Diapositiva 1

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TEMA MATRICES
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Habilidades

• Define el concepto de matriz.
• Define las operaciones con matrices y sus
  propiedades
• Utiliza adecuadamente las operaciones de suma,
  producto por un escalar, transposición y producto
  de matrices.
• Identifica diferentes tipos de matrices.

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INTRODUCCIÓN
4
Definición

• Una matriz de orden m x n es un arreglo
  rectangular de números colocados en m líneas
  horizontales (filas) y n líneas verticales
  (columnas).

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Ejemplo

• Encontrar las componentes de la matriz A (aij)
  si A es de 3x2 y aij2ij

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IGUALDAD DE MATRICES

• Se dice que dos matrices A(aij) y B(bij) son
  iguales si son del mismo tamaño (esto es, ambas
  mxn) y sus componentes correspondientes son
  iguales ( esto es, aijbij para cada elección de
  i y j)

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Un agricultor que posee 3 fincas muestra sus
perdidas o ganancias medidas en toneladas en los
dos últimos años

MAÍZ
AÑO
TRIGO

ARROZ

FRIJOL


CAFÉ
2003






FFINCA1


-
1
/2

10

3

7

2

FINCA2


-
3

2/3

0

12


-
1

FINCA3

4


-
2

-
1

15

13



AÑO
TRIGO

ARROZ

FRIJOL

MAÍZ
CAFÉ
2004

FINCA1

3

2


-
4

3

5

FINCA2

8/5

1


-
2

0

4


FINCA3
8


-
3

4
7

10


Si queremos la perdida o ganancia en ambos años
que operación se debe realizar y cómo?

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OPERACIONES CON MATRICES

• SUMA DE MATRICES
• Sean A (aij) y B(bij) dos matrices de orden
  mxn. La suma AB de las dos matrices es la matriz
  mxn.
• AB (aij) (bij) (aijbij)

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• 2. MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
• Sea A (aij) una matriz de mxn, y c cualquier
  número real. Entonces cA es la matriz de mxn dada
  por
• cA c(aij) (caij)

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• 3. TRANSPUESTA
• Sea A(aij) una matriz de orden mxn, entonces la
  transpuesta de A, denotada por At , es una
  matriz nxm

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• 4. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
• Definición 1 Sea un vector fila n-
  dimensional y
• un vector columna n- dimensional.
• Entonces el producto AB, de A y B está dado por

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• Definición 2
• Sean Amxp y Bpxn. El producto AB es la matriz
  mxn cuya componente ij-ésima es el producto
  de la fila i-ésima de A y la columna j-ésima de
  B.

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Ejercicios

• Encontrar el elemento de la tercera fila y la
  segunda columna del producto

• Obtener el producto AB donde

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Observaciones

• Notar que para que el producto AB se pueda
  realizar se requiere que el número de columnas de
  A sea igual al número de filas de B.
• El resultado de la operación AB es una nueva
  matriz C que tiene
• El mismo número de filas que la matriz A.
• El mismo número de columnas de B.
• El producto AB puede existir y sin embargo no
  existir BA.
• Si existe AB y BA, el producto matricial entre A
  y B no es conmutativo.

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Algunos tipos de matrices
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MATRIZ INVERSA
DEFINICIÓN
Sea A una matriz de orden n, si existe una matriz
B tal ABBAI, la llamaremos matriz inversa de A
y la denotaremos por A-1.
Si AB BA I Entonces B A-1
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• OBSERVACIONES
• Si A-1 existe se tiene A A-1 A-1AI
• Si la inversa de A existe se dice que A es
  inversible.
• Si A no es inversible se dice que es singular.