Fisica 1 Elettrostatica

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Fisica 1Elettrostatica

• Preliminari matematici

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Programma della lezione

• Campi scalari e vettoriali
• Operatori differenziali sui campi
• Vettore area
• Operazioni integrali sui campi
• Teoremi integrali

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Campi

• Matematicamente sono funzioni reali (o complesse)
  che rappresentano grandezze fisiche
• Sono definiti nello spazio tridimensionale e nel
  tempo (o in opportuni sottoinsiemi)
• Se non dipendono dal tempo sono detti statici
• Se hanno ovunque (nellinsieme spaziale di
  definizione) lo stesso valore sono detti uniformi

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Campi

• Se basta una sola funzione a definirli
  completamente, il campo e detto scalare (campo
  della temperatura)
• Se occorre una funzione per ogni dimensione
  spaziale, il campo e detto vettoriale (campo
  della velocita di un fluido)

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Operazioni differenziali sui campi

• Sono operazioni di derivazione delle componenti
  del campo. Agiscono su campi e definiscono nuovi
  campi.
• Gradiente
• Divergenza
• Rotazione (o rotore)
• Laplaciano
• Siccome le componenti sono funzioni di piu
  variabili, avremo derivate parziali

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Gradiente di un campo

• In coordinate cartesiane
• Formalmente, loperatore gradiente si scrive
• Il gradiente di un campo scalare e un campo
  vettoriale
• Puo anche agire su una qualunque componente di
  un campo vettoriale

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Gradiente di un campo

• In coordinate cilindriche (r,f,z)
• In coordinate sferiche (r,q,f)

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Divergenza di un campo vettoriale

• In coordinate cartesiane
• Formalmente si puo considerare come il prodotto
  scalare tra loperatore gradiente e il campo
  vettoriale
• E un campo scalare

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Divergenza di un campo vettoriale

• In coordinate cilindriche
• In coordinate sferiche

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Rotazione di un campo vettoriale

• In coordinate cartesiane
• Formalmente si puo considerare come il prodotto
  vettoriale tra loperatore gradiente e il campo
  vettoriale
• Dalla presenza di versori, si evince che e un
  campo vettoriale

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Rotazione di un campo vettoriale

• In coordinate cilindriche
• In coordinate sferiche

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Laplaciano di un campo

• In coordinate cartesiane
• Il laplaciano di un campo scalare e un campo
  scalare
• E la divergenza del gradiente
• Formalmente
• Puo agire anche su una qualunque componente di
  un campo vettoriale

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Vettore area

• Due vettori nello spazio a e b, linearmente
  indipendenti, definiscono un piano
• Larea del parallelogramma che si puo costruire
  coi due vettori e
• Alla coppia a, b si puo associare un vettore
  perpendicolare al piano e di modulo pari ad A,
  cioe il loro prodotto esterno
• Quindi dati due vettori indipendenti larea del
  parallelogramma associato e dato dal loro
  prodotto vettoriale.

A
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Area dei parallelogrammi proiezione

• Proiettiamo i due vettori a e b sui tre piani
  coordinati di una terna cartesiana
• Per ciascun piano xixj otteniamo una coppia di
  vettori aij ,bij proiezioni della coppia a,b
  (ovvero un parallelogramma proiezione del
  parallelogramma associato alla coppia)
• Determiniamo la coppia proiettata, ad esempio,
  sul piano xy
• Determiniamo larea del parallelogramma
  associato
• Che altro non e se non la componente z del
  vettore area A.
• Quindi la proiezione di un elemento di area su un
  piano coordinato e la componente nella direzione
  normale al piano del vettore area associato
  allelemento.

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Operazioni integrali sui campi

• Circuitazione integrale lungo una linea (1-dim)
• Flusso integrale su una superficie (2-dim)
• Integrale nello spazio (di volume) 3-dim

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Teoremi integrali

• Esistono due teoremi che coinvolgono integrali
  multipli degli operatori differenziali
• Teorema della divergenza
• Teorema di Stokes

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Teorema della divergenza

• Lega il flusso di un campo vettorale
  allintegrale di volume della divergenza del
  campo stesso
• (Flusso di un campo vettoriale attraverso una
  superficie chiusa) (Integrale della divergenza
  del campo nello spazio interno alla superficie)

V
S
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Teorema di Stokes

• Lega la circuitazione di un campo vettoriale al
  flusso della rotazione del campo stesso
• (Circuitazione di un campo vettoriale lungo una
  linea chiusa) (Flusso della rotazione del campo
  attraverso una qualunque superficie che poggia su
  tale linea)

S
C