F

1
UTP FIMAAS
Física I.

• Sesión Nº 1
• Vector unitario.
• Ángulos y cosenos directores.
• Operaciones vectoriales con vectores
• unitarios Adición, sustracción.
• Productos vectoriales
• producto escalar,
• producto vectorial,
• triple producto escalar,
• triple producto vectorial.

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VECTORES

• CAPÍTULO 2
• FÍSICA I
• FACULTAD DE CIENCIAS
• UNI
• ARTURO TALLEDO
• (DOCTOR EN FÍSICA)

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VECTORES.

• 1) Cantidades escalares, vectoriales y
  tensoriales.
• 2) Operaciones con vectores.
• 2.1) Suma y resta.
• 2.2) Producto por un escalar.
• 2.3) Producto escalar de dos vectores.
• 2.4) Producto vectorial de dos vectores.
• 3) Otros conceptos importantes relativos a
  vectores.
• 3.1) Vector Unitario.
• 3.2) Componentes de un vector.
• 4) Componentes cartesianas de un vector.
• Operaciones de vectores usando componentes
  cartesianas.

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Cantidades escalares, vectoriales y tensoriales.

• En Física necesitamos definir diferentes tipos de
  conceptos, siendo tal vez los más importantes,
  aquellos susceptibles de medida como posición,
  tiempo, fuerza, velocidad, masa, permitividad
  eléctrica, etc.
• Las cantidades escalares son aquellas que quedan
  bien definidas por un número real.
• Las cantidades vectoriales necesitan que se
  especifique dirección y sentido.
• Las cantidades tensoriales se refieren a
  propiedades de los cuerpos que varían al cambiar
  la dirección.

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Definición de vector.
Así como los números reales son entes abstractos
sobre los cuales se definen varias operaciones y
en Física son usados para describir a las
magnitudes escalares, los vectores también son
entes abstractos que los usaremos en Física para
describir Las magnitudes vectoriales tales como
desplazamiento, velocidad, fuerza, etc.
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Representación geométrica de vector.
Los vectores son representados por segmentos
orientados
Fuerzas sobre una argolla.
Desplazamientos experimentados por una hormiga
Nótese que los mismos segmentos pueden ser usados
para representar magnitudes físicas diferentes
7
Representación gráfica de los vectores
Así como los números reales se representan en la
recta numérica y junto con las operaciones suma y
producto constituyen el sistema de los números
reales, los vectores bidimensionales pueden
considerarse como infinitas flechas (o segmentos
orientados) saliendo de un punto O llamado origen
y llenando todo un plano junto con las
operaciones suma, resta, producto por escalar y
producto escalar constituyen el espacio vectorial
bidimensional. Los segmentos orientados que salen
de O y llenan todo el espacio tridimensional
junto con las operaciones mencionadas constituyen
el espacio vectorial 3D. La idea se extiende a
espacios n -dimensionales (n gt 3) pero ya la
representación gráfica no es posible.
A
B
d
O
F
V
8
Suma de dos vectores.
Planteamiento del problema Dados los vectores A
y B, que hacen un ángulo ? entre sí, hallar la
suma o vector resultante R.
B
A
?
9
Suma de dos vectores.
Procedimiento Se traslada el origen del vector
B a la punta de la flecha del vector A. El vector
resultante R es el que une el origen de A con la
punta de la flecha de B.
B
?
R
A
10
Suma de dos vectores.
La suma de vectores es conmutativa.
A B B A
A
B
A
?
R
B
A
11
Suma de dos vectores
El módulo de la suma es
donde ? es el ángulo entre A y B a partir del
mismo origen y
?
R
B
A
Este resultado se obtiene por el teorema de
Pitágoras.

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Suma de varios vectores.
R A B C
C
B
A
El vector resultante R es el que une el origen de
A con la punta de la flecha de C.
A (B C) (A B) C A B C
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Producto de un vector por un escalar
pA
2A
A
-1,3 A
Al multiplicar un vector por un escalar (un
número real) se obtiene un vector en la misma
dirección con un módulo aumentado o disminuido
según sea el valor del número real.
1/3 A
Si el número real es negativo, el vector producto
tiene sentido opuesto.
14
Suma de varios vectores. (ejemplo)
2A B C
C
B
A
.
15
Suma de varios vectores. (ejemplo)
A B 2C
C
B
A
16
Resta de vectores.
B
Hallar D A - B
?
A
B
Procedimiento Se multiplica B por -1 y se
procede a sumar A ( -B)
?
A
? - ?
D
- B
17
Resta de vectores.
Hallar el módulo de D A - B
B
?
A
? - ?
D
- B
18
Resta de vectores.
B
Hallar D A - B
?
A
B
A - B
Procedimiento Se multiplica B por -1 y se
procede a sumar A ( -B). Nótese que es más
práctico obtener A B trazando un segmento
desde la punta de la flecha de B hasta la punta
de la flecha de A.
?
A
? - ?
D
- B
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Operaciones combinadas.
Ejercicio Escriba los signos y coeficientes
correctos en las expresiones
V1 A 2B C
y
V2 2A B C
V1
B
C
V2
A
20
Producto escalar de dos vectores.
B
El producto escalar es conmutativo
A
21
El Producto escalar es distributivo
Por un lado
A B
B
Por otro lado
A
C
O
a
b
Sumando, se tiene
22
Producto Vectorial.
A X B
A
B
Producto vectorial de A por B es el vector
perpendicular a A y perpendicular a B cuyo
sentido se obtiene por la regla de la mano
derecha y cuyo módulo está dado por
23
El producto vectorial es anticonmutativo.
A X B
B
A
B X A
B X A - A x B
24
Interpretación geométrica del producto vectorial.
A X B
B
A
El módulo producto vectorial de A por B coincide
con el área del paralelogramo definido por los
vectores A y B.
25
El producto vectorial es distributivo.
A B
b
B
Por un lado
a
A
Por otro lado
C
O
Sumando, se tiene
26
Triple producto escalar.
Llamamos triple producto escalar
A X B
C
Al número real que se obtiene del producto
escalar del vector ( A x B ) por el vector C.
B
A
27
Triple producto escalar.
El valor absoluto del triple producto escalar de
tres segmentos orientados
A X B
C
coincide con el volumen del paralepípedo
definido por estos segmentos.
B
A
Si dos de los vectores son paralelos o si los
tres vectores son coplanares, entonces, el triple
producto escalar es cero
28
Vector unitario.
Dado un vector A, entonces, el vector
A
u
es un vector unitario en la dirección y sentido
de A
Un vector unitario es un vector sin unidades cuyo
módulo es uno y sólo se usa para especificar una
dirección
29
Vector unitario.
A
uA
uB
B
Cualquier vector puede ser expresado como el
producto de un número real por un vector unitario
30
Componentes de un vector (en general).
V A B 2C
En general, podemos decir que s i un vector V es
la suma de varias vectores, cada vector
sumando es una componente del vector V. Así por
ejemplo A, B y 2C son componentes del vector V.
B
C
B
A
31
Componentes de un vector.
Nos interesa estudiar el concepto de componentes
de un vector en dos situaciones
Situación 1 Dados dos vectores A y V, expresar
el vector A como la suma de dos vectores uno
paralelo a V y otro perpendicular a V.
Situación 2 Definir tres (dos) vectores
mutuamente perpendiculares i, j, k y expresar
cualquier vector A como la suma de tres (dos)
vectores paralelos a i, j y k ( i y j).
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Componentes de un vector (situación 1).
V
A1
A2
?
A
A1 es la componente de A en la dirección de V
A2 es la componente de A en la dirección
perpendicular a V
33
Componentes de un vector (situación 1).
número real negativo
A1
A2
A
?
A1 es la componente de A en la dirección de V
V
A2 es la componente de A en la dirección
perpendicular a V
34
Componentes de un vector (situación 1).
V
A1
A2
?
A
35
Sistemas de coordenadas cartesianas (situación
2).
Z
A
k
j
i
Y
X
son tres vectores unitarios Y mutuamente
perpendiculares.
36
Sistemas de coordenadas cartesianas.
Z
A
k
j
i
Y
X
37
Sistemas de coordenadas cartesianas.
Z
Az
A
Ay
Y
Ax
X
38
Sistemas de coordenadas cartesianas.
Z
Az
A
Ay
Y
Ax
X
39
Suma de vectores en coordenadas cartesianas.
A
Z
B
Y
X
40
Suma de vectores en coordenadas cartesianas
Z
A
B
C
Y
X
41
Producto escalar en coordenadas cartesianas.
Z
Usando la propiedad distributiva
A
B
Y
X
42
Producto vectorial en coordenadas cartesianas.
Z
A
B
Usando la propiedad distributiva
Y
X
43
Producto vectorial en coordenadas cartesianas.
Z
A
Una fórmula sencilla de recordar
B
Y
X
44
Triple Producto escalar en coordenadas
cartesianas.
Z
A
B
Y
C
X
Puede verse que
45
Triple producto vectorial A x (B X C).
Fuente INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MATEMÁTICA.
Departamento de Física, Facultad de Ciencias,
Universidad de Chile.
46
Triple producto vectorial A x (B X C).
El triple producto vectorial A x (B X C), es un
vector
47
FIN