VEKTOR

1
VEKTOR
2
VEKTOR
Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari
dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai
contoh dari besaran vektor adalah perpindahan.
Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf
di cetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah
diatas huruf (misal ). Dalam handout ini sebuah
besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak
tebal.
Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R
3
PENJUMLAHAN VEKTOR

• Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan
  a ke b dan vektor S yang menyatakan perpindahan b
  ke c menghasilkan vektor T yang menyatakan
  perpindahan a ke c.
• Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan
  mempertemukan ujung vektor pertama, vektor R,
  dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka
  resultan vektornya, vektor T, adalah
  menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung
  vektor kedua.

b
S
R
T R S
T
c
a
4
BESAR VEKTOR RESULTAN

• Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar
  vektor S dinyatakan oleh S, maka besar vektor T
  sama dengan

(1.1)
Sudut ? menyatakan sudut yang dibentuk antara
vektor R dan vektor S
5
PENGURANGAN VEKTOR

• Untuk pengurangan vektor, misal A B dapat
  dinyatakan sebagai penjumlahan dari A (-B).
  Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah
  sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B
  tetapi arahnya berlawanan.

D A B
D
-B
B
A
6
CONTOH
Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km,
kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km dan
bergerak ke Selatan sejauh 10 km. Tentukan jarak
perpindahan mobil itu !
7
CONTOH
40 km
Jawab
B
10 km
C
A
20 km
10 km
D A B C
40 km
Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A,
perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan
perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka
perpindahan total dinyatakan vektor D. Dari
gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D
adalah
8
VEKTOR SATUAN
Vektor satuan didefenisikan sebagai
(1.2)

• Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan
  besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di
  atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan
  sebagai besar vektor tersebut dikali vektor
  satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari
  vektor R.
• Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat
  Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing
  sumbu dinyatakan dalam vektor satuan.
• Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif
• Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif
• Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif

9
PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS
Rz
R
Ry
Rx
Vektor dalam 2 Dimensi
Vektor R dinyatakan oleh R Rxi Ryj
Rzk Besar vektor R adalah
Vektor satuan standar tersebut setiap vektor
dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari
vektor komponen masing-masing sumbu koordinat.
10
CONTOH

• Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke
  titik (-2,5). Tentukan
• Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis
• Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu
  X
• Panjang vektor

y
Jawab
(-2,5)
ujung
Ry
(2,2)
?
pangkal
x
Rx
Vektor perpindahan R (xujung xpangkal)i
(yujung ypangkal)j R (-2 2)i (5 2)j
-4i 3j
a.
11
CONTOH
b.
Sudut yang dibentuk
c.
satuan
Besar vektor R
12
PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS
Jika diketahui sebuah vektor A xAi yAj dan
vektor B xBi yBj, maka penjumlahan vektor A
B (xA xB)i (yA yB)j. Atau secara umum
jika menjumlahkan n buah vektor berlaku R (x0
xi xn)i (y0 yi yn)j
(1.3)
yA yB
yB
A B
B
yA
B
A
xA
xB
A
xA xB
13
CONTOH
Diketahui dua buah vektor. A 3i 2j B 2i ?
4j Tentukan a. A B dan ?A B? b. A ?
B dan ?A ? B?
-B
A ? B
A
Jawab
B
a. A B 3i 2j 2i ? 4j
5i ? 2j ?A B?
A B
b. A ? B 3i 2j ? (2i ? 4j) i 6j
?A ? B?
14
SOAL
1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4
satuan dan arahnya 60o dari sumbu X positif
secara analitis dan tentukan vektor satuannya!

• Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik
  (5,0)m. Tentukan
• a. Vektor perpindahan benda tersebut
• b. Jarak perpindahan
• c. Arah dari vektor perpindahan benda
  tersebut dinyatakan oleh vektor
  satuannya

3. Diketahui A 3i 4j. Tentukan konstanta
skalar c sehingga berlaku cA 10 satuan !
4. Diketahui A 2i 4j, B -7i, dan C 8j.
Tentukan a. A B - C b. ?A B
C?
15
SOLUSI
R Rxi Ryj Diketahui Rx R cos ? 4 cos
60o 2 satuan Ry R sin ? 4 sin 60o
2 satuan Dengan demikian R 2i 2 j
satuan Vektor satuan r cos 60o sin 60o ½
i ½ j
1.
16
SOLUSI
2.

• R (x2 x1) i (y2 y1) j. Titik awal (x1,y1)
  (1,2) dan titik akhir (x2,y2) (5,0).
• Dengan demikian vektor R 4 i 2 j.
• R
• c.

17
SOLUSI
a. A B C 2i 4j - 7i - 8j -5i - 4j b.
?A B C? ?2i 4j - 7i 8j? ?-5i 12j?
?-5i 12j? 13 satuan
4.
18
PERKALIAN TITIK
Perkalian skalar atau juga sering disebut
perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan
besaran skalar di mana berlaku A . B AB cos
? (1.4) Jika diketahui A ax i ay j az k
dan B bx i by j bz k, maka A . B axbx
ayby azbz (1.5) Sebagai hasil perkalian
skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks
magnet, dan lain-lain.
19
Perhatikan animasi di samping ini !
Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian
titik adalah i . i j . j k . k 1
i . j j . k k . i 0
20
CONTOH
Diketahui dua buah vektor, A 3i 4j dan B 4i
? 2j. Tentukan sudut antara vektor A dan B !
Jawab
Untuk menentukan sudut antara vektor A dan B
dapat menggunakan persamaan (1.4).
A
?
A . B (3i 4j) . (4i ? 2j) 3.4 4.(-2) 4
AB
B
Besar vektor A
Besar vektor B
Dengan demikian ? 79,7o
21
PERKALIAN SILANG
Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua
buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di
mana berlaku A ? B C (1.6) Besar
vektor C adalah C AB sin ? (1.7) Arah
vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang
dibentuk oleh vektor A dan vektor B. Untuk
menentukan arah vektor C dapat diperhatikan
gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A ? B
tidak sama dengan B ? A. Walaupun besar vektor
hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya
saling berlawanan.
B
C A ? B
?
B
C -C
A
?
A
C B ? A
22
Perhatikan animasi di samping ini !
Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian
titik adalah i ? i j ? j k ? k
0 i ? j k j ? k i k ? i j
j ? i -k k ? j -i i ? k -j
23
Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang
dari dua buah vektor dapat menggunakan aturan
tangan kanan. Jika urutan perkalian dari dua
vektor (misal A ? B), maka empat jari menyatakan
arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke
vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari hasil
kali kedua vektor tersebut. Untuk memahami aturan
ini perhatikan animasi di bawah ini
24
CONTOH
Diketahui dua buah vektor. A 3i 4j
B 4i ? 2j
k Tentukan a. A ? B b. Buktikan A ? B
-B ? A
Jawab
A ? B (3i 4j) ? (4i ? 2j k) 3.4(i?i)
3.(-2)(i?j) 3.1(i?k) 4.4(j?i) 4.(-2)(j?j)
4.1(j?k) 12.0 6k 3(-j) 16(-k) 8.0
4i 4i 3j 22k
a.
b.
B ? A (4i ? 2j k) ? (3i 4j) 4.3(i?i)
4.4(i?j) (-2).3(j?i) (-2).4(j?j) 1.3(k?i)
1.3(k?j) 12.0 16k 6(-k) 8.0 3j 4(-i)
-4i 3j 22k - A ? B terbukti
25
SOAL

• Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A i
  2 j k dan vektor B 3 i 4 k !
• Tentukan panjang proyeksi dari vektor A 4 i 2
  j k terhadap arah vektor B i 3 j 4 k !
  
• 3. Diberikan tiga buah vektor
• A 1 i 2 j k
• B 4 i 2 j 3 k
• C 2 j 3 k
• Tentukan
• a. A . (B ? C)
• b. A . (B C)
• c. A ? (B C)
• 4. Buktikan vektor R 3 i 2 j - 4 k dan S 2
  i j 2 k adalah tegak lurus !

26
SOLUSI
1.
Menurut persamaan (1.5) A . B 1.3 2.0
(-1).(-4) 7. Besar vektor A
Besar vektor B
Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh
Dengan demikian ? 55,1o
2.
Panjang AB menyatakan panjang proyeksi A terhadap
B yang besarnya
27
SOLUSI
B ? C (4i 2j 3k) ? (2j 3k) 8(i ? j)
12(i ? k) 6(j ? k) 6(k ? j) 8k 12j ?
12i A . (B ? C) (i 2j k).(-12i 12j 8k)
-12 24 8 4
3.
a.
B C 4i 4j. Nilai A . (B C) (i 2j
k).(4i 4j) 12
b.
c.
A ? (B C) (i 2j k) ? (4i 4j) i 4j
4k
Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut
90o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh
R . S RS cos 90o RS . 0 0 R . S RxSx
RySy RzSz Jika diketahui R 3 i 2 j - 4 k
dan S 2 i j 2 k, maka R . S 3.2 2.1
(-4).2 0
4.
28
BESARAN FISIS
Setiap keadaan fisis dari materi selalu
dinyatakan sebagai fungsi matematis dari besaran
lain yang mempengaruhinya. S f(x1, x2, . .
. , xn) (1.8) S menyatakan besaran yang
diukur, sedangkan xi menyatakan variabel yang
menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya
interaksi antar dua partikel bermuatan F
ditentukan oleh besar muatan pertama q1, besar
muatan kedua q2, jarak antar partikel r12, dan
medium di mana kedua partikel tersebut berada.
Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang
merupakan fungsi dari beberapa variabel cukup
sulit. Pada pembahasan materi di sini, ditinjau
besaran yang hanya bergantung pada satu variabel
saja.
29
Tinjau sebuah fungsi y f(x) di bawah ini di
mana nilai y hanya ditentukan oleh satu variabel,
yaitu x.
y
Dari grafik di samping diketahui y1 f(x1), y2
f(x2), y3 f(x3), dan y4 y1.
y1
y2
y3
x
x1
x2
x3
x4
Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu
variabel dapat digambarkan dalam bentuk grafik
seperti di atas.
30
Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi
x sebagai fungsi waktu. Posisi sebuah partikel
dalam arah x sebagai fungsi waktu.
t (detik) x (meter)
0 9
1 4
2 1
3 0
4 1
5 4
6 9
7 16
8 25
9 36
x(t) (t 3)2
31
r (m) E (N/C)
1 9
2 2,25
3 1
4 0,5625
5 0,36
6 0,25
7 0.1837
8 0,1406
9 0,1111
10 0,09
Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui
besar q 1 nC.
32
CONTOH

1. Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas
   mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F kx
   dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah
   jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi jarak x !

F
F kx
x
33
CONTOH
Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan
sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang
dinyatakan oleh fungsi Q(t) q(1
e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan
grafik Q terhadap t !
2.
Q
Q q(1 e-At)
q
t
34
DIFERENSIAL
Diferensial atau turunan pertama kali dibahas
untuk menentukan garis singgung dari suatu kurva.
Masalah ini sudah dibahas sejak jaman Archimedes
sekitar abad ke 3 SM. Dalam fisika, turunan
pertama kali digunakan untuk menentukan besar
kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan
posisi terhadap waktu.
Lihat gambar di samping. Gradien dari garis
singgung pada titik P dapat ditentukan oleh
persamaan
f(x)
(1.9)
f(ch)
Garis singgung
P
f(c)
x
c
ch
35
Jika x c dan x c h, maka persamaan (1.9)
menjadi
(1.10)
Penulisan turunan dari suatu fungsi y f(x)
terhadap x dinyatakan oleh
f(x)
Dxy

• Berlaku untuk turunan
• Dx(cf(x)) c Dxf(x) c konstanta (1.11a)
• Dx(f(x) g(x)) Dxf(x) Dxg(x) (1.11b)
• Dx(f(x)g(x)) (Dxf(x))g(x) f(x)(Dxg(x)) (1.11c
  )
• Dx(f(g(x))) Dg(x)f(g(x)).Dxg(x) (1.11d)
• Dx(xn) nXn-1 (1.11e)

36
Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan
sebagai perbandingan besaran B terhadap besaran C
selalu dinyatakan dalam bentuk
Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B
merupakan fungsi dari besaran C. Sebagai contoh
37
CONTOH

• Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan
  sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang
  dinyatakan oleh fungsi
• Q(t) q(1 e-At)
• dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan
• Fungsi arus sebagai waktu
• Besar arus saat t 0
• Gambarkan grafik I(t)

Jawab
Besar arus I
a.
Pada saat t 0 harga I adalah I qAe-A.0 qA
b.
38
INTEGRAL
Integral digunakan untuk menentukan luas daerah
di antara kurva fungsi f(x) dan sumbu x.
Sebagai contoh diketahui y f(x) (x 3)2 5
dan luas yang ditentukan pada batas dari x 1
sampai dengan x 8.
39
Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat
didekati dengan A(n 7) f(1)?x f(2)?x
f(3)?x f(4)?x f(5)?x f(6)?x f(7)?x
Nilai ?x 1 ditentukan dengan membagi selang 1 lt
x lt 8 dibagi dengan n 7. Nilai A(n 7) 9 6
5 6 9 14 21 70 satuan persegi.
Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas
sebenarnya. Nilai A sebenarnya diperoleh pada
nilai n endekati tak hingga.
40
Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu
besaran yang merupakan hasil kali dari
besaran-besaran lain dengan syarat masing-masing
besaran tersebut tidak saling bebas satu sama
lain. Tinjau suatu besaran R ST. Jika besaran S
fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan
dalam bentuk
Sebagai contoh
Usaha Gaya ? jarak
Fluks Medan ? luas
41
CONTOH

• Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas
  mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F kx
  dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah
  jarak. Tentukan
• Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas
• Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu

Jawab
Usaha yang dilakukan
a.
42
SOAL

• Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang
  dinyatakan oleh persamaan F(x) Ax ? Bx2. Jika
  diketahui nilai A 103 N/m dan B 5.103 N/m2.
  Tentukan
• Grafik F terhadap x
• Perubahan Gaya F terhadap jarak
• Usaha yang dilakukan gaya dari x 3 cm sampai
  x 9 cm

1.
Di bawah ini grafik dari potensial listrik
terhadap jarak.
2.

• Tentukan
• Fungsi potensial V sebagai fungsi x
• Jika diketahui medan listrik E adalah turunan
  pertama dari potensial listrik V, tentukan fungsi
  E(x)
• Gambarkan grafik E terhadap x

43

• Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t)
  10t 2t2 m/s bergerak dengan posisi awal di x
  1 m. Tentukan
• Gambarkan grafik v(t)
• Kecepatan saat t 1 detik dan t 3 detik
• Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t)
• Gambarkan grafik a(t)
• Fungsi posisi x(t) terhadap waktu
• Posisi saat kecepatan v 0

3.
44
SOLUSI
1. a.
Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh
1. b.
A 2Bx 103 104x
45
Usaha yang dilakukan
1. c.
W 36.10-4A 234.10-6B 2,43 Joule
2. a.
Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi linier
yang menghubungkan titik (0,4) dan titik (10,8).
Dengan menggunakan persamaan garis V ax
b. Untuk titik (0,4) 0.a b 4 Untuk titik
(10,8) 10.a b 8
Dengan metoda eliminasi diperoleh b 4 dan a
2,5. Dengan demikian fungsi V(x) 2,5x 4
46
Medan listrik E(x)
2. b.
2,5
Dengan demikian nilai E(x) konstan.
2. c.
3. a.
47
SOLUSI
Kecepatan saat t 1 detik adalah v(1) 10.1
2.12 6 m/s. Sedangkan kecepatan saat t 3
detik adalah v(1) 10.3 2.32 12 m/s.
3. b.
Percepatan a(t)
3. c.
10 4t
a (m/s2)
3. d.
x (m)
48
Fungsi posisi x(t)
3. e.
Saat v 10t 2t2 0 terjadi saat t 0 dan t
5 detik. Pada saat t 0 posisi x(0) 0.
Sedangkan pada saat t 5 detik posisi x di
3. f.
x(5)
Dengan demikian kecepatan v 0 di posisi x 0
dan x 41,67 m