vector, debemos medir desde su origen
  hasta su extremo.
• Dirección
• Viene dada por la orientación en el espacio de
  la recta que lo contiene.
• Sentido
• Se indica mediante una punta de flecha situada
  en el extremo del vector, indicando hacia qué
  lado de la línea de acción se dirige el vector.

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Vector
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(No Transcript)
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Suma de Vectores

• Dados dos vectores, estos pueden ser sumados
  mediante una operación llamada suma de vectores.
• Aunque recibe el mismo nombre que la suma de
  números, se trata de una operación distinta, ya
  que esta última adiciona números y produce como
  resultado números. La adición de vectores suma
  vectores y produce como resultado un vector.

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Suma de Vectores-Propiedades

• Como toda operación, la adición de vectores
  tiene unas propiedades que que nos facilitan su
  realización
• Conmutativa.
• Asociativa.
• Existe elemento neutro.
• Existe elemento opuesto

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Propiedad Conmutativa
Propiedad conmutativav w w v
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Propiedad Asociativa
Propiedad asociativa(v w) u w (v u)
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Elemento Neutro

• Existe elemento neutro, el vector 0 cuyo punto de
  aplicación y punto final coinciden, por lo que su
  intensidad vale 0
• v 0 v

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Elemento Opuesto
Existe elemento opuesto (-v), de igual intensidad
y dirección, pero sentido opuesto, de forma que
al sumarlos se obtiene el vector 0v (-v) 0
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Métodos Gráficos para la Suma de Vectores
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Suma de Vectores-Procedimiento Gráfico

• Para sumar dos vectores de manera gráfica
  utilizaremos la denominada Regla del
  paralelogramo, consistente en trasladar
  paralelamente los vectores hasta unirlos por el
  origen, y luego trazar un paralelogramo, del que
  obtendremos el resultado de la suma, como
  consecuencia de dibujar la diagonal de ese
  paralelogramo,

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Regla del Paralelogramo
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Suma de Vectores-Métodos Polígono

• Polígono. Se emplea, sobre todo, cuando se desean
  sumar dos o más vectores a la vez. En el extremo
  del primer vector se sitúa el punto de aplicación
  del segundo, sobre el extremo del segundo vector
  se coloca el punto de aplicación del tercero y
  así hasta terminar de dibujar todos los vectores.
  El vector resultante es el que se obtiene al unir
  el punto de aplicación del primero con el extremo
  del último

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Método Poligonal
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Métodos Analíticos para la Suma de Vectores
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SUMA DE DOS VECTORES

• Como ya lo mencionamos anteriormente, el método
  poligonal también se puede utilizar cuando se
  tienen dos vectores, empleando leyes o funciones
  trigonométricas dependiendo de los ángulos del
  triángulo que se forma.

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SUMA DE DOS VECTORES
En la operación de suma de dos vectores empleando
el método poligonal, se coloca un vector a
continuación de otro como se observa en la
animación. La resultante será la igual al vector
que une el inicio del primer vector con el final
del segundo vector.
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Si al aplicar el método poligonal con dos
vectores estos forman un triángulo oblicuángulo
puede utilizar la ley del seno o del coseno para
encontrar la resultante (módulo y dirección)
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Métodos trigonométricoLey del Seno
En cualquier triángulo se verifica que las
longitudes de los lados son proporcionales a los
senos de los ángulos opuestos
Esta ley se aplica cuando tienes los valores de
por lo menos un lado y todos los ángulos. O de
dos lados y uno de sus ángulos opuestos.
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Ley del Coseno
(La Ley del Coseno)
c2 a2 b2 - 2ab cos(C) b2 a2 c2 - 2ac cos(B) a2 b2 c2 - 2bc cos(A)
La ley de los Coseno es una expresión que te
permite conocer un lado de un triángulo
cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo
opuesto al lado que quieres conocer. 
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Ejemplo1

• Suponga que camina 350 m a lo largo de una
  avenida y luego gira 65º al norte del este y
  continúa caminando 280 m. Cuál es el
  desplazamiento resultante?

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Ejemplo 1
Como primer paso, dibuje los vectores uno a
continuación de otro. Recuerde que puede
colocarlos en el orden que quiera, la resultante
será la misma.
R
A
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Ejemplo1
Debe encontrar los ángulos del triángulo o por lo
menos, el opuesto al lado que esta buscando.
Para determinar que ley debe observar cuales son
los elementos con valores. En este caso se tiene
el valor de los vectores A y B y el ángulo entre
ellos, que es opuesto a la Resultante que estamos
buscando.
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Ejemplo 2

• Un automóvil se ha desplazado una distancia
  desconocida desde A hasta B. Sabemos que luego se
  desplazo 50 m hasta C, formando un ángulo de 15º
  con el vector del primer desplazamiento. Si el
  vector resultante de los dos vectores forma un
  ángulo de 20º con el primer desplazamiento. A
  cuánto equivale el desplazamiento de A hasta B y
  la resultante?

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Ejemplo2
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Si al aplicar el método poligonal con dos
vectores forman un triángulo rectángulo (con un
ángulo de 90º) puede emplear las funciones
trigonométricas y el teorema de Pitágoras para
determinar la resultante.
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Método Trigonométrico para la adición de vectores
Sen A lado opuesto/hipotenusa Cos A lado
adyacente/hipotenusa Tan A lado opuesto/lado
adyacente
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Métodos AnalíticosComponentes Rectangulares

• 1-Dibuje todos los vectores a partir del origen
  en un sistema coordenado
•  
• 2.-Descomponga todos los vectores en sus
  componentes "X" y "Y".
•  
• 3.-Encuentre la componente "X" de la resultante
  sumando los componentes "X" de todos los
  vectores.
• Rx AxBxCx.....
• 4.-Encuentre la componente "Y" de la resultante
  sumando los componentes "Y" de los vectores.
•                   Ry AyByCy......
•  
• 5.-Obtenga la magnitud y dirección de la
  resultante a partir de dos vectores
  perpendiculares, aplicando el teorema de
  Pitágoras.
•                   

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Suma de Componentes
En la Figura se observa la coexistencia de los
vectores A, B y C. El vector resultante se
obtiene a través del Método de los Componentes
observe la manera en que se obtienen las
proyecciones de cada vector se descomponen
rectangularmente, se halla la resultante en cada
eje, se aplica el Teorema de Pitágoras y la
función tangente
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Para poder aplicar el método de componentes
debemos primeramente repasar como descomponer un
vector.
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Descomposición de Vectores componentes
rectangulares
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Vectores Unitarios

• Para poder representar cada vector en este
  sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso
  de tres vectores unitarios. Estos vectores
  unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen
  módulo 1, son perpendiculares entre sí y
  corresponderán a cada uno de los ejes del sistema
  de referencia.

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Vectores Unitarios

• Por ello, al eje de las X, le dejaremos
  corresponder el vector unitario i o también
  denominado i.
• Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el
  vector unitario j o también denominado j .
• Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder
  el vector unitario k o también denominado k.
• Por tanto, obtendríamos un eje de coordenadas
  cartesianas de la siguiente forma

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Representación Vectores Unitarios
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(No Transcript)
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Representación de un Vector utilizando vectores
unitarios
Un Vector A, puede ser reemplazado por su
representación con vectores unitarios, donde Ax
sería su componente en el eje x, Ay su componente
en el eje y y finalmente, Az su representación en
el eje z. Por lo tanto, A Ax i Ay j Az k
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Suma de Vectores Unitarios

• Se usan los símbolos i,j, y k para representar
  los componentes en x, y y z respectivamente.
• Los vectores puede escribirse así
• V VxiVyjVzk
• Para sumar dos o más, se suman las componentes en
  x, y y z. Por ejemplo
• R(Ax Bx)i(AyBy)j(AzBz)k

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Suma de Vectores Unitarios
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Ejemplo 3

• Para los tres vectores de la figura
• Encuentre las componentes rectangulares
• Exprese los vectores como vectores unitarios

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Ejemplo 4

• Para el problema anterior encuentre la suma de
  los vectores.
• a) Empleando el método de las componentes
  rectangulares
• b) Sumando los vectores unitarios.

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Vectores Unitarios Ejemplo

• Un auto recorre 20 km al norte y después 35 km en
  una dirección 60º al oeste del norte. Determine
  la magnitud y dirección de la resultante del
  desplazamiento del auto.

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(No Transcript)
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Operaciones con vectores y escalares
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Producto Punto ó Producto Escalar Definición

• Producto escalar de dos vectores
• Dados un vector R y V, el producto punto o
  producto escalar se define como el producto de la
  magnitud de R, por la magnitud V y el coseno del
  ángulo entre ellos.
• r rxi ryj rzk
• v vxi vyj vzk
• r v r v cos (r, v)

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Producto Punto o Producto Escalar

• Teniendo en cuenta que el producto escalar de los
  vectores
• i i 1 j j 1 k k 1
• Y cualquier otro producto es igual a cero el
  resultado de multiplicar escalarmente r por v es
• r v rx vx ry vy rz vz

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Productos escalares de vectores unitarios
rectangulares
. i j k
i 1 0 0
j 0 1 0
k 0 0 1
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Propiedades del Producto escalar

• El cos dará siempre entre 0 y 1
• Si cos de a y b 0 vectores perpendiculares.

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Producto Escalar
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Aplicación Producto Punto

• Angulo entre dos vectores

• Proyección de un vector sobre otro

• Criterio de Perpendicularidad de dos vectores

u v Û  u.v0 Û x1.x2y1.y2z1.z20
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Ejemplo 5

• Hallar el producto escalar de A con B, en donde A
  4 i 7 j 6 k y B 3i 4j 2k. Determinar,
  además el ángulo entre A y B.

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Ejemplo 6

• Determine si el ángulo que relaciona a los
  siguientes vectores es de 90º.
• C 2i3j-5k y F7i-8j-2k

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Producto Cruz
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Regla de la Mano Derecha
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Producto Cruz
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Productos vectoriales de vectores unitarios
rectangulares
X i j k
i 0 k -j
j -k 0 i
k j -i 0
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Problemas

• Dado los vectores u 3i 2j, v i - 4j, w
  -4i 2j, calcular
• a) Módulo de cada uno de los vectores
• b) Módulo de la suma u v w
• c) Producto escalar uv uw
• d) Producto vectorial uxv wxv