Tema 1 Concepto de Probabilidad

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Tema 1Concepto de Probabilidad
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• 1. Introducción
• 2. Definiciones previas
• 2.1. Experimento aleatorio y sucesos
• 2.2. Algunas definiciones sobre sucesos
• 3. Concepto de probabilidad3.1. Concepto de
  probablidad clasico o A priori
• 3.2. Enfoque frecuentista o A posteriori
• 3.3. Perspectiva subjetiva
• 4. Axiomas y teoremas básicos de la probabilidad

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• Bibliografía básica
• Amón, J. (1991). Estadística para psicólogos. Vol
  II. Madrid Pirámide
• Botella, J., León, O., San Martín, R. y
  Barriopedro, M.I. (2001). Análisis de Datos en
  Psicología I. Teoría y Ejercicios. Madrid
  Pirámide.
• Bibliografía complementaria
• Borel, E. (1971). Las probabilidades y la vida.
  Barcelona Oikos.
• Gonick, L. y Smith, W. (1999). Estadística en
  cómic. Barcelona Zambrera y Zariquiey.
• Merino, J.M., Moreno, E., Padilla,
  M.,Rodríguez-Miñón, P., Villarino, A. (2001).
  Análisis de Datos en Psicología I. Madrid UNED.

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OBJETIVO

• El objetivo de este capítulo es presentar el
  concepto de probabilidad, y entrenar en el manejo
  del cálculo de probabilidades elementales y sus
  combinaciones.
• Para ello, se introducen las diferentes
  concepciones de la probabilidad, así como las
  operaciones más elementales que se pueden
  realizar con las probabilidades calculadas

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INTRODUCCIÓN

• El objetivo fundamental de la Estadística es
  utilizar los datos obtenidos en la muestra para
  inferir o para obtener conclusiones sobre las
  características de la variable en una población
  de referencia a la que, por diversos motivos, no
  podemos acceder de forma completa. Normalmente
  disponemos de información parcial sobre la misma,
  que obtenemos eligiendo al azar algunos de sus
  elementos
• Por ejemplo intención de voto

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• Breve historia
• 1654 comienza la correspondencia entre Pascal y
  Fermat a instancias del caballero de Mère, sobre
  las apuestas en los juegos de azar y el reparto
  de las ganancias cuando un juego es interrumpido
  antes del final y un jugador está en ventaja
• 1657. El holandes Huygens publica el primer
  tratado de Probabilidad De ratiotiniis in
  laudae ludo
• 1711. Publicación póstuma del tratado de
  Bernouilli Ars conjenctandi, en la que se trata
  la conducta límite de la probabilidad en un
  experimento aleatorio. No encontramos ante el
  surgimiento de una nueva ciencia
• 1812. Laplace publicó Theorie analytique des
  probabilités (incluye sus contribuciones previas
  y aplicaciones de la teoría de la probabilidad,
  especialmente a la teoría de los errores de
  observación)
• Gauss-Laplace modelo Gaussiano de los errores de
  las observaciones
• Finales del s. XIX quedó establecido que la
  Teoría de la probabilidad podía aplicarse a los
  datos de las ciencias Físicas
• 1933. Kolmogorov siguiendo la aproximación de Von
  Mises estableció la axiomática de la probabilidad
  en Fundamentos de la Teoría de la probabilidad,
  con la noción de experimento aleatorio como un
  aspecto central

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2. DEFINICIONES PREVIAS2.1. Experimento
aleatorio y sucesos

• La moderna teoría de la probabilidad comienza con
  la noción de experimento simple aleatorio
• Ejemplos la tirada de una moneda, las apuestas,
  las loterías, el grupo sanguíneo del descendiente
  de una pareja, responder a la pregunta de un test
  de elección múltiple sin tener ni idea, etc.
• Nuestro objetivo en este apartado es obtener una
  noción científica del azar a partir del concepto
  de experimento aleatorio

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• Un experimento aleatorio es cualquier operación
  cuyo resultado no pueda ser pronosticado con
  certeza.
• La colección o conjunto de resultados posibles de
  un experimento aleatorio se denomina Espacio
  muestral (E).
• Existen tres tipos de espacios muestrales
• - Espacio muestral discreto finito, es aquel que
  tiene un número finito de elementos.
• Ejemplo experimento lanzamiento de una moneda
  al aire, tiene como espacio muestral asociado
  EC,X
• - Espacio muestral discreto infinito, es aquel
  que está constituido por una cantidad infinita
  numerable de sucesos.
• Ejemplo experimento lanzamiento de una moneda
  al aire hasta que sale cara EC,XC,XXC,XXXC,.
• - Espacio muestral continuo, es aquel
  constituido por una cantidad infinita no
  numerable de sucesos.
• Ejemplo Lanzamiento de un dardo a una diana.

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• Ejemplos de experimentos aleatorios
• 1. Lanzar una moneda al aire EC,X
• 2. Lanzar una moneda al aire dos veces
  consecutivas ECC,CX,XC,XX
• 3. Lanzar dos monedas simultáneamente CC,CX,XX
• 4. Lanzar un dado E1, 2, 3, 4, 5, 6
• 5. Lanzar dos veces el dado E
  (1,1),(1,2),(1,3), (1,4), (1,5),
  (1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (2,5), (2,6),
  (3,1), (3,2),(3,3),(3,4), (3,5), (3,6), (4,1),
  (4,2),(4,3),(4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2),
  (5,3),(5,4), (5,5), (5,6), (6,1),
  (6,2),(6,3),(6,4), (6,5), (6,6)
• 6. Introducción de tres ratas en un laberinto en
  T
• E III, IID, IDI, DII, DDI, DID, IDD, DDD

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• Una forma sistemática de construir el espacio es
  por medio de diagramas de árbol
• Representa el espacio muestral del experimento
  Tirar tres veces consecutivas una moneda,
  formado por 8 sucesos elementales

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• Sucesos
• A los resultados posibles, elementos del espacio
  muestral los denominamos sucesos elementales.
• A veces el interés no está en estos sucesos
  elementales o miembros individuales de E, sino en
  una combinación de dichos sucesos elementales que
  se denominan sucesos compuestos.

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• 1. En el experimento de lanzar dos veces una
  moneda ECC,CX,XC,XX podemos definir varios
  sucesos,
• Suceso A sale cara al menos una vez, definido
  por ACC,CX,XC
• Suceso B no salen cruces, definido por B CC
• 2. Cuando se lanza tres veces una moneda, el
  espacio muestral formado por ocho elementos o
  resultados ECCC,CCX,CXC,CXX,XCC,XCX,XXC,XXX
• podemos definir diversos sucesos
• Suceso Asalen al menos dos caras
  ACCC,CCX,CXC,XCC.
• Suceso B lo definimos como sale al menos una
  cruz, es
• B CCX,CXC,CXX,XCC,XCX,XXC,XXX
• 3. Si consideramos el experimento aleatorio
  Lanzar dos veces un dado de seis caras, también
  podemos definir sobre él diversos sucesos,
• Suceso A en el segundo lanzamiento sale un
  número par. Este suceso contiene 18 elementos o
  resultados y es A(1,2), (2,2),.....,(6,2),(1,4),
  ...., (6,4),(1,6),...,(6,6)
• Suceso B, la suma de los resultados es al menos
  9 B(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6
  ,4),(6,5),(6,6), formado por 10 elementos.

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2.2. Algunas definiciones sobre sucesos

• Suceso seguro
• Es aquel que se verifica siempre. Por ejemplo,
  sacar en el lanzamiento de un dado un número
  menor que 7. Coincide con el total del Espacio
  muestral y lo notamos de igual forma E.
• b. Suceso posible
• Por ejemplo en el lanzamiento de un dado sacar un
  5 o un número par.
• c. Suceso imposible
• Es aquel que no se verifica nunca. Por ejemplo
  sacar 7 en el lanzamiento de un dado de 6 caras.
  Coincide con el conjunto vacío y lo notamos ?.
• d. Sucesos elementales
• Son los sucesos más simples y elementos del
  espacio muestral.
• e. Sucesos compuestos
• Son los que resultan de combinar dos o más
  sucesos elementales. Por ejemplo, sacar un número
  par en el lanzamiento de un dado.

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• Según lo anterior, un espacio muestral (E) es un
  conjunto constituido por elementos que se han
  denominado sucesos elementales dichos sucesos
  elementales se pueden combinar para constituir
  los sucesos compuestos. Es decir, si trabajamos
  con todos los sucesos, en realidad estamos
  trabajando con el conjunto que se denomina partes
  de E. En el caso del experimento que consiste en
  lanzar un dado al aire, dicho conjunto tiene la
  forma siguiente
• ?(E)?,1,6,1,2,1,2,3,1,2,3,4,5,E
• Para representar los sucesos se utilizan los
  diagramas de Venn.

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2.3. Operaciones con sucesos

• a. Unión de A y B
• Si A y B son dos sucesos cualesquiera, la unión
  de A y B, A?B se define como el suceso que
  contiene todos los resultados que pertenecen sólo
  a A, sólo a B o a ambos
• Propiedades
• 1. A?BB?A
• 2. A?AA
• 3. A??A
• 4. A?EE
• 5. Si A?B entonces A?B B

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• b. Intersección de A y B
• Si A y B son dos sucesos cualesquiera, la
  intersección de ambos, A?B, se define como el
  suceso que contiene todos los resultados comunes
  a ambos sucesos
• Propiedades
• 1. A?B B?A
• 2. A?A A
• 3. A?? ?
• 4. A?E A
• 5. Si A?B entonces, A?B A

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• c. Complementario de A (A)
• Se define el suceso complementario o contrario de
  un suceso dado A, como aquel suceso que contiene
  todos los resultados del espacio muestral que no
  pertenecen a A
• Propiedades
• d. Diferencia de sucesos (A-B) Subconjunto de E
  integrado por los elementos de A que no están en
  B.

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• Sucesos mutuamente excluyentes, disjuntos o
  incompatibles
• Dos sucesos A y B definidos sobre el mismo
  espacio muestral, se dice que son mutuamente
  excluyentes o incompatibles si no se pueden
  verificar simultáneamente. Los sucesos
  incompatibles no tienen elementos comunes, es
  decir, si A ? B ??.

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• Ejemplo 1
• Consideremos el experimento aleatorio de lanzar
  una moneda 3 veces y los sucesos
• A salen al menos dos caras
• B aparece alguna cruz
• El suceso A y B es salen al menos dos caras y
  aparece alguna cruz, está formado por los
  resultados
• (A?B)CCX,CXC,XCC
• El suceso A o B (A ?B) E salen al menos
  dos caras o aparece alguna cruz, coincide con
  todo el espacio muestral.
• El suceso No ocurre A (A) o suceso salen
  menos de dos caras complementario de A es
• A CXX,XCX,XXC,XXX
• Definimos ahora el suceso C salen tres cruces,
  los sucesos A y C son incompatibles o mutuamente
  excluyentes, por lo que A ?C??.

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• Ejemplo 2
• Sea el experimento aleatorio Lanzar dos veces un
  dado y definimos sobre él los sucesos
• A en el segundo lanzamiento sale par
• B la suma es al menos 9
• El suceso A ? B (4,6),(5,4),(5,6),(6,4),(6,6)
  
• Sea C el suceso el segundo lanzamiento es
  impar, los sucesos A y C son incompatibles
  porque no tienen ningún elemento común, es decir
  (A ? C) ??.

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3. CONCEPTO DE PROBABILIDAD3.1. Concepto de
probabilidad clásico o a priori

• Regla de Laplace
• A comienzos del S.XIX Pierre Simon Laplace
  publicó la obra Ensayo filosófico sobre las
  probabilidades, en la que definía así la
  probabilidad La teoría del azar consiste en
  reducir todos los acontecimientos del mismo
  género a un cierto número de casos igualmente
  posibles, es decir, tales que estemos igualmente
  inseguros sobre su existencia, y en determinar el
  número de casos favorables al acontecimiento cuya
  probabilidad se busca. La relación de este número
  con el de todos los casos posibles es la medida
  de esa probabilidad, que no es así más que una
  fracción cuyo numerador es el número de casos
  favorables y cuyo denominador es el número de
  casos posibles.

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• Sea E1, 2, 3, 4, 5, 6 y el suceso A2, 4, 5
• P(A) 3/60.5
• El concepto de probabilidad dado por P. S. de
  Laplace
• Parte de que todos los elementos del espacio
  muestral tienen las mismas opciones de ser
  verificados al realizar el experimento aleatorio.
  Los espacios se denominan equiprobables.
• Es aplicable sólo a espacios muestrales finitos.
  

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3.2. Enfoque frecuentista o a posteriori

• Defiende que la probabilidad es una frecuencia.
• La frecuencia absoluta es el número de veces que
  ocurre un suceso y la frecuencia relativa es la
  proporción de veces que aparece un suceso. Se
  calcula dividiendo la frecuencia absoluta por el
  total de veces que se repite el experimento.
• Desde el punto de vista frecuentista, la
  probabilidad se puede definir del modo siguiente
• La probabilidad de un suceso es el valor al que
  tiende la frecuencia relativa del mismo, cuando
  el número de veces que se ha repetido el
  experimento es suficientemente grande.

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NºLanzamiento Resultado Nº caras (ni) Frec.relativa
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Ca Ca X Ca X X Ca X X Ca Ca X Ca X X X Ca X Ca Ca 1 2 2 3 3 3 4 4 4 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 10 1/11 2/21 2/3 3/ 4 3/5 3/6 4/7 4/8 4/9 5/10 6/11 6/12 7/13 7/14 7/15 7/16 8/17 8/18 9/19 10/20

• Según la regla de Laplace, se sabe que la
  probabilidad de salir cara en el lanzamiento de
  una moneda es de un caso favorable dividido por
  dos casos posibles, es decir, 1/2. Suponga que se
  realiza prácticamente la experiencia de ir
  lanzando la moneda al aire, se anota si ha salido
  cara o cruz y se calcula la frecuencia relativa
  en cada caso. Los resultados obtenidos podrían
  ser los siguientes

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• si se representan gráficamente los datos del
  ejemplo
• se observa que según aumenta el número de casos,
  la línea que une las frecuencias se ajusta más a
  la horizontal trazada en la ordenada 1/ 2, valor
  teórico de la probabilidad definida por Laplace,
  con el que la frecuencia tiende a igualarse
  cuando el número de repeticiones de la
  experiencia es muy elevado. A este fenómeno de
  estabilización de las frecuencias se le conoce
  como Ley del azar o ley de regularidad
  estadística.

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• CUESTIONES DE INTERÉS
• Aplicar las concepciones de la probabilidad
  introducidas anteriormente no siempre es fácil,
  sobre todo si salimos del contexto de los juegos
  de azar.
• Supóngase por ejemplo, que estamos interesados en
  la incidencia que tiene determinada enfermedad en
  la población española. Contabilizar el número de
  casos totales en la población puede ser
  dificultoso, pero lo es mucho más contabilizar el
  número de sujetos con rasgos esquizoides si es
  ese, por ejemplo, el suceso que nos interesa.
• Supongamos así mismo que existen investigaciones
  previas en el tema que nos llevan a pensar que el
  número de casos con las circunstancias que nos
  interesan es una determinado y nuestra creencia,
  por tanto, es que la incidencia real del
  trastorno toma aproximadamente ese valor.
• En este caso no podemos utilizar el concepto de
  probabilidad como se ha introducido
  anteriormente, hay que introducirlo desde una
  óptica diferente a las anteriores, desde la
  perspectiva subjetivista o bayesiana.

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3.3. Perspectiva subjetivista o bayesiana

• La probabilidad de un suceso es el grado de
  creencia que se tiene en su ocurrencia. Dichas
  creencias se basan en la información que cada
  persona tiene del suceso y pueden ser revisadas
  cuando se recoge nueva información al respecto de
  la temática de interés

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4. AXIOMAS Y TEOREMAS BASICOS DE LA PROBABILIDAD

• Sea cual sea la concepción de la probabilidad que
  se utilice, la probabilidad de un suceso es un
  número que ha de cumplir una serie de condiciones
  como las que se introducen seguidamente.

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4.AXIOMAS Y TEOREMAS BÁSICOS DE LA PROBABILIDAD 4.1 Axiomática de la probabilidad
Dado un experimento aleatorio, su espacio muestral asociado, así como el conjunto ?(E), la probabilidad de un suceso A, que notamos P(A) es un número que cumple los siguientes axiomas Axioma 1. Para cualquier suceso A??(E), P(A)?0 Axioma 2. P(E)1 Axioma 3. Dados Ai (i1,...,n) dos o más sucesos disjuntos o incompatibles, P (?iAi)?iP(Ai) Axioma 4. El axioma tres sigue siendo cierto para cantidades infinitas numerables de sucesos.
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4.2. Propiedades de la probabilidad
La probabilidad de un suceso cualquiera A, es un número menor que 1, luego 0p(A)1. La probabilidad del suceso complementario de un suceso dado, es igual a P(A)1-P(A). Si un suceso A está incluido en otro B, entonces P(A)ltP(B) La suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio vale 1. Si A y B son dos sucesos compatibles, P(A?B)P(A)P(B)-P(A?B). Si A, B y C son tres sucesos compatibles, P(A?B?C)P(A)P(B)P(C)-P(A?B)-P(A?C)-P(B?C)P(A?B?C).
31

• Ejemplo
• Supongamos que una urna contiene 10 bolas, cinco
  de las cuales son blancas, tres rojas y dos
  negras. Definimos el experimento simple extraer
  una bola de la urna y ver su color. Un suceso
  elemental es la extracción de una bola particular
  que tiene un color hay 10 sucesos elementales en
  E, teniendo cada uno de ellos una probabilidad de
  1/10. Los sucesos que nos interesan son tres
  rojo, blanco y negro. Estos tres sucesos son
  subconjuntos de E con 5, 3 y 2 sucesos
  elementales cada uno, respectivamente. Podemos
  preguntarnos cuál es la probabilidad de extraer
  una bola roja
• P(Roja) 3/100,30
• P(Blanca)5/100,50 y,
• P(Negra)2/100,20
• También podemos aplicar las reglas dadas en el
  apartado anterior
• P(No color) 0,00
• P(Roja o Blanca) 0,30 0,50 0,80
• P(Roja o Negra) 0,30 0,20 0,50
• P(Roja o Negra o Blanca) 0,30 0,20 0,50
  1,00

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PRÁCTICA 1
33

• Supongamos que se entrevistaron 500 estudiantes
  de una Facultad, preguntándoles si durante el
  último mes habían padecido algún dolor, y si éste
  había sido de cabeza o de algún otro tipo,
  pudiendo señalar ambos si era el caso. De los
  encuestados 150 presentaron dolor de cabeza, (A),
  60 presentaron algún otro tipo de dolor, (B) y 20
  presentaron tanto dolor de cabeza como de algún
  otro tipo.

34

• Si elegimos al azar un estudiante de esa
  Facultad, entre todos los encuestados

35

• Cuál es la probabilidad de que haya padecido
  dolor de cabeza y de algún otro tipo?

P(A?B)0.04
36

• Cuál es la probabilidad de que presente dolor de
  cabeza o de algún otro tipo?.

P(A?B) P(A) P(B) - P(A?B) 0.30 0.12 0.04
0.38
37

• Cuál es la probabilidad de que no presente
  ningún dolor?

38

• Cuánto vale la suma de todos los sucesos
  elementales de este experimento?

Por una propiedad de la probabilidad sabemos que,
la probabilidad de sumar todos los sucesos
elementales que conforman el espacio muestral de
un experimento aleatorio, vale 1. Vamos a
comprobarlo. Los sucesos elementales de este
experimento serían A haber padecido dolor de
cabeza, B haber padecido algún otro tipo de
dolor y C no haber padecido ningún dolor.
Por lo que la suma de sus probabilidades sería
igual a
39

• En esta fórmula, las intersecciones en las que
  interviene el suceso C valen 0. Por ejemplo sin
  consideramos la P(A?C), el resultado de esa
  intersección sería el conjunto vacío, ?, ya que
  ambos sucesos no tienen ningún elemento en común.
• Por lo que si las eliminamos de la fórmula
  anterior y hacemos los cálculos el resultado
  tiene que darnos 1. Estaríamos ante el suceso
  seguro o cierto, ya que si seleccionamos una
  persona al azar de las encuestadas, con
  seguridad, o ha padecido dolor de cabeza, o lo ha
  padecido de algún otro tipo, o ha padecido ambos,
  o bien no ha padecido ningún dolor.

40

• Cuál sería la probabilidad de haber padecido
  sólo dolor de cabeza?

P(A) - P(A?B)0.30-0.040.26
41

• Cuál la de haber padecido sólo algún otro tipo
  de dolor?

P(B) - P(A?B)0.12-0.040.08
42
PRÁCTICA 2
43

• Hemos llevado a cabo un estudio con pacientes que
  han sido diagnosticados con un trastorno de
  bulimia nerviosa y hemos comprobado que, en el
  30 de los casos de bulimia se acompañan de
  problemas de ansiedad, en el 20 se acompañan de
  problemas de depresión, y en el 15 de síntomas
  obsesivos-compulsivos. El 12 padece ansiedad y
  problemas de depresión, el 9 ansiedad y síntomas
  obsesivos-compulsivos, y el 6 problemas de
  depresión y síntomas obsesivos-compulsivos.
  Finalmente, el 3 padece los tres tipos de
  problemas.

44
(No Transcript)
45

• Cuál es el porcentaje de pacientes con trastorno
  de bulimia nerviosa que padecen al menos uno de
  los tres síntomas?

P 0.120.030.050.030.060.090.03 0.41
46

• Qué porcentaje de pacientes no padecen ninguno
  de los tres problemas?

P 1-0.41 0.59
47

• Cuál es el porcentaje de pacientes que sólo
  padecen ansiedad?

P0.12
48

• Señala el porcentaje de pacientes que presentan
  problemas de depresión o síntomas
  obsesivos-compulsivos pero no presentan problemas
  de ansiedad

P 0.050.030.030.11
49

• Señala el porcentaje de pacientes que no padecen
  problemas de ansiedad ni problemas de depresión

P0.03