Frekvencijska analiza vremenski diskretnih signala

1
Frekvencijska analiza vremenskidiskretnih signala

• izabrano iz predmeta
• Signali i sustavi

2
Frekvencijska analiza diskretnih aperiodicnih
signala
aperiodicni diskretni signal možemo generirati
iz kontinuiranog aperiodicnog signala otipkavanjem

• postupak uzimanja uzoraka ili otipkavanja
  kontinuiranog signala možemo matematicki
  modelirati kao pridruživanje funkciji x(t) niza
  impulsa, ciji intenzitet je proporcionalan
  trenutnim vrijednostima kontinuiranog signala
• xs(t) STx(t)

3
Frekvencijska analiza diskretnih aperiodicnih
signala
4
Frekvencijska analiza diskretnih aperiodicnih
signala
zbog svojstva delta funkcije da vadi vrijednost
kontinuirane funkcije x(t) na mjestu
diskontinuiteta t - nT 0, tj. tn nT, može
se napisati i u obliku
5
Frekvencijska analiza diskretnih aperiodicnih
signala
usporedimo spektre ovih signala
za signal x(t) vrijedi par
6
Frekvencijska analiza diskretnih aperiodicnih
signala
Periodican niz dT nastao ponavljanjem delta
funkcije svakih T, kao svaka periodicna funkcija
se dade predstaviti Fourierovim redom, gdje su
Fourierovi koeficijenti dani s
Fs je frekvencija otipkavanja
slijedi
7
Frekvencijska analiza diskretnih aperiodicnih
signala
spektar otipkanog signala xs(t) dan je s
zamjenom redoslijeda sumacije i integracije
dobivamo
integral je spektar signala x(t) , ali pomaknut
za kFs, pa izlazi
8
Frekvencijska analiza diskretnih aperiodicnih
signala
pokazano je da je spektar otipkanog dakle
diskretnog signala periodican pa Fourierovu
transformaciju diskretnog signala xn konacne
energije možemo pisati
9
Frekvencijska analiza diskretnih aperiodicnih
signala
važno je primijetiti da je X(e j?) periodican s
periodom 2?
ovo je posljedica cinjenice da je za diskretni
signal frekvencijsko podrucje limitirano samo na
interval (-?, ?) ili (0, 2?) i da su sve
frekvencije izvan tog intervala ekvivalentne
frekvencijama unutar intervala
10
Frekvencijska analiza diskretnih aperiodicnih
signala
gornji izraz predstavlja prikaz X(e j?) uz pomoc
Foureirovog reda pa uzorci xn predstavljaju
Foureierove koeficijente
izracunavanje xn iz X(e j?)
11
Fourierova transformacija diskretnih aperiodicnih
signala
izracunavanje xn iz X(e j?) zapocinje množenje
obje strane s ej? m i integracijom preko
intervala (-?, ?)
12
Fourierova transformacija diskretnih aperiodicnih
signala
desna strana se preureduje i izracunava
pa je konacno
13
Fourierova transformacija diskretnih aperiodicnih
signala
zakljucno, par za Fourierovu transformaciju
aperiodicnih diskretnih signala je
14
Fourierova transformacija diskretnih aperiodicnih
signala
uobicajen je i prikaz spektra u polarnom obliku
za realni signal vrijedi
cemu je ekvivalentno
15
Primjer Fourierove transformacije aperiodickog
pravokutnog signala
Zadan je pravokutni signal za koji treba odrediti
Fourierovu transformaciju
L5
16
Primjer Fourierove transformacije aperiodickog
pravokutnog signala
Fourierova transformacija ovog signala je
17
Primjer Fourierove transformacije aperiodickog
pravokutnog signala
Amplitudni spektar je
fazni spektar je
18
Primjer Fourierove transformacije aperiodickog
pravokutnog signala
L5
19
Primjer Fourierove transformacije aperiodickog
pravokutnog signala
L5
20
Primjer Fourierove transformacije aperiodickog
pravokutnog signala
L14
21
Primjer Fourierove transformacije aperiodickog
pravokutnog signala
L14
22
Fourierova transformacija diskretnih periodicnih
signala
23
Fourierova transformacija diskretnih periodicnih
signala
Fourierov red za kontinuirani periodicni signal
x(t) , perioda Tp, je
signal x(t) može biti prikazan s beskonacnim
brojem frekvencijskih komponenti
spektar je diskretan pri cemu je razmak izmedu
susjednih komponenti 1/Tp
24
Fourierova transformacija diskretnih periodicnih
signala
diskretni periodicni signal xn ima periodicni
spektar (zbog diskretnosti signala u vremenskoj
domeni) koji se ponavlja svakih 2? ? podrucje
frekvencija (-?, ?) ili (0, 2?)
diskretni periodicni signal xn ima diskretan
spektar (zbog periodicnosti signala u vremenskoj
domeni) pri cemu je razmak izmedu susjednih
frekvencijskih komponenti 2?/N radijana ?
Fourierov red za periodicni diskretni signal
sadržavati ce najviše N frekvencijskih komponenti
25
Fourierova transformacija diskretnih periodicnih
signala
Za diskretni periodicni signal xn perioda N
vrijedi
Fourierov red periodicnog signala sadrži N
harmonicki vezanih kompleksnih eksponencijalnih
funkcija
26
Fourierova transformacija diskretnih periodicnih
signala
Fourierov red za diskretini periodicni signal
izvod izraza za Foureriove koeficijente ck
obje strane se množe s eksponencijalom e-j2? l
n/N a zatim se produkti zbrajaju od n0 do nN-1
27
Fourierova transformacija diskretnih periodicnih
signala
zamijenimo redoslijed sumacije
uz sumaciju
desna se strana reducira na Ncl pa slijedi
28
Fourierova transformacija diskretnih periodicnih
signala
što je izraz za Fourierove koeficijente signala
xn
29
Fourierova transformacija diskretnih periodicnih
signala
zakljucno, par za Fourierovu transformaciju
periodicnih diskretnih signala je
30
Fourierova transformacija diskretnih periodicnih
signala
jednadžba
se u engleskoj terminologiji naziva
discrete-time Fourier series (DTFS)
Fourierovi koeficijenti ck, k 0, 1, 2,
....,N-1, omogucavaju prikaz xn u
frekvencijskoj domeni, tako da ck predstavljaju
amplitudu i fazu vezanu uz frekvencijske
komponente
gdje je
31
Fourierova transformacija diskretnih periodicnih
signala
slijedi važno svojstvo periodicnosti ck
prema tome ck je periodicni niz s osnovnim
periodom N
prema tome
32
Fourierova transformacija diskretnih periodicnih
signala
spektar signala xn, koji je periodican s
periodom N, je periodican niz s periodom N ? bilo
kojih N susjednih uzoraka signala ili njegova
spektra su dovoljni za potpuni opis signala u
vremenskoj ili frekvencijskoj domeni
33
Spektar realnog periodickog diskretnog signala
za realni periodicni xn koeficijenti
Fourierovog reda ckzadovoljavaju slijedeci
uvjet
iz cega slijedi
a zbog ck ckN slijedi
34
Primjer Fourierove transformacije periodickog
pravokutnog signala
zadan je periodicni pravokutni diskretni signal
kao na slici
L5 N16
-N
N
NL
L
0
35
Primjer Fourierove transformacije periodickog
pravokutnog signala
izracunavaju se ck
36
Primjer Fourierove transformacije periodickog
pravokutnog signala
primjeri
37
L4 N16 A1
38
L16 N16 A1
39
L1 N16 A1
40
L5 aperiodicni signal xn
L5 periodicni signal xn
41
Digitalna obradba kontinuiranih signala

• Signali i sustavi

42
Digitalna obradba kontinuiranih signala
Digitalna obradba kontinuiranih signala se
sastoji od tri osnovna koraka

1. pretvorba vremenski kontinuiranog signala u
   vremenski diskretan signal
2. obradba vremenski diskretnog signala
3. pretvorba obradenog diskretnog signala u
   vremenski kontinuirani signal

43
Digitalna obradba kontinuiranih signala
idealno tipkalo
procesor diskretnih signala
idealni interpolator
xn
x(t)
yn
y(t)
44
Digitalna obradba kontinuiranih signala

• ovdje ce se razmotriti
• otipkavanje
• i
• 3. interpolacija

45
Vremenska diskretizacija tipkanjem kontinuiranog
signala
46
Vremenska diskretizacija tipkanjem kontinuiranog
signala
otipkavanjem kontinuiranog signala x(t) ciji je
spektar X(F) dobiva se signal xs(t) ciji je
spektar Xs(F) i pokazano je da pri tome vrijedi
spektar Xs(F) otipkanog signala xs(t) je
periodicno ponavljani spektar X(F) kontinuiranog
signala.
47
Vremenska diskretizacija tipkanjem kontinuiranog
signala
Pretpostavimo da je spektar X(F) frekvencijski
ogranicen X(F) 0 za F gt Fmax
Razlicite frekvencije tipkanja signala Fs 1/T
mogu u spektru Xs(F) izazvati razlicite
rezultate zavisno od toga da li je Fs - Fmax gt
Fmax ili Fs - Fmax lt Fmax odnosno
(i) Fs gt 2 Fmax
(ii) Fs lt 2 Fmax.
48
Vremenska diskretizacija tipkanjem kontinuiranog
signala
preklapanje sekcija spektra (engl. aliasing)
49
Vremenska diskretizacija tipkanjem kontinuiranog
signala
Diskretni se signal može smatrati ekvivalentnim
kontinuiranom samo ako je moguce rekonstruirati
izvorni signal x(t) iz otipkanog xs(t) odnosno
ako se iz spektra Xs(F) može dobiti originalni
X(F) . Postupak rekonstrukcije pretpostavlja
izdvajanje osnovne sekcije spektra filtriranjem.
To ce biti moguce naciniti bez pogreške samo ako
je spektar X(F) ogranicen na Fmax, te ako je
frekvencija otipkavanja Fs gt 2 Fmax.
teorem otipkavanja
50
Antialiasing filtri
Aliasing, koji se javlja pri otipkavanju
frekvencijski neomedenog signala, izbjegava se
filtriranjem kontinuiranog signala tzv.
antialiasing filtrom.
Antialiasing filtri su niskopropusni analogni
filtri koji propuštaju komponente spektra
frekvencija nižih od pola frekvencije
otipkavanja, dok više frekvencije guše.
Koriste se realni filtri koji imaju konacnu
širinu prijelaznog pojasa frekvencijske
karakteristike i konacno gušenje u pojasu gušenja.
51
Antialiasing filtri
podrucje propuštanja za 0 lt F lt F1 , podrucje
gušenja za F2 lt F lt , vrijedi F1 lt F2 .
52
Amplitudna frekvencijska karakteristika
eliptickog filtra
53
Niskopropusni analogni filtri
54
Butterworth filtri
55
Chebyshev1 filtri
56
Usporedba filtara
Fp 5000 Hz Fs 7500 Hz Rp3 dB Rs40 dB
57
Usporedba filtara
Fp 5000 Hz Fs 7500 Hz Rp3 dB Rs40 dB
58
Otipkavanja kontinuiranog signala
greška uslijed aliasinga
59
Otipkavanje realnih signala
zbog konacne širine prijelaznog podrucja realnih
antialiasing filtara potrebno je signal
otipkavati nešto vecom frekvencijom od dvostruke
maksimalne frekvencije signala ? oversampling
u digitalnoj telefoniji standardizirano je
frekvencijsko podrucje od 3.4 kHZ koje osigurava
telefonsku konverzaciju zadovoljavajuce kvalitete
u postupku digitalizacije otipkavanje se provodi
s 8 kHz što je više od dvostruke širine spektra
signala
60
Otipkavanje realnih signala
slicno je kod digitalne obradbe glazbenih
signala, cija je frekvencijsko podrucje širine 20
kHz osigurava visoko vjernu reprodukciju
u slucaju pohrane analognog glazbenog signala na
CD frekvencija otipkavanja je 44.1 kHz što je
opet više od dvostruke maksimalne frekvencije
signala u realnim CD uredajima (Dual prije 12
godina) frekvencija otipkavanja 352.8 kHz (8 x
oversampling)
61
Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog
signala iz diskretnog
62
Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog
signala iz diskretnog
Periodicni spektar Xs(F) može se dobiti i iz
u dobivenom izrazu se može prepoznati Fourierov
red za periodicni spektar Xs(F)
63
Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog
signala iz diskretnog
64
Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog
signala iz diskretnog
pretpostavimo za Hr idealan filter
65
Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog
signala iz diskretnog
neka je frekvencija otipkavanja Fs gt 2 Fmax, tako
da unutar pojasa ponavljanja (- Fs/2, Fs /2),
nema preklapanja sekcija spektra.
tada je
66
Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog
signala iz diskretnog
inverznom Fourierovom transformacijom spektra
X(F) slijedi
67

Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog
signala iz diskretnog
Kontinuirani signal x(t) rekonstruiran je iz
uzoraka otipkanog signala x(nT) interpolacijom s
funkcijom
68
Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog
signala iz diskretnog
možemo zakljuciti kako je kontinuirani signal
x(t), koji ima frekvencijski omeden spektar tj.
X(F) 0 za FgtFs/2, jednoznacno odreden
trenutnim vrijednostima u jednoliko rasporedenim
trenucima tn nT n/Fs
interpolacijska funkcija predstavlja impulsni
odziv idealnog filtra
69
filtar ima nekauzalan odziv i prema tome je
neostvariv
70
Interpolator nultog reda
71
Interpolator prvog reda
72
Digitalna obradba kontinuiranih signala

1. pretvorba vremenski kontinuiranog signala u
   vremenski diskretan signal izvodi se
   analogno-digitalnim (A/D) pretvornikom što znaci
   da je vremenski diskretan signal potrebno
   kvantizirati i po amplitudi

2. obradba vremenski diskretnog signala izvodi se
digitalnim procesorom
3. pretvorba obradenog diskretnog signala u
vremenski kontinuirani signal izvodi se pomocu
digitalno-analognog (D/A) pretvornika
73
Digitalna obradba kontinuiranih signala
Lanac sklopova potrebnih za digitalnu
obradbu kontinuiranih signala prikazan je blok
dijagramom
74
Diskretizacija kontinuiranoga spektra
75
Diskretizacija kontinuiranoga spektra
Spektar aperiodicnih kontinuiranih signala je
kontinuiran
spektar aperiodicnih diskretnih signala takoder
je kontinuiran i još k tome i periodican
ovdje se razmatraju postupak otipkavanja spektra
tj. diskretizacija u spektralnoj domeni
postupak koji cemo ovdje primijeniti identican je
postupku primijenjenom kod otipkavanja vremenski
kontinuiranih signala
76
Diskretizacija kontinuiranoga spektra
diskretizaciju kontinuiranog spektra možemo
interpretirati kao modulaciju impulsnog niza
funkcijom X(F) dakle
77
Frekvencijska analiza diskretnih aperiodicnih
signala
gdje su amplitude cn dane s
78
Frekvencijska analiza diskretnih aperiodicnih
signala
slijedi
inverznom transformacijom Xd(F) dobiva se
kontinuirani signal xd(t) koji odgovara otipkanom
spektru
79
Diskretizacija kontinuiranoga spektra
i konacno
otipkavanje kontinuiranog spektra X(F)
aperiodickog signala x(t) rezultira u njegovom
periodicnom ponavljanju svakih Tp1/F0
80
Obnavljanje kontinuiranog spektra iz diskretnog
Uz Xd(F) prikazan kao
xd(t) dobivamo inverznom transformacijom kao
81
Obnavljanje kontinuiranog spektra iz diskretnog
xd(t) je periodicna funkcija prikazana
Fourierovim redom
rekonstrukciju kontinuiranog spektra postiže se
izdvajanjem samo osnovne sekcije od xd(t) što se
postiže množenjem xd(t) s idealnim pravokutnim
otvorom
82
Obnavljanje kontinuiranog spektra iz diskretnog
ciji je spektar
prvu sekciju signala dobivamo množenjem s w(t)
83
Obnavljanje kontinuiranog spektra iz diskretnog
spektar X(F), izražen uz pomoc X(kF0) slijedi iz
x(t) zamjenjujemo s prije izvedenim
84
Obnavljanje kontinuiranog spektra iz diskretnog
finalno spektar X(F), izražen uz pomoc X(kF0), je
dakle spektar X(F) jednoznacno je odreden iz
svojih uzoraka X(kF0), interpolacijom funkcijom
Zakljucak kontinuirani spektar signala koji ima
omedeno trajanje (x(t)0 za tgtTp/2)
jednoznacno je odreden svojim uzorcima na
jednoliko rasporedenim frekvencijama FkkF0k/Tp
85
Dimenzionalnost signala
tipkanje signala u vremenskoj domeni ?
ponavljanje spektra s Fs (aliasing u FD)
tipkanje signala u frekvencijskoj domeni ?
ponavljanje signala s Tp (aliasing u VD)
relativna greška u FD i VD može biti ocijenjena
energijom signala i spektra izvan izabranog
trajanja signala Tp, odnosno frekvencijskog
pojasa Fs, prema ukupnoj energiji
86
Dimenzionalnost signala
greške se mogu ocijeniti poznavanjem brzine
opadanja signala i spektra za t gt Tp / 2
odnosno F gt Fs / 2
87
Dimenzionalnost signala
uz specificiranu dozvoljenu grešku aliasinga u FD
i VD dobivamo Tp i Fs - trajanje i širinu pojasa
signala.
88
Diskretna Fourierova transformacija (DFT)
89
Diskretna Fourierova transformacija (DFT)
DFT se koristi za numericko odredivanje spektra
signala.
signal i njegov spektar treba predstaviti
uzorcima odnosno otipkati ? otipkani signal i
njegov otipkani spektar periodicki ce se produžiti
prije je dan par za Fourierovu transformaciju
periodicnih diskretnih signala (koji imaju
diskretan i periodican spektar)
i on ce biti korišten u numerickom
izracunavanju uzoraka spektra signala
90
Diskretna Fourierova transformacija (DFT)
prije je pokazano da pri otipkavanju
kontinuiranog spektra aperiodickog kontinuiranog
signala rezultira u periodizaciji vremenskog
signala i u slucaju vremenski neomedenog signala
nastaje aliasing u vremenskoj domeni
razmotrimo sada otipkavanje kontinuiranog spektra
aperiodickog diskretnog signala
spektar diskretnog aperiodickog signala je
kontinuiran (i periodican s periodom 2p)
91
Diskretna Fourierova transformacija (DFT)
kako je spektar periodican s 2p dovoljno je pri
otipkavanju spektra uzeti samo uzorke iz osnovnog
perioda
za N jednoliko raspodijeljenih uzoraka razmak
izmedu uzoraka ce biti 2p/N
otipkajmo sada X(ej?) na frekvencijama ? 2pk/N
transformirajmo sumaciju u beskonacni zbroj
sumacija od N clanova
92
Diskretna Fourierova transformacija (DFT)
zamjenom indeksa n u unutarnjoj sumaciji s n-lN
i zamjenom redoslijeda sumacije slijedi
93
Diskretna Fourierova transformacija (DFT)
dobiven je periodicnim ponavljanjem xn i
periodican je s periodom N ? može biti prikazan
uz pomoc Fourierovog reda
94
Diskretna Fourierova transformacija (DFT)
pa su kako je prije pokazano za Fourierove
koeficijente periodicnih diskretnih signala oni
ako su usporede ck i X(ej2pk/N) slijedi
95
Diskretna Fourierova transformacija (DFT)
stoga je
prije izvedeni X(ej2pk/N) možemo pisati
96
Diskretna Fourierova transformacija (DFT)
otipkavanjem spektra aperiodicnog diskretnog
signala može doci do pojave aliasianga u
vremenskoj domeni
za diskretne signale xn duljine L pri cemu je L
? N nema pojave aliasinga i vrijedi da je
iz svega slijedi
97
Diskretna Fourierova transformacija (DFT)
za aperiodicki diskretni signal xn duljine L
(xn 0 za nlt 0 i n ? L) vrijedi par

1. diskretna Fourierova transformacija (DFT)

2. inverzna diskretna Fourierova transformacija
(IDFT)
98
Diskretna Fourierova transformacija (DFT)
DFT
IDFT