Analisi e gestione del rischio

1
Analisi e gestione del rischio

• Lezione 11
• Introduzione al rischio di credito
• Modelli Strutturali

2
Titoli defaultable

• I titoli defaultable (con rischio di default)
  sono strumenti di debito emessi da entità
  soggette a rischio di bancarotta, e lemittente
  può non essere in grado di fare fronte alle
  proprie obbligazioni prima della scadenza.
• Titoli defaultable esempi
• Titoli corporate emessi da aziende private
• Titoli con rischio sovereign emessi da paesi
• Titoli municipali emessi da autorità regionali

3
Rischio di default determinanti

• Il rischio di default implica la possibilità di
  perdere parte o tutto il capitale prestato alla
  controparte.
• Determinanti del rischio di default
• Probabilità di default
• Ammontare che è possibile recuperare nellevento
  di default (recovery rate, RR) o in alternativa
  la Loss Given Default (LGD) uguale a 1 RR.

4
Rischio di default misure

• Premio per il rischio di default
• Expected loss la diminuzione di valore di un
  titolo che è determinata dal rischio di default
• EL DP X Lgd
• Credit spread la differenza tra il rendimento a
  scadenza di un titolo con rischio di deafult e
  quello di un titolo privo di rischio con le
  stesse caratteristiche finanziarie
• Credit spread ln(1 EL)/maturity

5
Modelli del rischio di default

• Modelli strutturali
• Il rischio è determinato a partire da un modello
  della struttura finanziaria e industriale
  dellemittente dellobbligazione (la sua linea di
  business ed il suo stato patrimoniale)
• Il premio per il rischio è determinato a partire
  dalla teoria delle opzioni
• Modelli in forma ridotta (intensity based)
• Il rischio è modellato sulla base di ipotesi
  statistiche sulle probabilità di default ed il
  tasso di recupero
• Il premio per il rischio è determinato a partire
  dalla teoria della struttura a termine

6
Modelli strutturali Lapproccio di Merton

• Nel modello di Merton (1974), il paper che ha
  inaugurato il filone dei modelli strutturali, il
  valore dellattivo del debitore determina
  congiuntamente
• La probabilità di default
• Il recovery rate nellevento di default
• Il valore del debito e del capitale dellimpresa
• Il valore dei titoli corporate è determinato
  sulla base della teoria delle opzioni

7
Min(B,V(T)) B max(B V(T),0)
8
Min(B,V(T)) V(T) max(V(T)B,0)
9
Il modello di Merton

• Il debito è un titolo zero-coupon-bond, cioè
  interesse e capitale sono pagati in ununica
  soluzione alla maturità.
• Il rischio di default è descritto dal pay-off
• Valore del debito alla maturità min (B,V(T))
• e può essere scomposto alternativamente come
• min (B,V(T)) B - max(B - V(T), 0), cioè
• Debito Risk-free - put(V,t B,T)
• min (B,V(T)) V(T) - max(V(T) - B, 0), cioè
• Debito Valore dellattivo - call(V,t B,T)

10
Modigliani-Miller

• Dalla relazione di parità tra opzioni put e call
  abbiamo
• V B - put(V,t B,T) call(V,t B,T)
• V valore dellattivo (valore dellimpresa)
• Call(V,t B, T) Valore del capitale
• La caratteristica dellopzione del capitale
  deriva da
• i) leverage
• ii) limited liability
• Put (V,t B, T) Premio per il rischio di default

11
Un modello binomiale
12
Credit spread

• Dalla valutazione di derivati con alberi
  binomiali
• Debito P(t,T)B (1 Q )(B V(L))
• con Q (V(t)/P(t,T) - V(L))/(V(H) - V(L))
• e in termini di rendimento a scadenza
• Debito defaultable B exp(r(t,T)(T - t))
• Debito risk-free P(t,T) B exp(r(t,T)(T -
  t))
• otteniamo il credit spread
• r(t,T) r(t,T) ln1 (1 Q)(1
  V(L)/B/(T- t)

13
Determinanti dei credit spread

• Il credit spread è non-negativo
• r(t,T) - r(t,T) - ln1- (1 - Q )(1-
  V(L)/B/(T- t)
• Il credit spread tende a zero se
• La probabilità di default tende a zero
• La perdita va a zero (recovery rate uguale a 1)
• Il credit spread raggiunge il suo valore massimo
  quando il tasso di recupero va a zero
• r(t,T) - r(t,T) - ln Q /(T- t)

14
Un esempio finanziamento di un progetto
Valore attivo
Debito
Equity
Valore di mercato dellequity 30 Prezzo del
titolo risk-free 1 Valore nominale del debito
80
120
40
80
40
40
0
15
Soluzione

• Dal prezzo di mercato del capitale, cioè 30,
  possiamo calcolare la probabilità di
  sopravvivenza da 30 Q 40 (1 - Q) 0, cosicché
  Q 0.75 e la probabilità di default aggiustata
  per il rischio è 0.25
• Il debito è valutato come Q 80 (1 Q) 40 70
  
• Dal teorema di Modigliani-Miller calcoliamo il
  valore del progetto come V 70 30 100
• N.B. Il valore del sottostante, cioè il progetto,
  è determinato a partire dal valore del derivato,
  cioè il capitale dellazienda.

16
Modello di Merton

• Merton sviluppa nel tempo continuo le stesse idee
  che abbiamo mostrato in un modello discreto. Il
  valore dellazienda segue un processo geometrico
  browniano ed i valori di capitale e debito sono
  determinato utilizzando la formula di Black e
  Scholes. Le determinanti chiave dei credit spread
  sono
• 1) Il leverage quasi-debt-to-firm-value-ratio
• 2) La volatilità del valore dellattivo

17
Modello di Merton

• Valore dellimpresa processo geometrico
  browniano
• dV ?Vdt ?VVdw(t) (r??V)Vdt ?VVdw(t)
• Valore del capitale unopzione call

18
Modello di Merton

• Il valore del debito
• può essere scomposto come

19
Modello di Merton

• debito default-free meno una default put option
• e in termini moderni

20
Modello di Merton

• debito default-free per (1 Dp x Lgd)
• Dp Default probability
• Lgd Loss given default 1 RR
• Quasi-debt to firm value (quasi-leverage)
• d Bexp(r(T t))/V(t)

21
Copertura del rischio di credito

• Rischio di credito significa una posizione corta
  in unopzione put, ed unesposizione al rischio
  del progetto finanziato (delta 1 N(d1))
• Strategia 1 acquistare una default put/swap
• Si tratta di un derivato di credito che consente
  di acquistare protezione sullesposizione al
  rischio di credito
• Strategia 2 vendere azioni dellemittente
• Poiché le azioni sono opzioni call rappresentano
  unesposizione positiva al rischio del progetto
  (delta N(d1)) una posizione corta in titoli di
  capitale riduce lesposizione netta al rischio
  del progetto finanziato

22
Modello KMV

• Il modello KMV ricava le stime di V e ?V dai
  valori e dalla volatilità dei titoli azionari. Su
  questa base possiamo valutare la probabilità di
  default al tempo T
• Notiamo che è usato il drift oggettivo ?, per
  ricavare la stima della probabilità oggettiva
• Nel modello KMV la distribuzione empirica dei
  casi di default è utilizzata infine per tener
  conto della non-normalità della distribuzione

23
Il modello di Merton e i datila maturità a 10
anni (USA)
24
Covenants (Black e Cox, 1976)

• Una delle limitazioni del modello di Merton
  consiste nel fatto che il default avviene a
  scadenza. Nella realtà lepisodio di default può
  avvenire prima della scadenza, quando il valore
  dellazienda raggiunge un livello inferiore
  minimo.
• Black Cox (1976) estendono il modello di Merton
  per tener conto del fatto che il valore del
  debito può essere monitorato prima della scadenza
  attraverso losservazione di safety covenants se
  il valore dellazienda scende al di sotto di un
  certo livello, i creditori possono forzare la
  restituzione del debito.
• E evidente che in questo caso il valore del
  capitale è unopzione call con barriera
  (down-and-out call).

25
(No Transcript)