ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA

1
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA
Dvodimenzionalni signali
jedinicna impulsna funkcija
jedinicna odskocna funkcija
eksponencijalna sekvenca
separabilne sekvence
periodicne sekvence
2
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Linearni vremenski i prostorno invarijantni
dvodimenzionalni sistemi
Linearnost (aditivnosthomogenost)
prostorna invarijantnost
impulsni odziv sistema
impulsni odziv prostornoinvarijantnog sistema
3
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Linearni vremenski invarijantni dvodimenzionalni
sistemi
konvoluciona suma
konvolucija kod prostorno invarijantnih sistema
broj aritmetickih operacija
4
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
konvolucija separabilnih sistema
broj operacija
ukupno
broj operacija smanjen
puta
5
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
konvolucija kontinualnih i diskretnih sistema
osobine konvolucije
komutativnost
asocijativnost
distributivnost
6
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Diskretne unitarne transformacije
ortonormalnost
kompletnost
jezgro ili bazisna funkcija
7
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Diskretne unitarne transformacije matricni oblik
unitarna matrica
8
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Diskretne unitarne transformacije
dvodimenzionalnih signala
ortonormalnost
kompletnost
9
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Diskretne unitarne transformacije 2D signala
matricni oblik
napisati ih u obliku kolona vektora
10
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Separabilne unitarne transformacije 2D signala
ortonormalnost, unitarnost, separabilnost
kompletni ortonormalni skupovi jednodimenzionalnih
bazisnih funkcija
unitarne matrice
2D transformacija simetricna
inverzna transformacija - sinteza slike
korištenjem bazisnih slika
11
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Ocuvanje i kompresija energije
ocuvanje energije kod jednodimenzionalnih
unitarnih transformacija
generalizacija na dvodimenzionalni slucaj
kompresija energije najveci deo energije signala
sadržan u malom broju transformacionih
koeficijenata (nezavisno od raspodjele energije u
originalnom domenu signala)
primjena u postupcima za kompresiju slike
12
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Dvodimenzionalna Furijeova transformacija
FT kontinualnih signala
FT diskretnih signala
diskretna FT (DFT)
13
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Dvodimenzionalna Furijeova transformacija
14
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Dvodimenzionalna Furijeova transformacija
15
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Dvodimenzionalna Furijeova transformacija
16
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Dvodimenzionalna Furijeova transformacija
17
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Dvodimenzionalna Furijeova transformacija
18
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Dvodimenzionalna Furijeova transformacija
lijevo magnituda
desno faza
lijevo rekonstrukcijana osnovu magnitude
desno rekonstrukcijana osnovu faze
19
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Osobine dvodimenzionalne Furijeove transformacije
amplitudski i fazni spektar
kompleksni original
linearnost
simetrija realnost - parnost
realna i parna parna i realna
20
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Osobine dvodimenzionalne Furijeove transformacije
cirkularni pomjeraj
rotacija
separabilnost
21
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Osobine dvodimenzionalne Furijeove transformacije
22
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Osobine dvodimenzionalne Furijeove transformacije
Parsevalova teorema
cirkularna konvolucija u vremenu
množenje u vremenskom domenu
23
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Osobine dvodimenzionalne Furijeove transformacije
skaliranje
pocetne vrijednosti
24
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Osobine dvodimenzionalne Furijeove transformacije
izvod u kontinualnom domenu
25
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Unitarna diskretna kosinusna transformacija 2D
signala
26
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Unitarna diskretna kosinusna transformacija 2D
signala
27
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Diskretna Volšova (Walsh) transformacija (DWT)
i-ti bitbroja n
DWT 1 ili -1
DFT ili druge diskretne transformacije sa
sinusoidalnim bazisnim funkcijama
prilagodeni FFT algoritmi
28
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Diskretna Adamarova (Hadamard) transformacija
i-ti bitbroja n

• nije moguca prosta zamjena eksponencijalnih
  faktora sa 1 u FFT algoritamima
• u praksi se Volšova transformacija više koristi

- Volšova i Adamarova transformacija imaju dobru
kompresiju energije, ali slabiju u poredenju sa
DCT
29
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Diskretna Adamarova (Hadamard) transformacija
(...)
i-ti bitbroja n
30
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Harova (Haar) transformacija
bazisne Harove funkcije se razlikuju po skali
(širini) i poziciji u vremenu
kontinualne Harove funkcije definisane na
zatvorenom intervalu
31
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Diskretna Harova (Haar) transformacija
kontinualna promenljiva x uzima diskretne
vrednosti
32
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Diskretna Harova (Haar) transformacija
Harovim bazisnim funkcijama formiraju se razlike
usrednjenih vrijednosti odabiraka signala, pri
cemu razlicitim bazisnim funkcijama odgovaraju
razliciti položaji i velicine oblasti
usrednjavanja. - lokalizacija pozicije naglih
promjena signala (ivica) - Onoj bazisnoj funkciji
koja je najslicnija promjeni signala odgovarace
najveci transformacioni koeficijent. Ostalim
bazisnim funkcijama ce, zbog osobine
ortonormalnosti, odgovarati mali
koeficijenti. Furijeova transformacija nagle
promjene signala izazivaju samo promjene nagiba
faze (problem lokalizacije ivica)
- primjena u kompresiji slike
- osnov za talasnu transformaciju (engl. wavelet
transform).
33
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Karhunen-Leve (Lo ve), Hoteling (Hotelling)
transformacija
- kompresije energije Postoji li optimalna
transformacija?
- transformacija u sopstvene vrijednosti
kovarijansna matrica je realna i simetricna
moguce je odrediti ortonormalne sopstvene vektore
i sopstvene vrijednosti
34
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Karhunen-Leve (Lo ve), Hoteling (Hotelling)
transformacija
Matrica A se formira od sopstvenih vektora
poredanih u opadajucem redoslijedu, tako da je
A je transformaciona matrica
35
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Karhunen-Leve (Lo ve), Hoteling (Hotelling)
transformacija
rekonstrukcija
A je ortonormalna (i realna) matrica
ako prilikom rekonstrukcije ne koristimo sve, vec
samo K sopstvenih vektora kojima odgovaraju
najvece sopstvene vrijednosti
srednjekvadratna greška
Sopstvene vrijednosti monotono opadaju, što znaci
da se greška minimizira ovakvim izborom K
sopstvenih vektora, te se radi o optimalnoj
transformaciji u smislu srednjekvadratne greške.
36
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Karhunen-Leve (Lo ve), Hoteling (Hotelling)
transformacija

• optimalna transformacija u statistickom smislu po
  više kriterijuma
• minimizira srednju kvadratnu grešku izmedu
  polazne i rekonstruisane sekvence
• potpuno dekoreliše sekvencu u transformacionom
  domenu
• dodeljuje maksimalnu energiju minimalnom broju
  transformacionih koeficijenata

Transformacioni koeficijenti zavise od
statistickih osobina signala koji se
transformiše, iz cega slijedi da skup bazisnih
funkcija ove transformacije nije fiksan, vec
zavisi od signala. (nije moguce razviti brze
algoritme za izracunavanje ove transformacije).
37
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Karhunen-Leve (Lo ve), Hoteling (Hotelling)
transformacija
Primjena
- u teoretskim istraživanjima, za poredenje sa
drugim transformacijama za koje postoje brzi
algoritmi (pokazano je da Diskretna kosinusna
transformacija ima vrlo bliske karakteristike sa
Hotelingovom transformacijom)
- u prepoznavanju oblika, gde se transformacioni
koeficijenti sa najvecim varijansama koriste za
klasifikaciju svojstava objekata i prepoznavanje
objekata na sceni
38
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Slucajni signali
svaki piksel slike slucajna promenljiva
diskretno slucajno polje
uzorak iz ansambla slika se naziva slucajna slika
srednja vrednost
varijansa
kovarijansna funkcija
stacionarnim u širem smislu - prostorno
invarijantno (homogeno)
39
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Slucajni signali
diskretni bijeli šum ako su bilo koja dva
elementa polja uzajamno nekorelisana
kovarijansna funkcija bijelog šuma i
stacionarnog bijelog šuma
Ako svaki konacni segment polja , kada se
preslika u vektor, ima Gausovu gustinu
verovatnoce , kažemo da je diskretno slucajno
polje Gausovo.
separabilnost kovarijansne f. bijelog šuma i
stacionarnog bijelog šuma
40
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA ()
Slucajni signali
Gustina spektra snage stacionarnog slucajnog
polja jeFurijeova transformacija kovarijansne
(autokorelacione) funkcije
jednakost srednje snage u prostornom i
spektralnom domenu
gustina spektra snage stacionarnog belog šuma