Wyklad 11 Analiza wariancji (ANOVA) - PowerPoint PPT Presentation

1 / 33
About This Presentation
Title:

Wyklad 11 Analiza wariancji (ANOVA)

Description:

Title: Rozk ad pr bkowy dla redniej z rozk adu normalnego Author: gosia Last modified by: gosia Created Date: 10/21/2004 7:51:09 AM Document presentation format – PowerPoint PPT presentation

Number of Views:148
Avg rating:3.0/5.0
Slides: 34
Provided by: gos107
Category:

less

Transcript and Presenter's Notes

Title: Wyklad 11 Analiza wariancji (ANOVA)


1
Wyklad 11Analiza wariancji (ANOVA)
  • Sposób analizy danych gdy mamy wiecej niz dwa
    zabiegi lub populacje.
  • Omówimy ANOV-e w najprostszej postaci.
  • Te same podstawowe zalozenia/ograniczenia co przy
    tescie Studenta
  • W kazdej populacji badana cecha ma rozklad
    normalny
  • Obserwacje sa niezalezne i losowe
  • Bedziemy testowali hipotezy o srednich w
    populacjach
  • ?i
  • Zalozenie standardowe odchylenia badanej cechy
    w kazdej populacji sa sobie równe (podobne) wiec
    mozemy uzyc usrednionego SE

2
  • Uwaga ANOVA moze byc stosowana takze gdy próby
    nie sa niezalezne
  • Np. W ukladzie zrandomizowanym blokowym
  • (zasada podobna do testu Studenta dla powiazanych
    par)
  • Nie bedziemy tego omawiac. Omówimy tylko uklady
    zupelne zrandomizowane.
  • Cel
  • Testujemy hipotezy postaci
  • H0 ?1 ?2 ?3 ?k
  • HA nie wszystkie srednie sa równe

3
Dlaczego nie stosujemy wielu testów Studenta?
  • Wielokrotne porównania
  • P-stwo bledu pierwszego rodzaju (p - stwo
    odrzucenia prawdziwej hipotezy) jest trudne do
    kontrolowania)

4
Korekta Bonferoniego
  • Prosta ale na ogól konserwatywna (p-stwo bledu
    pierwszego rodzaju mniejsze niz zalozone strata
    mocy).

5
  • Estymacja bledu standardowego
  • ANOVA wykorzystuje informacje zawarta we
    wszystkich obserwacjach zwykle daje wieksza
    precyzje

6
Notacja k 3 zabiegi (próby, grupy)
Zabieg 1 Zabieg 2 Zabieg 3
1 48 40 39
2 39 48 30
3 42 44 32
4 43 35
srednia 43 44 34
SS 42 32 46
7
  • Trzy rodzaje rachunków
  • Wewnatrz grup, pomiedzy grupami, calkowite.
  • Liczymy trzy wartosci SS, df, MS

SS df MS
Between
Within
Total
8
Notacja
k grup (prób, zabiegów) k
n1, n2, n3, , nk rozmiary grup ( obserwacji) n1 , n2 , n3
?y1 , ?y2, ?yk srednie w grupach ?y1 ,?y2 , ?y3
calkowita srednia
n calkowita liczba obserwacji n
9
  • Dwa podstawowe typy rachunków
  • (gdzie konieczne, bedziemy uzywali i do
    indeksowania grup a j do indeksowania obserwacji
    w kazdej grupie yij )
  • Wewnatrz kazdej grupy
  • oznacza sume wewnatrz grupy

10
  • Uwzgledniajace wszystkie grupy
  • oznacza sume we wszystkich grupach
  • np. n
  • i

11
  • UWAGA Gdy rozmiary prób nie sa równe
  • nie jest srednia z k srednich!!!
  • Ale mozna ja obliczyc jako
  • (n1?y1 n2?y2 n3?y3) / n

12
Wewnatrz grup (wypelniamy drugi rzad w tabeli)
  • Suma kwadratów wewnatrz grup (SSW)
  • Liczymy SS wewnatrz kazdej grupy
  • (itd. - SS2,
    SS3 , )
  • SS1
  • SS2 32, SS3 46

13
  • SSW SS1SS2SSk
  • SSW
  • Stopnie swobody wewnatrz grup
  • dfw n - k dfw
  • Srednia suma kwadratów wewnatrz grup
  • MSW SSW / dfw MSW
  • To samo co usredniona wariancja
  • Dla przypomnienia dla
    dwóch prób

14
  • Usrednione standardowe odchylenie
  • sc
  • Pomiedzy grupami (wypelniamy pierwszy rzad
    tabeli)
  • Porównujemy srednie grupowe do sredniej
    calkowitej
  • Wazone przez rozmiar grupy
  • Suma kwadratów pomiedzy grupami (SSB)
  • SSB
  • SSB

15
  • Stopnie swobody pomiedzy grupami (dfb)
  • dfb k 1 dfb
  • Srednia suma kwadratów pomiedzy grupami (MSB)
  • MSB SSB/dfb MSB
  • Calkowite
  • Calkowita suma kwadratów (SST)
  • SST
    SST8212228252348

16
  • Uwaga SST SSWSSB 348 120 228
  • Zwykle nie trzeba liczyc SST z definicji
  • Calkowita liczba stopni swobody (dft)
  • dft n 1 dft
  • Uwaga dft dfbdfw 10 2 8

17
Tablica ANOV-y
SS df MS
Between
Within
Total
18
Ta tabela bedzie dostepna na kolokwium i
egzaminie
SS df MS
Pomiedzy SSB dfb k 1 SSB/dfb
Wewnatrz SSW dfw n k SSW/dfw
Calkowite SST dft n 1

19
Test F
  • Dane dla k ? 2 populacji lub zabiegów sa
    niezalezne
  • Dane w kazdej populacji maja rozklad normalny ze
    srednia ?i dla populacji i, i tym samym
    odchyleniem standardowym ?

20
  • Testujemy H0 ?1 ?2 ?3 ?k (wszystkie
    srednie sa sobie równe)
  • vs.
  • HA nie wszystkie srednie sa sobie równe
  • (HA jest niekierunkowa ale obszar odrzucen bedzie
    jednostronny)
  • Kroki
  • Obliczenie tabeli ANOV-y
  • Testowanie

21
Jak opisac F test
  • Zdefinowac wszystkie ?
  • H0 podac za pomoca wzoru i slownie
  • HA tylko slownie
  • Statystyka testowa Fs MSB/MSW
  • przy H0, Fs ma rozklad Snedecora z dfb, dfw
    stopniami swobody
  • Na kolejnych slajdach podane sa wartosci
    krytyczne z ksiazki D.S. Moore i G. P. McCabe
    Introduction to the Practice of Statistics
  • "numerator df" dfb i
  • "denominator df" dfw.

22
(No Transcript)
23
(No Transcript)
24
(No Transcript)
25
(No Transcript)
26
  • Odrzucamy H0 gdy zaobserwowane Fs gt Fkrytyczne
  • Przykladowy wniosek - Na poziomie istotnosci a
    (nie) mamy przeslanki aby twierdzic, ze grupy
    róznia sie poziomem badanej cechy.

27
  • Przyklad Losowa próbe 15 zdrowych mezczyzn
    podzielono losowo na 3 grupy skladajace sie z 5
    mezczyzn. Przez tydzien otrzymywali oni lekarstwo
    Paxil w dawkach 0, 20 i 40 mg dziennie. Po tym
    czasie zmierzono im poziom serotoniny.
  • Czy Paxil wplywa na poziom serotoniny u zdrowych,
    mlodych mezczyzn ?
  • Niech ?1 bedzie srednim poziomem serotoniny u
    mezczyzn przyjmujacych 0 mg Paxilu.
  • Niech ?2 bedzie srednim poziomem serotoniny u
    mezczyzn przyjmujacych 20 mg Paxilu.
  • Niech ?3 bedzie srednim poziomem serotoniny u
    mezczyzn przyjmujacych 40 mg Paxilu.

28
  • H0 ?1 ?2 ?3 sredni poziom serotoniny nie
    zalezy od dawki Paxilu
  • HA sredni poziom serotoniny nie jest ten sam we
    wszystkich grupach (albo sredni poziom serotoniny
    zalezy od dawki Paxilu).
  • Zastosujemy F-Test

29
(No Transcript)
30
  • Fs MSB / MSW przy H0 ma rozklad
  • Testujemy na poziomie istotnosci ? 0.05.
    Wartosc krytyczna F.05 .
  • Obserwujemy Fs
  • Wniosek

31
Na jakiej zasadzie to dziala ?
  • Dla przypomnienia
  • Test Studenta patrzy na róznice miedzy srednimi
    (?y1-?y2)
  • Dzieli ja przez miare rozrzutu tej róznicy
    (SE?y1-?y2 )
  • Jezeli (?y1-?y2) jest duze w porównaniu do bledu
    standardowego to statystyka testu Studenta jest
    duza i odrzucamy H0.

32
  • Dla testu F,
  • Liczymy usredniony kwadrat róznicy miedzy
    srednimi (MSB)
  • Dzielimy go przez oszacowanie zróznicowania w
    próbie (MSW)
  • Jezeli MSB jest duze w porównaniu do MSW wówczas
    statystyka testu F jest duza i odrzucamy H0.
  • Test F jest analogiczny do testu Studenta ale
    umozliwia jednoczesne porównanie kilku srednich.

33
  • Test F mozna stosowac równiez gdy mamy tylko dwie
    próby
  • Statystyka testu F dla dwóch prób jest równa
    kwadratowi statystyki testu Studenta
  • Decyzje i p-wartosci sa dokladnie takie same dla
    obu testów.
Write a Comment
User Comments (0)
About PowerShow.com