TOPIK 1

1
TOPIK 1

• LOGIKA

2
PERTEMUAN 1

• PERNYATAAN
• PENGHUBUNG PERNYATAAN

3
PERNYATAAN

• Adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran
  (benar/salah)
• Contoh
• UKSW berada di Salatiga. (pernyataan benar)
• 539. (pernyataan salah)
• 1001101. (pernyataan, benar/salah tergantung
  konteks biner/desimal)
• Meja itu besar. (bukan pernyataan)
• Apa hobimu? (bukan pernyataan)

4
PENGHUBUNG PERNYATAAN (1)

• Untuk membuat pernyataan yang lebih kompleks dari
  pernyataan-pernyataan yang lebih sederhana
  dibutuhkan penghubung.
• Pernyataan-pernyataan yang lebih kompleks ini
  disebut pernyataan majemuk (compound statement).
  Jadi pernyataan primer atau atomik adalah
  pernyataan-pernyataan yang tidak mempunyai
  penghubung. Dalam pembahasan ini suatu pernyataan
  akan diberi nama dengan huruf kapital.

5
PENGHUBUNG PERNYATAAN (2)

• Negasi (NOT atau Inversi)
• Konjungsi (AND)
• Disjungsi (OR)
• Kondisi (Conditional)/Implikasi
• Kondisi Ganda (Biconditional)/Biimplikasi

6
NEGASI (1)

• Notasi atau atau atau
• Negasi pernyataan P adalah suatu pernyataan P
  yang mempunyai nilai kebenaran berlawanan dari
  nilai kebenaran pernyataan semula.
• Contoh
• P Hari ini hujan.
• Q Hari ini panas.
• Maka pernyataan NOT dari P dan Q adalah
• P Hari ini tidak hujan.
• Q Hari ini tidak panas.

7
NEGASI (2)

• Tabel Kebenaran
• Rangkaian Logika

8
DISJUNGSI (1)

• Notasi ? atau atau ?
• Disjungsi dari dua pernyataan P dan Q adalah
  suatu pernyataan P ? Q yang mempunyai nilai
  kebenaran T jika P atau Q atau keduanya mempunyai
  nilai kebenaran T, selain itu P ? Q bernilai F.
• Contoh
• P Hari ini hujan.
• Q Ada 10 kamar dalam rumah ini.
• P ? Q Hari ini hujan atau ada 10 kamar dalam
  rumah ini.

9
DISJUNGSI (2)

• Saya akan menonton pertandingan di tv atau pergi
  ke lapangan pertandingan.
• atau dipakai dalam bentuk yang eksklusif untuk
  memilih salah satu dari dua alternatif tetapi
  tidak keduanya (P atau Q saja tetapi tidak P dan
  Q).
• Ada sesuatu yang salah dengan bolam itu atau
  dengan pengabelannya.
• atau dipakai dalam bentuk yang inklusif yaitu
  bisa salah satu atau kedua alternatif terjadi
  (P, atau Q atau P dan Q). atau digunakan
  seperti yang dimaksud (simbol ?).
• Dua atau tiga orang cedera dalam kecelakaan itu.
• atau tidak ditujukan dalam arti Penghubung
  yang dimaksudkan tetapi mengenai jumlah orang
  dalam kejadian itu.

10
DISJUNGSI (3)

• Sifat simetri P ? Q Q ? P.
• Negasi P ? Q adalah P ? Q.
• Tabel Kebenaran

11
DISJUNGSI (4)

• Rangkaian Logika

12
KONJUNGSI (1)

• Notasi ?, . , ?, atau ?
• Konjungsi dari dua pernyataan P dan Q adalah
  suatu pernyataan P ? Q yang mempunyai nilai
  kebenaran T bila P dan Q keduanya mempunyai nilai
  kebenaran T, selain itu P ? Q bernilai F.
• Contoh
• P Hari ini hujan.
• Q Ada 10 kamar dalam rumah ini.
• P ? Q Hari ini hujan dan ada 10 kamar dalam
  rumah ini.

13
KONJUNGSI (2)

• Mawar berwarna merah dan kucing berwarna hitam.
• dan digunakan seperti yang dimaksud (simbol
  ?). Prinsip simetri berlaku. P?Q Q?P
• Inem membuka pintu dan berjalan masuk.
• dan berarti kemudian karena berjalan masuk
  terjadi setelah Inem membuka pintu ? tidak
  dapat diterjemahkan dengan ?. Prinsip simetri
  tidak berlaku. P?Q ? Q?P
• Inem dan Ponim bersaudara.
• dan bukan penghubung, karena hanya satu
  kalimat bukan dua kalimat setara yang dihubungkan
  dengan AND. Bila dipecah, akan menjadi kalimat
  berita tidak lengkap. Inem bersaudara. Kalimat
  menjadi tidak lengkap karena bersaudara dengan
  siapa?.

14
KONJUNGSI (3)

• Sifat simetri P ? Q Q ? P.
• Negasi P ? Q adalah P ? Q.
• Tabel Kebenaran

15
KONJUNGSI (4)

• Rangkaian Logika

16
IMPLIKASI (1)

• Notasi ?
• Jika P dan Q adalah dua pernyataan, maka
  implikasi pernyataan P ? Q dapat dibaca sebagai
  IF P, THEN Q. P dan Q adalah suatu pernyataan
  conditional. P disebut antecedent dan Q adalah
  consequent.
• Implikasi tidak mempunyai sifat simetri dalam
  arti bahwa P?Q tidak sama dengan Q?P.

17
IMPLIKASI (2)

• Contoh
• P Langit cerah hari ini. Q 27 gt4.
• P?Q Jika langit cerah hari ini, maka 27 gt4.
• P Ibu ke pasar. Q Didi ke sekolah.
• P?Q Jika ibu ke pasar, maka Didi ke sekolah.
• Tulis dalam bentuk simbolis Kalau William
  mengambil Kalkulus atau Harry mengambil
  Sosiologi, maka Charles akan mengambil Bahasa
  Inggris.
• J William mengambil Kalkulus.
• K Harry mengambil Sosiologi.
• L Charles mengambil Bahasa Inggris.
• Hasilnya adalah (J ? K) ? L

18
IMPLIKASI (3)

• P ? Q ? (ekuivalen dengan) P ? Q.
• Buktikan dengan tabel kebenaran!
• (P ? Q) ? (P ? Q) ? P ? Q.
• Tabel Kebenaran

19
IMPLIKASI (4)

• Dari suatu implikasi, bisa dibentuk implikasi
  yang lain, yaitu
• Konvers (Q ? P)
• Invers (P ? Q)
• Kontraposisi (Q ? P)
• P ? Q ? Q ? P
• Buktikan dengan tabel kebenaran!

20

• Jika saya tidak masuk, maka kalian senang.
• Kn Jika kalian senang, maka saya tidak masuk.
• In Jika saya masuk, maka kalian tidak senang.
• Kt Jika kalian tidak senang, maka saya masuk.
• Ng Saya tidak masuk dan kalian tidak senang.

21
BIIMPLIKASI (1)

• Notasi ?
• Jika P dan Q adalah dua pernyataan, maka
  biimplikasi pernyataan P ? Q (dibaca P jika dan
  hanya jika Q) mempunyai nilai T bilamana baik P
  dan Q keduanya mempunyai nilai kebenaran yang
  sama.
• P?Q mempunyai sifat simetri yaitu
• P?Q Q?P.

22
BIIMPLIKASI (2)

• Contoh
• PQ jika dan hanya jika P?Q dan Q?P.
• P ? Q ? (P?Q) ? (Q?P)
• Tabel Kebenaran

23
TAUTOLOGI dan KONTRADIKSI

• Tautologi adalah pernyataan yang nilainya selalu
  benar.
• Contoh P ? P (buktikan!)
• Kontradiksi adalah pernyataan yang nilainya
  selalu salah.
• Contoh P ? P (buktikan!)

24
KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI (1)

• Jika A merupakan suatu bujursangkar atau
  trapesium, maka A merupakan suatu 4 persegi
  panjang.
• Kn
• In
• Kt
• Ng

25
KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI (2)

• Jika n adalah bilangan prima gt 2 dan n bulat,
  maka n adalah bilangan ganjil.
• Kn
• In
• Kt
• Ng

26
PERTEMUAN 2

• EKUIVALENSI SUATU FORMULA

27
Ekuivalensi dari Suatu Formula (1)

• Misalkan A dan B adalah 2 pernyataan dan P1, P2,
  , Pn adalah variabel dalam A dan B. Jika seluruh
  nilai kebenaran dari A sama dengan nilai
  kebenaran B untuk setiap kombinasi nilai-nilai
  kebenaran yang diberikan pada P1, P2, , Pn, maka
  A dan B adalah ekuivalen.

28
Ekuivalensi dari Suatu Formula (2)

• Contoh
• ? (?P) ? P
• P ? P ? P
• (P ? ?P) ? Q ? Q
• P ? ?P ? Q ? ?Q

29
(No Transcript)
30
Rumus Ekuivalensi Tambahan

• P ? Q P ? Q Q ? P
• (P ? Q) P ? Q
• P ? (Q?R) (P ? Q) ?R
• (P ? Q) P ? Q
• P ? Q (P?Q) ? (Q?P)
• (P ? Q) (P ? Q) ? (P ? Q)
• Q ? P P ? Q
• P ? Q Q ? P
• Q ? P P ? Q

31
Contoh Soal

• Buktikan ekuivalensi kalimat-kalimat berikut
  dengan tabel kebenaran dan dengan rumus
  ekuivalensi
• (p ? q ) ? (p ? q ) p
• (( p ? q ) ? (p ? q )) ? (p ? q) p
• (p ? ( (p ? q))) ? (p ? q) p
• P ? (Q ? R) P? (Q ? R) (P?Q) ? R
• (P ? (Q ? R)) ? (Q ? R) ? (P ? R) R

32
PERTEMUAN 3

• KALKULUS PREDIKAT/
• KALIMAT BERKUANTOR
• PENARIKAN KESIMPULAN
• PEMBUKTIAN MATEMATIKA

33
Pendahuluan

• Telah dibahas kalimat-kalimat yang dihubungkan
  kata penghubung tertentu. Akan tetapi, kalimat
  yang dibicarakan tidak memandang banyaknya obyek
  yang terlibat di dalamnya.
• Akan dibahas konsep logika yang diperluas dengan
  cara menyertakan jumlah (kuantitas) obyek yang
  terlibat di dalamnya.

34
Predikat (1)

• Dalam tata bahasa, predikat menunjuk pada bagian
  kalimat yang memberi informasi tentang subjek.
• Contoh
• terbang ke bulan
• lebih tebal dari kamus
• yang merupakan kalimat tidak lengkap. Agar
  menjadi suatu kalimat yang lengkap, haruslah
  disubstitusikan subyek di bagian depan kalimat.
  Misalnya, subyek Buku ini disubstitusikan pada
  kalimat lebih tebal dari kamus, menjadi Buku
  ini lebih tebal dari kamus.

35
Predikat (2)

• Dalam ilmu logika, kalimat-kalimat yang
  memerlukan subyek disebut predikat. Jadi,
  misalkan p terbang ke bulan dan q lebih
  tebal dari kamus, maka baik p maupun q adalah
  predikat. Untuk menyatakan perlunya substitusi
  subyek (yang tidak diketahui), maka dituliskan
  p(x) dan q(y).
• Salah satu cara untuk mengubah predikat menjadi
  suatu kalimat adalah dengan mensubstitusi semua
  variabelnya dengan nilai-nilai tertentu.

36
Predikat (3)

• Misalkan
• p(x) x habis dibagi 5 dan
• x disubstitusikan dengan 35, maka
• p(x) menjadi kalimat benar karena
• 35 habis dibagi 5.
• Cara lain adalah dengan menambahkan kuantor pada
  kalimat. Kuantor adalah kata-kata seperti
  beberapa, semua, dan lain-lain yang
  menunjukkan berapa banyak elemen yang dibutuhkan
  agar predikat menjadi benar.

37
Kuantor

• 2 macam kuantor untuk menyatakan jumlah obyek
  yang terlibat yaitu
• Kuantor Universal (simbol ?)
• Kuantor Eksistensial (simbol ?).

38
Kuantor Universal

• Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap obyek
  dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang
  menyatakannya.
• Kata yang digunakan semua atau setiap
• Misalnya
• p(x) x dapat mati.
• Karena semua manusia dapat mati, maka hal
  tersebut dinyatakan dengan
• (?x) x ? manusia, x ? p(x).
• Kalau semesta sudah jelas, maka dapat
  dihilangkan. Jadi, jika semesta pembicaraannya
  sudah jelas, yaitu himpunan manusia-manusia di
  bumi, maka dituliskan (? x) p(x).

39
Kuantor Eksistensial

• Kuantor Eksistensial menunjukkan bahwa di antara
  obyek-obyek dalam semestanya, paling sedikit ada
  satu obyek (atau lebih, asal tidak semua) yang
  memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya.
• Kata yang digunakan terdapat, ada, beberapa,
  paling sedikit satu
• Contoh
• (? x ? D) q(x), disingkat (?x) q(x) bernilai T
  jhj paling sedikit ada satu x dalam D yang
  menyebabkan q(x) benar, dan hanya bernilai salah
  jika untuk semua x ? D, q(x) bernilai salah.

40
Ingkaran Kalimat Berkuantor

• Secara umum
• Ingkaran kalimat Semua x bersifat p(x) adalah
• Ada x yang tidak bersifat p(x),
• Ingkaran kalimat Ada x yang bersifat q(x)
  adalah
• Semua x tidak bersifat q(x).
• Secara formal
• ? ((?x ? D) p(x)) ? (?x ? D) ? p(x)
• ? ((?x ? D) q(x)) ? (?x ? D) ? q(x)

41
PENARIKAN KESIMPULAN

• Modus Ponens
• Modus Tollens
• Penambahan Disjungtif
• Penyederhanaan Konjungtif
• Silogisme Disjungtif

42
Modus Ponens

• Diasumsikan p?q benar. Jika diketahui p benar,
  supaya p?q benar, maka q harus benar.
• p ? q
• p
• ---------
• q
• Contoh
• Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka
  bilangan tersebut habis dibagi 10.
• Digit terakhir suatu bilangan adalah 0.
• Disimpulkan Bilangan tersebut habis dibagi 10.

43
Modus Tollens

• Hampir sama dengan modus ponens. Hanya saja pada
  modus tollens, digunakan kontraposisi dari
  implikasi.
• Diasumsikan p ? q benar. Jika diketahui q benar,
  supaya p ? q benar, maka p harus benar.
• p ? q
• q
• ---------
• p
• Contoh
• Jika saya kangen, maka saya akan melihat fotomu.
• Saya tidak melihat fotomu.
• Disimpulkan Saya tidak kangen.

44
Penambahan Disjungtif

• Didasarkan pada fakta bahwa jika suatu kalimat
  dapat digeneralisasikan dengan penghubung ?, maka
  kalimat tersebut akan bernilai benar jika salah
  satu komponennya bernilai benar.
• p q
• --------- atau ---------
• p ? q p ? q
• Contoh
• Saya suka jeruk.
• Disimpulkan Saya suka jeruk atau durian.

45
Penyederhanaan Konjungtif

• Jika beberapa kalimat dihubungkan dengan
  penghubung ?, maka kalimat tersebut dapat diambil
  salah satunya secara khusus.
• p ? q p ? q
• --------- atau ---------
• p q
• Contoh
• Saya menguasai Matematika dan Komputer.
• Disimpulkan Saya menguasai Matematika.

46
Silogisme Disjungtif

• Jika kita dihadapkan pada dua pilihan (A atau B),
  sedangkan kita tidak memilih A, maka kita akan
  memlih B.
• p ? q p ? q
• p q
• --------- atau ---------
• q p
• Contoh
• Dompetku ada di sakuku atau tertinggal di rumah.
• Dompetku tidak ada di sakuku.
• Disimpulkan Dompetku tertinggal di rumah.

47
Contoh (1)

• Jika saya belajar atau jika saya jenius, maka
  saya akan lulus ujian Matematika.
• Saya tidak diizinkan mengambil mata kuliah
  Matematika Diskrit.
• Jika saya lulus ujian Matematika, maka saya
  diizinkan mengambil mata kuliah Matematika
  Diskrit.
• Saya tidak belajar.
• Dari keempat implikasi tersebut, kesimpulannya?

48
Contoh (2)

• Pada suatu hari, Anda hendak pergi ke kampus dan
  baru sadar bahwa Anda tidak memakai kacamata.
  Setelah mengingat-ingat, ada beberapa fakta yang
  Anda pastikan kebenarannya
• Jika kacamataku ada di meja dapaur, maka aku
  pasti sudah melihatnya ketika sarapan pagi.
• Aku membaca koran di ruang tamu atau aku
  membacanya di dapur.
• Jika aku membaca koran di ruang tamu, maka
  pastilah kacamata kuletakkan di meja tamu.
• Aku tidak melihat kacamataku pada waktu sarapan
  pagi.
• Jika aku membaca buku di ranjang, maka kacamata
  kuletakkan di meja samping ranjang.
• Jika aku membaca koran di dapur, maka kacamataku
  ada di meja dapur.
• Berdasarkan fakta-fakta tersebut, tentukan di
  mana letak kacamata tersebut !

49
PEMBUKTIAN MATEMATIKA

• Kontraposisi
• Kontradiksi
• Induksi Matematika
• dll.

50
Induksi Matematika

• Induksi matematika merupakan salah satu teknik
  pembuktian matematis dengan membuktikan
  teorema-teorema di mana pernyataan-pernyataannya
  melibatkan bilangan-bilangan bulat positif.
• Langkah
• Tunjukkan bahwa pernyataan benar untuk n n0.
• Tunjukkan bahwa pernyataan benar untuk n k 1,
  dengan mengasumsikan bahwa pernyataan benar untuk
  n k, dengan k ? n0.

51
Contoh

• Buktikan bahwa 1 2 3 ... n , untuk n ?
  1 !