Perbandingan ,fungsi, persamaan dan

1
TRIGONOMETRI

• Perbandingan ,fungsi, persamaan dan
• identitas trigonometri

2
Seorang ingin mengukur tinggi tiang bender
dengan menggunakan klinometer
Perbandingan trigonometri
3
Pengalaman Belajar
Perbandingan Trigonometri

• Seorang siswa program keahlian bangunan ingin
  praktik membuat rangka atap rumah dengan
  ketentuan ukuran seperti gambar berikut. Maka
  panjang x adalah

4
Pengalaman Belajar
Perbandingan Trigonometrri

• Puncak suatu menara dilihat dari tempat A dengan
  sudut elevasi 300 dan dilihat dari B dengan sudut
  elevasi 450 seperti pada gambar. Apabila jarak A
  dan B adalah 20 meter, berapa tinggi menara
  tersebut?

450
300
B
A
20 m
5
APA yang terjadi ?
Perbandingan Trigonometri

• Apabila ada beberapa guru memberi tugas pada
  muridnya sbb
• Segitiga siku-siku ABC mempunyai sisi-sisi
  AC4, BC6 dan AB8. Tentukan besar sudut A.

6
Sekilas ???
Perbandingan Trigonometri

• Tidak ada yang aneh dalam soal yang diberikan
  oleh guru tersebut?
• Murid ya mencoba menghitung besar sudut A dengan
  terlebih dahulu menghitung nilai Sinus A
• Guru merasa tak bersalah

7
Perbandingan Trigonometri
BERAPA M TINGGI ANAK TANGGA?
3 M
4M
8
Manakah bangun yang kelilingnya terpanjang?
Perbandingan Trigonometri
2)
1)
4)
3)
9
Ruang Lingkup
Perbandingan Trigonometri
1. Perbandingan Trigonometri suatu sudut
2. Sudut-sudut Istimewa ( Khusus )
3. Rumus-rumus Trigonometri
4. Koordinat Kartesius dan Kutub
5. Aturan Sinus, Kosinus dan Luas segitiga
6. Identitas Trigonometri
7. Persamaan Trigonometri
10
SINUS ADALAH PERBANDINGAN ANTARA SISI DIDEPAN
SUDUT DENGAN HIPOTENUSA PADA SUATU SEGITIGA
SIKU-SIKU
Perbandingan Trigonometri
AC OC
C
Sin AOC
A
0
11
Perbandingan Trigonometri

• Cosinus adalah nilai perbandingan antara sisi
  disampaing sudut dengan hipotenua suatu segitiga
  siku-siku

C
OA OC
Cos AOB
O
A
12
Perbandingan Trigonometri

• Tangen adalah nilai perbandingan antara sisi
  didepan sudut dengan sisi disamping sudut

C
AC OA
Tan AOC
O
A
13
Sudut Dalam Kedudukan Baku
Perbandingan trigonometri
C
B
C
?
?
A
B
A
Sisi AB disebut sisi permulaan dari sudut ? Sisi
AC disebut sisi batas dari sudut ?
14
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
KONSEP SINUS
D
E'
C
B
A
E
B'
C'
D'
Berdasar sifat kesebangunan segitiga siku-siku,
maka
Nilai perbandingan yang tetap untuk sudut A
tersebut dinamakan sinus sudut A dan
dilambangkan dengan sin A
15
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
KONSEP KOSINUS
D
E'
C
B
A
E
B'
C'
D'
Berdasar sifat kesebangunan segitiga siku-siku,
maka
Nilai perbandingan yang tetap untuk sudut A
tersebut dinamakan kosinus sudut A dan
dilambangkan dengan cos A
16
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
KONSEP TANGEN
D
E'
C
B
A
B'
D'
E
C'
Berdasar sifat kesebangunan segitiga siku-siku,
maka
Nilai perbandingan yang tetap untuk sudut A
tersebut dinamakan tangen sudut A dan
dilambangkan dengan tan A
17
Perbandingan trigonometri

• Diketahui segitiga ABC, siku-siku di C. Panjang
  sisi AB 10
• cm, sisi BC 5 cm.
• Nilai cos A dan tan A berturut-turut adalah ....

didapat 5V3
Maka diperoleh sin A ½ Jadi
cos A ½ V3 tan A 1/3 V3

18
Dikembangkan Soal
Perbandingan Trigonometri
Dengan mengukur panjang tangga BC, dan mengukur
besa sudut ABC, dan menggunakan konsep sinus,
maka siswa ditugasi untuk menentukan ketinggian
lantai II dari dasar lantai.
C
Tangga
B
A
19
Perbandingan Trigonometri
C
Dengan mengukur besar sudut BAC dan jarak AB,
serta menggunakan konsep kosinus maka siswa dapat
menentukan panjang tali pancang AC, yang sudah
waktunya diganti itu!
Tali pancang
Tiang
A
B
20
Sudut Khusus
Perbandingan Trigonometri

• Sudut khusus

C
R
S
A
B
D
P
Q
ABC sama sisi panjang sisi 2a
PQRS persegi panjang sisi 2a
21
Perbandingan Trigonometri

• Dengan menggunakan gambar di atas,
• tentukan nilai perbandingan

0o 300 450 600 900
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
22
Sudut Khusus
Perbandibgan Trigonometri
sin 45o ½ V2
1
cos 45o ½ V2
tan 45o 1
sin 30o ½
cos 30o ½ V3
30o
tan 30o 1/3 V3
2
V3
sin 60o ½V3
cos 60o ½
90o
60o
1
tan 60o V3
23
RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI
Perbandingan Trigonometry

• Relasi/Rumus Dasar Fungsi Trigonometri
• a. Relasi Kebalikan
• csc a

sec a
cot a
b. Relasi Pembagian tan a
cot a
c. Relasi Pythagoras sin2a cos2a
1 (dan variasinya) tan2a 1 sec2a
1 cot2a csc2a
24
Sudut Berelasi
Perbandingan Trigonometri
2. Fungsi trigonometri sudut-sudut yang berelasi
a. sin(90 a)o cos ao cos(90 a)o sin
ao tan(90 a)o cot ao cot(90 a)o tan
ao sec(90 a)o csc ao csc(90 a)o sec ao
b. sin(180 a)o sin a0 sin(180
a)o sin ao cos(180 a)o cos
a0 cos(180 a)o cos ao tan(180
a)o tan a0 tan(180 a)o tan ao c.
sin(360 a)o sin a0 sin(ao) sin ao
cos(360 a)o cos a0 cos(ao) cos ao
tan(360 a)o tan a0 tan(ao) tan
ao
All
Bernilai
Sin
Tan
Cos
25
1. Jika ao ßo ?o 180o , maka  sin(a
ß)o sin(180 ?)o sin ?o cos(a ß)o
cos(180 ?)o cos ?o sin ½ (a ß)o
sin(90 ½ ?)o cos ½ ?o cos ½ (a ß)o
cos (90 ½ ?)o sin ½ ?o
Perbandingan Trigonometri
Hal Khusus

2. Jika ao ßo ?o 270o, maka sin(a
ß)o sin(270 ?)o cos ?o cos(a ß)o
cos(270 ?)o sin ?o
26
Koordinat Kartesius dan Kutub
Y
Y
P( x,y )
P( r, ? )
x
x
?
?
r
y
y
?
x
X
O
o
Koordinat Kartesius
Koordinat Kutub
Koordinat Kartesius ke Kutub
Koordinat Kutub ke Kartesius
r2 x2 y2
x r cos a
tan a
Y r sin a
27
Rumus Trigonometri dalam Segitiga

1. Aturan (rumus) sinus dalam segitiga ABC

2. Aturan (rumus) kosinus
a2 b2 c2 2bc cos a b2 a2 c2
2ac cos ß c2 a2 b2 2ab cos ?
cos a
atau
cos ß
cos ?
28
Rumus Trigonometri dalam segitiga
Dari sebuah pelabuhan kapal A bertolak dengan
kecepatan 10 knot (mil/jam) ke arah 160o dan
kapal B ke arah 220o dengan kecepatan 16 knot.
Berapa jarak kedua kapal 2 jam kemudian?
U
AB2 202 322 2. 20 . 32 . cos 60o
400 1024 640
220o
784
O
160o
60o
20
AB 28
A
32
Jarak antara kedua kapal 28 mil
B
29
Rumus trigonometri dalam segitiga
C
20
37
B
51
A
Berapakah nilai tan A dan sin B?
cos A sehingga cos B
cos B sehingga sin A
30
RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT

• Rumus selisih
• sin(a ß) sin a cos ß cos a sin ß
• cos(a ß) cos a cos ß sin a sin ß

•   1. Rumus jumlah
• sin(a ß) sin a cos ß cos a sin ß
• cos(a ß) cos a cos ß sin a sin ß

•   Rumus setengah sudut
• 2 sin2 ½ a 1 - cos a
• 2 cos2 ½ a 1 cos a

•   2. Rumus sudut rangkap
• Sin 2a 2 sin a cos a
• Cos 2a cos2a sin2a

31
RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT

• 3. Rumus sudut rangkap tiga
• Sin 3a 3 sin a 4 sin3 a
• Cos 3a 4cos3a 3 cos a

32
Rumus Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Fungsi
Sinus/Kosinus

• 1. Hasil kali sinus dan kosinus
• 2 sin a cos ß sin(a ß) sin(a ß)
• 2 cos a sin ß sin(a ß) sin(a ß)
• 2 cos a cos ß cos(a ß) cos(a ß)
• 2 sin a sin ß cos(a ß) cos(a ß)
• atau 2 sin a sin ß cos(a ß) cos(a ß)

• 2. Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus/Kosinus
• sin A sin B 2 sin ½ (A B) cos ½ (A B)
• sin A sin B 2 cos ½ (A B) sin ½ (A B)
• cos A cos B 2 cos ½ (A B) cos ½ (A B)
• cos A cos B 2 sin ½ (A B) sin ½ (A B)

33
IDENTITAS TRIGONOMETRI

• Identitas adalah suatu kalimat terbuka yang
  bernilai benar untuk setiap pengganti nilai
  variabelnya, misal sin2a cos2a 1

• Buktikan !

sec4? sec2? tan4? tan2?
34
Bukti
IDENTITAS TRIGONOMETRI
35
IDENTITAS TRIGONOMETRI

• Bukti
• Alternatif I Dari ruas kiri lternatif II Dari
  ruas kanan
• Ruas kiri Ruas kanan
• sec4? sec2? tan 4? tan 2?
• sec2?(sec2? 1) tan 2?(tan 2? 1)
• sec 2? x tan 2? (sec 2? 1) sec 2?
• (1 tan 2?) x tan 2? sec 4? sec 2?
• tan 2? tan 4? ruas kiri (terbukti)
• tan 4? tan 2?
• ruas kanan (terbukti)

36
Persamaan Trigonometri Sederhana
Rumus I

• 1). Jika sin x? ? sin ??
• maka x ? ? k. 360? atau
• x ? (180? ? ?) k. 360? , k ? B

2). Jika cos x? ? cos ?? maka x ? ?
k. 360? atau x ? ? ? k.
360?, k ? B
3). Jika tan x? ? tan ?? maka x ? ?
k. 180? k ? B
37
Rumus II Pada keadaan sama dengan nol
PERSAMAAN TRIGONOMETRI

• 1). Jika sin x? ? 0
• maka x ? k.180? , k ? B

2). Jika cos x? ? 0 maka x ? 90?
k.180? , k ? B
3). Jika tan x? ? 0 maka x ? k.180? ,
k ? B
38
Rumus III Persamaan mengandung harga negatif
PERSAMAAN TRIGONOMETRI

• 1). Jika sin x? ? - sin ?? ? sin (-?)?
• maka x ? - ? k. 360? atau
• x ? (180? ?) k. 360? , k ? B

2). Jika cos x? ? - cos ?? ? cos (180 ? )?
maka x ? 180 ? k. 360? atau
x ? - 180? - ? k. 360? , k ? B
3). Jika tan x? ? - tan ?? ? tan (-?)?
maka x ? - ? k. 180? , k ? B
39
Contoh Soal
PERSAMAAN TRIGONOMETRI

• Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
  trigonometri berikut Untuk 0 x lt 360
• a) sin x0 sin 400 b) cos 2x0
• Jawab
• a) sin x0 sin 400 ? x 40 k.360 atau x
  (180 40) k.360
• untuk k 0 ? x 40
  k 0 ? k 140
• Jadi himpunan penyelesaiannya adalah 40, 140
• adalah 30, 150, 210, 330

40
PERSAMAAN TRIGONOMETRI

• b) cos 2x 0
• cos 2x 0 cos 60 0
• maka 2x 60 k.360 atau 2x -60
  k.360
• x 30 k.1 80
  x -30 k.180
• untuk k 0 ? x 30 Untuk k 1 ? x
  2100
• k 1 ? x 150 k 2
  ? x 330
• Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
• 30, 150, 210, 330

41
Soal
PERSAMAAN TRIGONOMETRI

• 1.Diketahui segitiga ABC, AC 25 cm, BC40 cm,
• dan panjang garis tinggi dari C,yaitu CD24
  cm.
• Nilai cos A dan tan B berturut-turut adalah
  ....
• 2. Dua kapal meninggalkan suatu pelabuhan
  secara bersamaan. Kapal pertama berlayar dengan
  arah 030 dengan kecepatan 8 km/jam, sedangkan
  kapal kedua berlayar dengan arah 090 dengan
  kecepatan 10 km/jam. Jarak kedua kapal itu
  setelah berlayar 3 jam adalah ... km

42
Kerangka atap suatu bangunan berbentuk seperti
gambar berikut
Penerapan ke prgram keahlian

• Hitunglah panjang AB

B
A
2,20 m
35,30
28,50
10,30 m
panjang AB adalah 3,14 m
43
Perhatikan gambar
Penerapan ke program keahlian

1. Hitunglah jarak AB
2. Hitunglah jarak BC

1. jarak AB 12,6 cm
2. jarak BC 21,97 cm