Analisi e Gestione del Rischio

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Analisi e Gestione del Rischio

• Lezione 7
• Prodotti non-lineari e simulazioni Monte Carlo

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Non linearità nel portafoglio

• Prendete un titolo obbligazionario a tasso
  variabile con un cap o un floor?
• Qual è la differenza in termini di flussi?
• Un titolo con cap include una posizione corta in
  una serie di opzioni call
• Un titolo con floor include una posizione lunga
  in una serie di opzioni put.
• Di che segno è la sentitività a un aumento dei
  tassi forward?e a cambi della volatilità?

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Esempio

• Struttura a termine bootstrappata dai tassi
  swap del 17 marzo 2006.

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Cedole attese con cap e floor (4)
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Rischio Gamma
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Rischio Vega
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Modelli Delta-Gamma

• Un approccio per la valutazione del rischio di
  posizioni non lineari è dato dalla
  rappresentazione della loro sensitività con
  unespansione di Taylor, in termini di delta e
  gamma (il gamma è necessario perché rappresenta
  la non linearità della posizione.
• Il problema di questo tipo di rappresentazione è
  che mentre la parte delta conserva lipotesi
  sulla distribuzione del sottostante (ad es. la
  normalità), il termine gamma corrisponde a un
  fattore di rischio al quadrato, che ha una
  distribuzione più complessa (ad es. chi-quadro).
• La distribuzione corrispondente allespansione di
  Taylor deve quindi essere approssimata con metodi
  statistici, come ad es. il metodo dei momenti

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Approssimazione Delta-Gamma

• Assumiamo di avere un derivato sensibile a un
  solo fattore di rischio che identificheremo col
  prezzo del sottostante S.
• Utilizzando uno sviluppo in serie di Taylor
  arrestato al secondo ordine possiamo esprimere la
  variazione di prezzo dellopzione in funzione
  della variazione di prezzo del sottostante come

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Approssimazione Delta-Gamma

• Alcuni metodi che permettono di affrontare il
  problema del calcolo del percentile in maniera
  sufficientemente generale sono offerti dalla
  statistica
• Questi metodi si basano sul calcolo dei momenti
  della distribuzione da stimare al fine di
  approssimarla con una distribuzione di forma nota
  di cui sia possibile calcolare in maniera
  semplice il percentile per ogni livello di
  confidenza desiderato.
• Metodi
• Famiglia di Johnson
• Espansione di Cornish-Fisher

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Il metodo Monte Carlo

• Il metodo Monte Carlo (MC nel seguito) è una
  tecnica basata sulla simulazione di un numero
  elevato di possibili scenari rappresentativi
  dellevoluzione futura delle variabili di rischio
  da cui dipende il valore di una generica attività
  finanziaria
• Infatti tale tecnica si basa sullidea di
  approssimare il valore atteso di una determinata
  funzione finanziaria calcolando la media
  aritmetica dei diversi risultati ottenuti dalle
  simulazioni effettuate sul possibile andamento
  futuro delle variabili da cui essa dipende.

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Il metodo Monte Carlo in finanza

• In finanza il metodo Monte Carlo è utilizzato per
  la determinazione del valore delle opzioni, o la
  perdita ad un certo livello di probabilità
• Il punto di partenza consiste nella definizione
  del processo dinamico seguito dal sottostante.
• Nel caso dei derivati su indici azionari o su
  azioni è comune assumere che il sottostante segua
  un processo di tipo geometrico browniano.

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Generazione di dati casuali

• Diversi metodi possono essere utilizzati per
  lestrazione di dati da una distribuzione H(.).
• Dato il valore x, la trasformata integrale H(x),
  definita come la probabilità di estrarre un
  valore minore o uguale a x ha distribuzione
  uniforme nellintervallo tra zero e uno.
• Allora è naturale utilizzare lalgoritmo
• Estrarre una variabile u da una distribuzione
  uniforme in 0,1
• Calcolare dallinversa di H(.) x H 1(u)
• La variabile x è estratta dalla distribuzione
  H(.)

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Monte Carlo utilizzo

• Calcolo del prezzo di strumenti derivati.
• Indicando con fT il valore dellopzione stessa
  alla scadenza T, il valore ad oggi, f, sarà dato
  da
• Lidea guida del metodo MC consiste nello
  stimare tale valore attraverso la simulazione dei
  possibili valori assunti nel corso del tempo
  dalle variabili sottostanti, di cui il prezzo del
  derivato è funzione
• Tramite il calcolo di un insieme sufficientemente
  ampio di possibili valori finali possiamo poi
  stimare il nostro integrale come media aritmetica
  di tali valori.

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Monte Carlo utilizzo

• Valutazione del VaR di un portafoglio di derivati
  non lineari.
• Vengono determinati scenari di valori del
  sottostante alla data di smobilizzo. Per ognuno
  di questi scenari viene rivalutato il portafoglio
  di prodotti derivati, e leventuale perdita
  rispetto al valore attuale
• Viene calcolato il percentile empirico della
  distribuzione di profitti e perdite del
  portafoglio.

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Un processo per i prezzi azionari
Processi per il Sottostante
Generazione Scenari

• Distribuzione probabilistica dei premi
• Calcolo della media e dellerrore

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Il metodo Monte Carlo

• lerrore quadratico medio dello stimatore, che
  può essere interpretato come lerrore quadratico
  medio della simulazione Monte Carlo, decresce
  allaumentare di n come
• Questo risultato risulta del tutto indipendente
  dalla dimensione del problema.
• E proprio questultima caratteristica che rende
  attraente il metodo Monte Carlo per la
  risoluzione di problemi con un numero elevato di
  dimensioni. In questo caso tipicamente il metodo
  Monte Carlo risulta convergere verso il valore
  finale più velocemente dei metodi numerici
  tradizionali in cui il numero di iterazioni per
  raggiungere unapprossimazione prefissata cresce
  con laumentare del numero di dimensioni.

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Un processo per i prezzi azionari
Nota In queste formule z rappresenta una
variabile aleatoria estratta da una distribuzione
normale standard N(0,1).
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Obbligazioni con Opzioni Call

• ABN Amro

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Obbligazioni con opzioni call

• Composizione del prodotto.
• Rimborso a scadenza garantito
• Cedole fisse determinate su uno scadenzario
• Cedole variabili determinate alla fine
• Facoltà di estinzione anticipata del titolo da
  parte dellemittente
• Evento di estinzione del titolo

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Cedola variabile

• La cedola variabile è determinata come
• VNMax(Y,PPerformance)
• dove VN è il valore nominale, P è il tasso di
  partecipazione, la performance è la variazione di
  prezzo di un sottostante in un periodo di tempo
  assegnato, e Y è il valore minimo della cedola
  (floor)
• Unaltra possibilità è
• VNMinX,Max(Y,PPerformance)
• dove X è il valore massimo della cedola (cap) e
  Y è il valore minimo (floor).
• La rilevazione della performance può essere fatta
  sia con modalità europea (ad una data
  prestabilita) o con modalità asiatica (media di
  rilevazioni)

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Cedola variabile (senza cap)

• Analizziamo il caso in cui non sia presente il
  cap.
• Il pay-off della cedola variabile può essere
  scomposta come
• Cedola Variabile
• Y Max(PPerformance Y, 0)
• Y PMax(Performance Y/P, 0)
• NB. Y rappresenta il rendimento garantito a
  scadenza. Se la performance è minore di Y/P la
  cedola paga Y.

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Lintroduzione di un cap

• Assumiamo di introdurre un limite massimo al
  pagamento di interessi. Definiamo X tale limite.
• Introduciamo nella cedola prima descritta una
  posizione corta in P opzioni con strike pari a
  X/P. Il valore della cedola sarà allora.
• Cedola Variabile
• Y PMax(Performance Y/P, 0)
• PMax(Performance X/P, 0)
• E agevole verificare che se la performance è
  maggiore di X/P il valore della cedola è X.

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Il portafoglio di replica

• Piano di rimborso lungo uno zero coupon pari al
  valore nominale e scadenza pari alla maturità del
  titolo.
• Cedole fisse lungo una sequenza di zero coupon
  bond che pagano le cedole fisse determinate nel
  contratto più leventuale cedola garantita alla
  maturità.
• Cedola variabile lungo un numero P di opzioni
  call con strike pari a Y/P .
• Cap corto un numero P di opzioni call con
  strike pari a X/P

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Analisi di sensitività

• Il prodotto è lungo nel sottostante. Questo è
  evidente nel caso in cui non sia presente il cap.
  La sensitività aumenti del sottostante è misurata
  dal delta e dal gamma delle opzioni. In presenza
  di un cap, la sensitività ad aumenti del
  sottostante si riduce, ma resta positiva (perché
  il delta di una call diminuisce allaumentare
  dello strike)
• In assenza di cap, il prodotto è senzaltro lungo
  di volatilità. La sensitività a cambi di
  volatilità è attenuata, e il segno può essere
  invertito (es. un livello del sottostante molto
  vicino al cap).

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Gerarchia dei fattori di rischio

• Lopzione sul sottostante rappresenta senza
  dubbio il fattore di rischio più rilevante. Da un
  lato infatti è lelemento caratterizzante del
  prodotto, dallaltro la volatilità del
  sottostante è probabilmente maggiore della
  volatilità della curva dei tassi (almeno per
  normali livelli di duration).
• Il valore del titolo risentirà comunque anche di
  aumenti della struttura a termine dei tassi di
  interesse e di aumenti dello spread di credito
  pagato da ABN Ambro.

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Considerazioni sulla comunicazione dei rischi

• Questo titolo consente di osservare come larte
  della comunicazione dei rischi sia diversa
  dallanalisi del rischio.
• In primo luogo, la sensitività alla volatilità
  rappresenterebbe un aspetto assolutamente
  rilevante per un trader. Tale aspetto non viene
  tipicamente comunicato allinvestitore al
  dettaglio.
• In secondo luogo, la scelta dellopzione asiatica
  creerebbe problemi di copertura a un trader,
  mentre riduce il rischio del prodotto per
  linvestitore al dettaglio.