Analisi e gestione del rischio

1
Analisi e gestione del rischio

• Lezione 14
• Basket Credit Derivatives
• Funzioni di Copula

2
Rischio di portafogli di crediti

• Il mercato dei prodotti strutturati degli anni
  recenti si è particolarmente sviluppato in
  prodotti che forniscono lesposizione a un
  portafoglio di credito.
• I derivati su basket di crediti hanno svolto lo
  stesso ruolo dei derivati creditizi a livello
  univariato. Possono essere utilizzati
• Per trasferire il rischio di credito
• Per costruire sinteticamente esposizioni a
  portafogli di nomi

3
Portafogli di CDS

• Assumiamo di avere un portafoglio di un numero
  limitato anche se non trascurabile di CDS
  (assumiamo 50-100 nomi, ad esempio)
• Vogliamo definire la probabilità di perdita su
  tutto il portafoglio. Definiamo Q(k) la
  probabilità di osservare k default entro la
  scadenza del CDS e assumiamo, per semplicità che
  la LGD sia data e la stessa per tutti gli n nomi.

4
Derivati first-to-default

• Consideriamo un derivato di credito che paga
  protezione, la prima volta che un elemento del
  paniere di nomi di riferimento è in default. La
  protezione si estende fino al tempo T.
• Valore del derivato è
• FTD LGD v(t,T)(1 Q(0))
• Q(0) è la probabilità di sopravvivenza di tutti i
  nomi nel basket. Possiamo anche scrivere
• Q(0) ?Q(?1 gt T, ?2 gt T)

5
Derivati first-x-to-default

• Consideriamo invece un derivato di credito che
  paga protezione, sui primi x default dei nomi
  di riferimento del paniere precedente.
• Il valore del derivato sarà ovviamente

6
La specificazione di Q(x)

• Valutare i derivati di credito su basket richiede
  quindi la specificazione della distribuzione
  congiunta di default Q(x)
• Tale distribuzione dipende da due elementi
• La probabilità di default (e la LGD, se
  considerata stocastica), di ciascun nome nel
  basket
• La struttura di correlazione (dipendenza) tra
  default (e LGD) dei nomi nel basket.

7
Modelli di Q(x)

• Le ipotesi che possono essere fatte sulla perdita
  attesa di ciascun nome sono
• Pool omogeneo di nomi (stessa probabilità di
  default e stessa LGD)
• Pool eterogeneo di nomi (diversa probabilità di
  default e diversa LGD)
• Le ipotesi sulla struttura di dipendenza sono
• Default indipendenti
• Modelli in forma ridotta multivariati (Marshall
  Olkin)
• Funzioni di copula
• Factor copula (default condizionalmente
  indipendenti)

8
Default indipendenti

• Nellipotesi che i default siano indipendenti le
  scelte più ovvie per la distribuzione congiunta
  sono
• La distribuzione binomiale
• La distribuzione di Poisson

9
Intensità di portafoglio

• Il modello di Poisson è particolarmente utile
  perché consente limmediata estensione dei
  modelli in forma ridotta a portafogli di crediti.
• Lassunzione di indipendenza implica che
• Q(0) Q(?1 gt T, ?2 gt T) Q(?1 gt T) Q(?2 gt T)
• e nei modelli intensity based
• Q(?1 gt T) Q( ?2 gt T) exp (?1 ?2 )(T
  t)
• Otteniamo quindi unintensità di default di
  portafoglio che è la somma delle intensità di
  default individuali dei singoli nomi
• ? ?1 ?2

10
Valutazione di un first-to-default

• Ricordiamo che il valore di un first-to-default
  swap è ricavato da
• FTD LGD v(t,T)(1 Q(0))
• Nel caso di default indipendenti abbiamo quindi
• LGDv(t,T)(1 exp ?(T t))
• LGDv(t,T)(1 exp (?1 ?2 )(T t))
• Il problema è trovare unestensione di questo
  modello al caso in cui ci sia dipendenza tra gli
  eventi di default.

11
Distribuzione di Marshall Olkin

• La distribuzione di Marshall Olkin è la naturale
  estensione del processo di Poisson al caso
  multivariato.
• Assumiamo il caso di due nomi. Secondo la
  distribuzione di Marshall Olkin abbiamo
• Q(?1 gt T, ?2 gt T) exp (?1 ?2 ?12)(T t)
• La correlazione tra i tempi di sopravvivenza è
• ?12 ?12 /(?1 ?2 ?12)

12
Intensità di portafoglio

• Lidea della distribuzione di Marshall Olkin è
  che shock diversi causano il default di
  sotto-insiemi dei nomi.
• Il problema è che può esistere un numero
  arbitrariamente alto di shock, e questo rende la
  calibrazione del modello proibitiva
• In genere viene proposta la specificazione

13
Valutazione di un first-to-default

• Ricordiamo che il valore di un first-to-default
  swap è ricavato da
• FTD LGD v(t,T)(1 Q(0))
• Nel caso di default indipendenti abbiamo quindi
• LGDv(t,T)(1 exp ?(T t))
• LGDv(t,T)(1 exp (?1 ?2 ?n ?12n)(T
  t))
• Si noti che laumento della correlazione tra i
  tempi di default riduce il valore del contratto
  first-to-default.

14
Funzioni di copula

• Alla base delle funzioni di copula cè il
  principio delle trasformazione con integrale di
  probabilità.
• Se per una variabile Xi con distribuzione di
  probabilità Hi calcoliamo la trasformata
  integrale ui Hi(Xi), ui ha distribuzione
  uniforme in 0,1.
• Dalla distribuzione congiunta H(X1, X2,, Xn ),
• H(X1, X2,, Xn )
• H(H1-1 (u1), H2-1 (u2),, Hn-1 (un) )C(u1,
  u2,,un)
• La funzione C(u1, u2,,un) è detta funzione di
  copula. Che proprietà deve avere?

15
Funzioni di copula

• Prendiamo per esempio il caso bivariato.
• Una funzione z C(u,v) è detta copula se e solo
  se
• z, u e v sono in 0,1
• C(0,v) C(u,0) 0, C(1,v) v, C(u,1) u
• C(u2, v2 ) C(u1, v2 ) C (u2, v1) C (u1, v1)
  ? 0 per tutti i valori u2 gt u1 e v2 gt v1
• Teorema di Sklar ogni distribuzione congiunta
  può essere scritta come una funzione di copula
  che abbia le distribuzioni marginali come
  argomenti e qualsiasi funzione di copula che
  abbia distribuzioni come argomenti è una
  distribuzione congiunta

16
Funzioni di copula esempi

• Due rischi A e B con probabilità congiunta H(A,B)
  e probabilità marginali Ha(A) e Hb(B)
• H(A,B) C(Ha , Hb), e C è una funzione di
  copula.
• Casi
• 1) Cind(Ha , Hb) HaHb, rischi indipendenti
• 2) Cmax(Ha , Hb) min(Ha,Hb) dipendenza perfetta
  positiva
• 3) Cmin(Ha , Hb) max(Ha Hb 1,0) dipendenza
  perfetta negativa
• Dipendenza imperfetta (limiti di Fréchet)
• max(Ha Hb 1,0) ? C(Ha , Hb) ? min(Ha,Hb)

17
Correlazione

• Uno dei problemi della non-normalità dei
  rendimenti a livello multivariato è che la
  correlazione lineare non è affidabile
• Può verificarsi che la correlazione lineare
  risulti inferiore a 1 (superiore a 1) anche se
  due variabili sono perfettamente dipendenti.
• Questo si verifica quando
• Le distribuzioni marginali non sono ellittiche
• Le relazioni tra le due variabili non sono
  lineari
• Esempio x N(0,1), y x2 ?1 è semplice
  mostrare che la covarianza è zero, anche se
  ovviamente x e y sono perfettamente correlati.

18
Funzioni di copula e struttura di dipendenza

• Le funzioni di copula sono legate alle
  statistiche non-parametriche di dipendenza, come
  il ? di Kendall o il ?S di Spearmans
• Si noti, che, a differenza degli stimatori non
  parametrici, lindice di correlazione lineare ?
  dipende dalle distribuzioni marginali e può non
  coprire lintero range tra 1 e 1, e rende
  problematica la determinazione del grado relativo
  di dipendenza.

19
Esempi di funzioni di copula Copule ellittiche

• Distribuzioni multivariate ellittiche, come la
  normale o la t di Student, possono essere
  utilizzati come funzioni di copula.
• Copule normali sono ottenute da
• C(u1, u2,, uN) N(N 1 (u1 ), N 1 (u2 ), ,
  N 1 (uN ) ?)
• e gli eventi estremi sono indipendenti.
• Per funzioni di copula Student t con v gradi di
  libertà
• C(u1, u2,, uN) T(T 1 (u1 ), T 1 (u2 ), ,
  T 1 (uN ) ?, v)
• eventi estremi sono dipendenti, e lindice di
  tail dependence è una funzione di ? e v.

20
Esempi di funzioni di copula Copule archimedee

• Copule archimedee sono costruite a partire da una
  funzione generatrice ? da cui calcoliamo
• C(u,v) ? 1 ?(u)?(v)
• Un esempio è la copula di Clayton. Ponendo
• ?(t) t a 1/a
• otteniamo
• C(u,v) maxu av a 1,0 1/a