Rgression linaire STT2400

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Régression linéaire (STT-2400)

• Section 3
• Préliminaires, Partie I,
• Matrices et vecteurs aléatoires
• Version 8 février 2007

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Introduction

• Lobjectif de cette section est de déterminer
  lestimateur des moindres carrés (OLS) pour le
  modèle de régression linéaire multiple (RLM).
• Les notions qui seront couvertes dans les
  sections préliminaires I, II et III sont
  notamment les vecteurs aléatoires et la loi
  normale multivariée.
• Comme on le verra plus tard, les estimateurs des
  paramètres formeront un vecteur aléatoire qui
  sous certaines hypothèses est de distribution
  normale.

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Matrices et vecteurs aléatoires

• Définition Une matrice aléatoire
  de dimension est une matrice dont les
  éléments sont des variables aléatoires.
• Définition Un vecteur aléatoire
  est un vecteur dont les éléments sont des
  variables aléatoires.

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Espérance mathématique des matrices et vecteurs
aléatoires

• Définition Soit une matrice
  aléatoire et considérons
  un vecteur aléatoire. Nous avons les propriétés
  suivantes

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Propriété 3.1

• Soient et deux vecteurs aléatoires,
  une matrice aléatoire et et des
  matrices constantes. On a alors les propriétés
  suivantes

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Matrice des variances et covariances

• Soit un vecteur aléatoire
  de moyenne .
  On définit la variance de
  , que lon note , de la manière suivante

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Exemple

• Soit un vecteur aléatoire
  de moyenne et
  de variance valant . Soit
  pour un vecteur constant . On a alors

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Propriété 3.2

• Soit un vecteur aléatoire
  de moyenne et
  de variance valant . Pour une
  matrice constante on a les propriétés
  suivantes

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Propriété 3.3

• Soit un vecteur aléatoire
  de moyenne et
  de variance valant . Pour une
  matrice constante et un vecteur constant
  on a les propriétés suivantes

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• Pour (ii)
• (ii) implique (iii)
• (i)

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Remarque sur la Propriété 3.3 (i)

• On rappelle que cette propriété stipule que
• En fait, lanalogue univarié est simplement que
  pour une variable aléatoire X