Transformasi Fourier

1
Transformasi Fourier

• Tri Rahajoeningroem, MT
• T Elektro
• UNIKOM

2
Teori Konvolusi

• Konvolusi dua buah fungsi f(x) dan g(x)
  didefinisikan sebagai berikut

Integral dari tak hingga sampai tak terhingga
Untuk fungsi diskrit , konvolusi didefinisikan
sebagai
g(x) disebut dengan kernel konvolusi (filter) ,
kernel g(x) merupakan jendela yang dioperasikan
secara bergeser pada sinyal masukan f(x) hasil
konvolusi dinyatakan dengan keluaran h(x)
Perhitungan hasil konvolusi diperlihatkan pada
gambar a f, dan hasil konvolusi ditunjukkan
pada gambar g
x/2 , 0 lt x lt 1
f(x) g(x)
X x/2, 1lt x lt 2
0, Lainnya
3
Ilustrasi proses konvolusi
4
f(x)g(x)
1/2
x
1
2
(g)
Contoh ilustrasi konvolusi lain adalah impulse
Fungsi Impulse Fungsi Delta Dirac pada domain
kontinue dan Fungsi Delta Kronecker pada domain
diskrit d(x) yang mempunyai nilai 1 pada suatu x
dan mempunyai nilai 0 pada x lainnya.
d(x)
1
x
5
Impulse Response

• Impulse Response
• Menurut teori filtering, pada sistem yang ideal,
  sinyal yang masuk (impulse) sama dengan sinyal
  yang keluar (impulse response). Hal tersebut
  dapat digambarkan dengan transfer function dalam
  bentuk fungsi Delta Dirac.
• Sistem yang ideal

proses konvolusi
f(x) d(x) f(x)d(x)
6
POINT SPREAD FUNCTION (PSF)(FUNGSI SEBARAN
TITIK)

• Sistem yang tidak ideal
• Pada sistem yang tidak ideal, sinyal yang masuk
  mengalami degradasi atau penurunan kwalitas.
• Blurring

proses konvolusi
f(x) g(x) f(x)g(x)
an impulse is a point of light
g(x) blurs the point
(optical phenomenon
yang disebut point spread function - PSF) g(x)
juga disebut sebagai impulse response
function
7
Konvolusi pada fungsi Dwimatra

• Fungsi malar

• Fungsi diskrit

Fungsi penapis g(x,y) disebut juga convolution
filter, convolution mask, convolution kernel atau
template. Dalam bentuk diskret kernel konvolusi
dinyatakan dalam bentuk matriks, misal 2x2, 3x3,
2x1 atau 1x2
8
Ilustrasi konvolusi
F(i,j)Ap1Bp2Cp3Dp4Ep5Fp6Gp7Hp8Ip9
Contoh misal citra f(x,y) yang berukuran 5x5 dan
sebuah kernel dengan ukuran 3x3, matriks sebagai
berikut 4 4 3 5 4 0 -1 0 6 6 5 5
2 g(x,y) -1 4 -1 F(x,y) 5 6 6 6 2
0 -1 0 6 7 5 5 3 3 5 2 4 4
Operasi konvolusi antara citra f(x,y) dengan
kernel g(x,y), F(x,y)g(x,y)
9

• Menghitung hasil konvolusi
• Menempatkan kernel pada sudut kiri atas ,
  kemudian hitung nilai pixel pada posisi (0,0)
  dari kernel
• hasil 3
• Geser kernel satu pixel ke kanan ,kemudian hitung
  nilai pixel pada posisi (0,0) dari kernel
• hasil 0
• Selanjutnya dengan cara yang sama geser ke kanan,
  dst
• Geser kernel satu pixel ke bawah, lakukan
  perhitungan seperti diatas
• Nilai pixel citra tepi tidak berubah
• 4 4 3 5 4
• 6 3 0 2 2
• 5 0 2 6 2 hasil konvolusi
• 6 6 0 2 3
• 3 5 2 4 4

10
Transformasi Fourier

• Mengapa perlu transformasi ?
• Setiap orang pada suatu saat pernah menggunakan
  suatu teknik analisis dengan transformasi untuk
  menyederhanakan penyelesaian suatu masalah
  Brigham,1974
• Contoh penyelesaian fungsi y x/z
• Analisa konvensional pembagian secara manual
• Analisa transformasi melakukan transformasi
• log(y) log(x) log(z)
• look-up table ? pengurangan ? look-up table

11

• Transformasi juga diperlukan bila kita ingin
  mengetahui suatu informasi tertentu yang tidak
  tersedia sebelumnya
• Contoh
• jika ingin mengetahui informasi frekuensi kita
  memerlukan transformasi Fourier
• Jika ingin mengetahui informasi tentang kombinasi
  skala dan frekuensi kita memerlukan transformasi
  wavelet

Transformasi Citra

• Transformasi citra, sesuai namanya, merupakan
  proses perubahan bentuk citra untuk mendapatkan
  suatu informasi tertentu
• Transformasi bisa dibagi menjadi 2
• Transformasi piksel/transformasi geometris
• Transformasi ruang/domain/space

12
Transformasi Pixel

• Transformasi piksel masih bermain di ruang/domain
  yang sama (domain spasial), hanya posisi piksel
  yang kadang diubah
• Contoh rotasi, translasi, scaling, invers,
  shear, dll.
• Transformasi jenis ini relatif mudah
  diimplementasikan dan banyak aplikasi yang dapat
  melakukannya (Paint, ACDSee, dll)
• Transformasi Ruang
• Transformasi ruang merupakan proses perubahan
  citra dari suatu ruang/domain ke ruang/domain
  lainnya, contoh dari ruang spasial ke ruang
  frekuensi
• Masih ingat istilah ruang ? Ingat-ingat kembali
  pelajaran Aljabar Linier tentang Basis dan Ruang
  ?
• Contoh Ruang vektor. Salah satu basis yang
  merentang ruang vektor 2 dimensi adalah 1 0 dan
  0 1. Artinya, semua vektor yang mungkin ada di
  ruang vektor 2 dimensi selalu dapat
  direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari
  basis tersebut.

13

• Ada beberapa transformasi ruang yang akan kita
  pelajari, yaitu
• Transformasi Fourier (basis cos-sin)
• Transformasi Hadamard/Walsh (basis kolom dan
  baris yang ortogonal)
• Transformasi DCT (basis cos)
• Transformasi Wavelet (basis scaling function dan
  mother wavelet)

Transformasi Fourier

• Pada tahun 1822, Joseph Fourier, ahli matematika
  dari Prancis menemukan bahwa setiap fungsi
  periodik (sinyal) dapat dibentuk dari penjumlahan
  gelombang-gelombang sinus/cosinus.
• Contoh Sinyal kotal merupakan penjumlahan dari
  fungsi-fungsi sinus berikut (lihat gambar pada
  halaman berikut)

• f(x) sin(x) sin(3x)/3 sin(5x)/5
• sin(7x)/7 sin(9x)/9

14
Hasil dalam transformasi fourier


Fungsi kotak sebagai penjumlahan fungsi-fungsi
sinus
Cobakan juga program matlab berikut untuk melihat
sampai batas n berapa fungsi yang dihasilkan
sudah berbentuk fungsi kotak. function
kotak(n) t 0pi/2008pi kot sin(t) for
i 3 2 n kot kot
(sin(it))/i end plot(kot)
15
Gambar a) n 1, b) n 3, c) n 7, d) n 99
(a)
(b)
(c)
(d)
16
FT - Motivasi

• Jika semua sinyal periodik dapat dinyatakan dalam
  penjumlahan fungsi-fungsi sinus-cosinus,
  pertanyaan berikutnya yang muncul adalah
• Jika saya memiliki sebuah sinyal sembarang,
  bagaimana saya tahu fungsi-fungsi cos sin apa
  yang membentuknya ?
• Atau dengan kata lain
• Berapakah frekuensi yang dominan di sinyal
  tersebut ?
• Pertanyaan di atas dapat dijawab dengan
  menghitung nilai F(u) dari sinyal tersebut. Dari
  nilai F(u) kemudian dapat diperoleh kembali
  sinyal awal dengan menghitung f(x), menggunakan
  rumus

17
Rumus FT 1 dimensi

• Rumus FT kontinu 1 dimensi

• Rumus FT diskret 1 dimensi

Contoh berikut diambil dari Polikar
(http//engineering.rowan.edu/polikar/WAVELETS/WT
tutorial.html) Misalkan kita memiliki sinyal
x(t) dengan rumus sbb x(t) cos(2pi5t)
cos(2pi10t) cos(2pi20t)
cos(2pi50t) Sinyal ini memiliki empat komponen
frekuensi yaitu 5,10,20,50
18
Contoh FT 1 dimensi

• Contoh berikut diambil dari Polikar
• (http//engineering.rowan.edu/polikar/WAVELE
  TS/WTtutorial.html)
• Misalkan kita memiliki sinyal x(t) dengan rumus
  sbb
• x(t) cos(2pi5t) cos(2pi10t)
• cos(2pi20t) cos(2pi50t)
• Sinyal ini memiliki empat komponen frekuensi
  yaitu 5,10,20,50

19
Contoh sinyal 1 Dimensi x(t)
Gambar sinyal satu dimensi dengan rumus x(t)
cos(2pi5t) cos(2pi10t)
cos(2pi20t) cos(2pi50t) (Sumber
Polikar)
20
FT dari sinyal tersebut
FT dari sinyal tersebut. Terlihat bahwa FT dapat
menangkap frekuensi-frekuensi yang dominan dalam
sinyal tersebut, yaitu 5,10, 20, 50 (nilai
maksimum F(u) berada pada angka 5,10, 20, 50)
21
Contoh Penghitungan FT 1 dimensi (Gonzalez hlm
90-92)
22
Contoh Penghitungan FT

• Hasil penghitungan FT biasanya mengandung
  bilangan real dan imajiner
• Fourier Spectrum didapatkan dari magnitude kedua
  bilangan tersebut shgF(u) R 2(u) I
  2(u)1/2
• Untuk contoh di halaman sebelumnya, Fourier
  Spectrumnya adalah sebagai berikut
• F(0) 3.25 F(1) (-0.5)2(0.25)21/2
  0.5590
• F(2) 0.25 F(3) (0.5)2(0.25)21/2
  0.5590

23
Rumus FT 2 dimensi

• Rumus FT 2 dimensi

24
Contoh FT 2 Dimensi Sumber http//www.icaen.uiow
a.edu/dip/LECTURE/LinTransforms.html
Untuk menampilkan nilai FT suatu citra, karena
keterbatasan display, seringkali digunakan nilai
D(u,v) c log 1 F(u,v)
25
(No Transcript)