Modelli e simulazioni

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Modelli e simulazioni

• Cosè un modello.
• Simulazioni
• Logo - Excel

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Modello

• Cosè un modello fisico/matematico ?
• Che genere di strumento di lavoro è ?
• Che valore cognitivo ha ?
• Che ruolo ha nel processo di apprendimento ?
• Che ruolo ha nel processo di insegnamento?
• La risposta non è né semplice né univoca.

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Riferimenti

• Giorgio Israel, Modelli Matematici
• John von Neumann, citazioni
• Conrad Waddington, Strumenti per pensare
• Richard P. Feynmann, sui modelli
• Altri

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Una citazione da John von Neuman

• Le scienze non cercano di spiegare, a malapena
  tentano di interpretare, ma fanno soprattutto dei
  modelli. Per modello sintende un costrutto
  matematico che, con laggiunta di certe
  interpretazioni verbali, descrive dei fenomeni
  osservati. La giustificazione di un siffatto
  costrutto matematico è soltanto e precisamente
  che ci si aspetta che funzioni cioè descriva
  correttamente i fenomeni in unarea
  ragionevolmente ampia. Inoltre esso deve
  soddisfare certi criteri estetici cioè, in
  relazione con la quantità di descrizione che
  fornisce, deve essere piuttosto semplice.

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Conrad Waddington ( Biologo )Modello Matematico

• Se già molto è noto sul funzionamento del sistema
  in questione, oppure se è accettabile un modello
  molto semplificato di un sistema poco noto, è
  possibile escogitare un modello comprendente
  insiemi di equazioni che lo rappresentano .
  Una semplice equazione non può ovviamente
  descrivere con tutta precisione la complessità
  del sistema considerato .I modelli matematici
  di sistemi sociali e tecnologici sono di solito
  adatti esclusivamente alla detrminazione di
  effetti massicci che comportano popolazioni molto
  vaste

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Conrad Waddington Modello Fisico

• Per poter fare previsioni circa lattività di un
  sistema reale è talvolta possibile costruire un
  modello fisico del sistema sottoponibile poi ad
  una varietà di condizioniI modelli fisici si
  possono costruire solo in un numero limitato di
  condizioni

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E. MalinvaudMéthode Statistique de leconometrie

• Un modello matematico è la rappresentazione
  formale di idee o conoscenze relative ad un
  fenomeno.

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Richard P. Feynman

• Sulla relazione tra matematica e Fisica
• Un modello matematico è uno schema che consente
  di interpretare le leggi fisiche
• (Interpretazione da La legge Fisica)
• Un modello puo anche essere un modello di
  ragionamento.
• Es. Ipotesi che la natura sia causale ? Legge di
  Newton.
• Ipotesi che la natura obbedisca a un principio di
  minimo ? Principio di Minima Azione.
• Ipotesi che la natura delle leggi fisiche sia
  locale ? Concetto di Campo.
• Una delle caratteristiche sorprendenti della
  natura è la varietà dei possibili schemi
  interpretativi, dovuta al fatto che le leggi sono
  così speciali e delicate.
• Nel caso dei modelli fisici...
• In altre parole i matematici preparano un
  ragionamento astratto pronto per essere usato
  appena si ha una serie di assiomi sul mondo
  reale. Il fisico invece dà un significato a tutte
  le sue frasi

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Per i matematici

• Questa è una cosa assai importante che molte
  persone che giungono alla fisica dalla matematica
  non apprezzano.
• La fisica non è matematica e la matematica non è
  fisica. Una aiuta laltra, ma in fisica si deve
  capire la connessione tra le parole e il mondo
  reale.Alla fine è necessario tradurre, quello che
  si è dedotto, in italiano, cioè, nel mondo, nei
  blocchi di rale e di vetro con cui si faranno gli
  esperiementi solo in questo modo potremo vedere
  se le conseguenze non sono giuste. Questo è un
  problema che in matematica non esiste affatto.

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Sempre Feynman sui modellie sulla loro
costruzione

• Quando sapete quello di cui state parlando, che
  alcuni simboli rappresentano le masse, altri le
  forze, linerzia, e così via, allora potete usare
  abbondantemente il buon senso, e i ragionamenti
  terra-terra. Avete visto varie cose e sapete più
  o meno come il fenomeno si comporterà. Ma il
  povero matematico lo traduce in equazioni, e
  poiché i simboli non gli dicono niente, non ha
  nessuna guida nella deduzione se non la
  precisione del rigore matematico. Il fisico,
  invece, che sa più o meno quale risultato verrà
  fuori, può allincirca tirare a indovinare per
  una parte, e così procedere abbastanza
  rapidamente. Lassoluta precisione del rigore
  matematico non è molto utile in fisica. Tuttavia
  non bisogna criticare i matematici per questo
  non è necessario che solo perché una cosa sarebbe
  utile in fisica la debbano fare in qualche modo,
  essi fanno il loro mestiere, e se volete qualche
  altra cosa dovete farvela da soli.

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Come indovinare una nuova legge fisica ?

• Problema nella costruzione di un modello
  matematico di un sistema fisico si devono usare
  delle idee e delle convinzioni acquisite grazie
  alla cultura personale e alla cultura in cui lo
  scienziato è immerso. Quindi per indovinare una
  nuova legge si devono usare preconcetti e
  principi filosofici, come per esempio non
  mipiace il principio di minimo, mi piace il
  principio di minimo, o non mi piace lazione a
  distanza. Insomma
• Fino a che punto servono i modelli ?
• Molto spesso i modelli aiutano e molti docenti di
  fisica, a livello universitario, cercano di
  insegnare ad usare i modelli, e ad avere un buon
  senso fisico per predire come le cose andranno a
  finire.
• Ma succede sempre che le scoperte più grandi
  sono ottenute astraendo dal modello e che questo
  non serve mai a niente (???).
• La scoperta di Maxwell dellelettrodinamica fu
  fatta prima servendosi di molte ruote e
  ingranaggi immaginari nello spazio. Ma quando vi
  liberate da tutti gli ingranaggi e gli aggeggi
  nello spazio tutto va bene.
• Dirac scoprì le leggi giuste della meccanica
  quantistica relativistica semplicemente
  indovinando lequazione.

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(No Transcript)
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• Il metodo di cercare di indovinare lequazione
  sembra essere un modo piuttosto efficace di
  scoprire nuove leggi. Questo fa di nuovo vedere
  che la matematica è un modo profondo di esprimere
  la natura, mentre qualsiasi tentativo di
  esprimerla in principi filosofici o affermazioni
  vagamente meccanicistiche non è un mezzo
  efficace.
• RUOLO DELLA SIMULAZIONE
• La simulazione di un modello fisico consente di
  sperimentare il modello, metterlo alla prova
  cambiandone i parametri che lo caratterizzano. La
  simulazione di un modello consente quindi di
  sperimentare le varie possibilità del modello
  oltre che i suoi limiti, in un certo qual modo
  il modello fa da impalcatura per la
  sperimentazione e lorganizzazione delle nostre
  idee. Quando alla fine il modello funziona è
  possibile togliere limpalcatura, magari si
  scopre che sta in piedi lo stesso, si scopre
  qualcosa di nuovo.

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• Trattare di modelli è difficile.
• Definire il concetto di modello è difficile (
  Giorgio Israel).
• Un modello ha uno schema logico ma non è
  riducibile ad uno schema logico ( del tipo flow
  chart)
• Burkhardt, Learning to use mathematics, Bulletin
  of IMA, ottobre 1979.

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Schema a flow chart
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Modello e ragionamento scientifico

• Ragionamento Scientifico ed Insegnamento della
  Scienza.
• La sola costruzione di un modello matematico non
  garantisce che si sia costruito anche un
  ragionamento scientifico. Il modello matematico
  di per sé potrebbe essere ricondotto
  allapplicazione meccanica di una serie di
  procedure.
• Talora ci si illude di poter ridurre la
  complessità di un fenomeno fisico ( e non solo )
  ad una sequenza di operazioni elementari
  logicamente coerenti ed organizzate in una
  struttura algoritmica. ( Visione algoritmica ).
• Loperazione di simulazione prevede la messa in
  prova del modello e di chi lo controlla e/o lha
  costruito. Entrano in gioco altri criteri
  importanti
• Il modello è stabile ?
• Si è tenuto conto di tutte le variabili rilevanti
  ?
• Quali sono le condizioni al contorno ?
• Quali sono le condizioni iniziali del modello ?
• Quali scelte determinanti e caratterizzanti ha
  fatto lestensore del modello?
• Etc.

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• Lorientamento logico razionale del modello e
  della sua strategia di costruzione sono
  importanti ma
• Il ragionamento scientifico ha un livello di
  complessità maggiore. La definizione di Malinvaud
  è molto più prossima a questo livello di
  ragionamento.
• Questa definizione definisce in modo molto più
  appropriato cosa sia un modello matematico
• a) Un modello matematico è la rappresentazione di
  un fenomeno.
• b) questa rappresentazione non è discorsiva o a
  parole ma formale ed usa il linguaggio
  matematico.
• c) Non esiste una via diretta cha va dalla realtà
  alla Matematica. Il fenomeno specifico studiato
  non detrmina la sua rappresentazione
  matematica. Vengono invece tradotti in formule
  idee e conoscenze relative al fenomeno.

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il terzo punto

• Lultimo punto è il più importante dei tre. Si fa
  riferimento alle idee e conoscenze grazie alle
  quali si rappresenta formalmente la realtà del
  fenomeno.
• Un modello fa riferimento alle conoscenze ed idee
  di chi formula il modello stesso ( vedi Feynman
  ), perché non il principio di Minima Azione
  piuttosto che le leggi di Newton? Linfluenza
  delle proprie convinzioni, cultuta, stile, punti
  di vista, può essere cruciale.
• Come non esiste un modo univoco di affrontare e
  risolvere i problemi, così non esiste un modo
  univoco di costruire i modelli che descrivono il
  comportamento di un dato fenomeno. La descrizione
  matematica della realtà fatica nel tenere
  considerazioni degli infiniti, complessi,
  correlati aspetti che rappresentano un fenomeno
  fisico. Se già la difficoltà è notevole per un
  fenomeno fisico, sarà ancor più grande nel caso
  si tratti di un fenomeno biologico.
• La necessità di selezionare tra le variabili
  rilevanti e non rilevanti conduce alla
  discriminazione tra queste variabili. Questa
  scelta viene effettuata grazie alle idee, alla
  conoscenza, alla scuola da cui proviene chi
  lavora sul modello.

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LOGO

• Il Logo è un linguaggio di programmazione ideato
  con finalità didattiche dal matematico e
  informatico americano Seymour Papert. E' un
  linguaggio ormai diffuso nelle scuole di tutto il
  mondo. Papert, derivando alcune idee dalla teoria
  dell'apprendimento di Piaget ed altre dalla
  ricerca nel campo dell'Intelligenza Artificiale
  (settore nel quale è considerato uno dei massimi
  esperti), propone un ambiente di sperimentazione
  geometrica che coinvolge l'allievo, lo rende
  diretto costruttore di strutture, gli consente di
  apprendere operando. Una caratteristica
  importante del Logo è quella di favorire non solo
  l'apprendimento di una corretta tecnica di
  programmazione ma anche l'acquisizione di nozioni
  e concetti matematici profondi (in particolare
  geometrici, ma non solo si pensi ad esempio al
  concetto di variabile). Operare in ambiente
  Logo significa programmare una piccola tartaruga
  che si muove sullo schermo del computer in
  risposta a dei nostri comandi. La tartaruga, come
  entità geometrica, è caratterizzata dalla
  posizione nel piano e dall'orientamento (ad
  esempio la tartaruga può trovarsi in un dato
  punto P ed essere orientata verso Nord). ( Da
  Paolo Lazzarini, Introduzione al LOGO)

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MIT e LOGO

• Link http//el.media.mit.edu/Logo-foundation/log
  o/index.html.

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MIT
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(No Transcript)
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(No Transcript)
24
MSW LOGO

• Link http//www.softronix.com/logo.html
• http//users.libero.it/prof.lazzarini/voce03.htm
• Manuale www.mswlogo.org/introduzioneMSWLogo.pdf

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Calcolo Ricorrente

• 1.1) UNO STRUMENTO NUOVO DI CALCOLO
• Affronteremo lo studio cinematico del moto
  accelerato, allo scopo di acquisire una tecnica
  di calcolo molto efficace con luso del foglio
  elettronico. Si tratta di risolvere il problema
  del moto senza usare le relative formule per le
  grandezze s, v ed a, ma utilizzando solo le loro
  definizioni elementari.
• Nei corsi di Fisica si studiano le leggi del moto
  rettilineo uniforme, di quello uniformemente
  accelerato e forse di qualche altro tipo (moto
  circolare uniforme, moto armonico...).
• Si è dunque in grado di utilizzare le formule di
  calcolo che si riferiscono a questi tipi di moto.
  Ma tali formule sono valide solo per i casi
  particolari a cui si riferiscono non sono valide
  nel caso generale di moti vari.
• Potenza del metodo
• Il metodo che qui si propone ha una validità del
  tutto generale e perciò è uno strumento molto
  potente. Il suo utilizzo è fortemente legato
  alluso del calcolatore, perché richiede lo
  svolgimento di parecchi calcoli ripetuti.
• Esso presenta il vantaggio di un utilizzo molto
  elementare delle leggi della Fisica, anche in
  casi complessi. Gli strumenti matematici
  richiesti sono concettualmente semplici
  (sostanzialmente le quattro operazioni
  aritmetiche).
• Limiti del metodo
• È necessario però conoscere anche i limiti di
  questo strumento si tratta infatti di un metodo
  di calcolo approssimato, con gli inevitabili
  errori che ciò comporta.
• Impareremo a conoscere gli errori di calcolo che
  il metodo introduce e soprattutto a valutarne
  lentità, in modo da capire e controllare la
  validità dei risultati che otterremo.

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Idee

• 1.2) IL CALCOLO RICORRENTE
• Nel moto accelerato, la velocità di un corpo
  varia nel tempo la conoscenza di tale grandezza
  è legata a quella dellaccelerazione.
• Lo spazio percorso da un corpo (o per meglio dire
  il suo spostamento) è legato sia alla velocità
  iniziale che alla accelerazione.
• Come è noto, non è possibile calcolare la
  velocità istantanea di un oggetto conoscendo solo
  lo spazio percorso non si può usare la
  relazione , valida solo per il moto rettilineo
  uniforme.
• In conclusione, spostamento e velocità nel moto
  accelerato sono legati allandamento
  dellaccelerazione del corpo. Rivediamo ora
  alcune definizioni delle grandezze fisiche della
  cinematica.

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• Definizione di accelerazione
• Sappiamo che laccelerazione media di un corpo
  nellintervallo di tempo ?t è data da
• (1)
• dove v(t) indica la velocità allistante t
  (istante iniziale dellintervallo) e v(t ?t)
  quella allistante finale.
• Sappiamo anche che quanto più piccolo è
  lintervallo ?t, tanto più questo valore si
  avvicina allaccelerazione istantanea.
• Per cominciare con un caso semplice, supponiamo
  che il moto sia uniformemente accelerato.
• In questo caso la relazione (1) appena vista
  fornisce proprio laccelerazione istantanea del
  corpo, che coincide con quella media.
• Dalla (1) possiamo ottenere
• (2)
• La quantità a ?t rappresenta la variazione di
  velocità.
• Se laccelerazione è costante, come nel nostro
  caso, la relazione (2) è esatta (cioè non dà
  luogo ad approssimazioni di calcolo) e si
  interpreta nel seguente modo
• la velocità in un istante successivo allistante
  t è data dalla velocità allistante t più la sua
  variazione intervenuta nellintervallo di tempo
  ?t.

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• Calcolo ricorrente della velocità
• Vediamo ora come calcolare la velocità in un
  istante di tempo generico t usando la tecnica del
  calcolo ricorrente. Si utilizza la conoscenza di
  una grandezza fisica ad un certo istante per
  calcolarne il valore in un istante successivo.
• Supponiamo che laccelerazione del moto sia a
  2 m/s2, la velocità iniziale v(0) 0 e
  lintervallo di tempo ?t 1 s.
• Usando la (2) si ottengono i seguenti valori per
  la velocità negli istanti successivi (1, 2 , 3
  secondi dopo la partenza)
• v(1) v(0) 21 2 m/s
• v(2) v(1) 21 2 2 4 m/s
• v(3) v(2) 21 4 2 6 m/s
• In questo modo si può ottenere il valore della
  velocità in qualunque istante senza usare formule
  di calcolo che non siano le semplici definizioni
  delle grandezze in gioco.
• In questo esempio il calcolo effettuato fornisce
  risultati esatti è possibile però applicarlo
  anche a moti con accelerazione non costante, nel
  qual caso dobbiamo pagare il prezzo di una certa
  approssimazione.
• Per quanto riguarda lo spazio percorso dal corpo,
  si può procedere in modo analogo.

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• Definizione di velocità
• La definizione di velocità media di un corpo
  nellintervallo di tempo ?t è la seguente
• (3)
• dove al solito s(t) indica lo spostamento
  allistante t (istante iniziale dellintervallo)
  ed s(t ?t) quello allistante finale. Dalla (3)
  si ottiene
• (4)
• La formula (4), applicata al caso di un moto
  accelerato, non è più esatta, come la (2), ma
  solo approssimata, poiché la velocità non è
  costante nel tempo.
• Applicheremo ora il metodo del calcolo ricorrente
  utilizzando il foglio elettronico.

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• 2.1) REALIZZAZIONE DEL MODELLO IN EXCEL
• ?
• In ambiente Excel inserite le etichette e i
  numeri indicati nella tabella che segue.
• ABCDEFG1MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO23tvss
  esattoa 2m/s24Dt 0,1s50000,5aA526A5DtB5a
  DtC5B5Dt0,5aA62?
• Posizionatevi sulla cella F3 nel menù Inserisci
  selezionate Nome Definisci. Nella finestra di
  dialogo che appare, inserite a nella finestra
  Nomi nella cartella di lavoro, assicurandovi che
  la finestra Riferito a contenga lindirizzo
  della cella F3 cliccate infine su OK.
• Nella Casella Nome (in alto a sinistra, sotto la
  barra dei pulsanti) compare ora il nome a,
  anziché lindirizzo di cella F3. Dora in poi
  potrete riferirvi a questa cella indicandola con
  tale nome.
• ?
• In modo analogo assegnate alla cella F4 il nome
  Dt. Inserite poi le formule indicate in tabella
  (nelle celle relative, naturalmente, comparirà il
  risultato della formula stessa).
• ?
• Copiate le celle 6A6D per 50 righe sotto.
• ?
• Costruite ora il grafico della velocità, dello
  spostamento approssimato e di quello esatto
  (calcolato con la formula del moto uniformemente
  accelerato ) in funzione del tempo.

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Calcolo Ricorrente della Velocità

• Calcolo ricorrente della velocità
• Vediamo ora come calcolare la velocità in un
  istante di tempo generico t usando la tecnica del
  calcolo ricorrente. Si utilizza la conoscenza di
  una grandezza fisica ad un certo istante per
  calcolarne il valore in un istante successivo.
• Supponiamo che laccelerazione del moto sia a
  2 m/s2, la velocità iniziale v(0) 0 e
  lintervallo di tempo ?t 1 s.
• Usando la (2) si ottengono i seguenti valori per
  la velocità negli istanti successivi (1, 2 , 3
  secondi dopo la partenza)
• v(1) v(0) 21 2 m/s
• v(2) v(1) 21 2 2 4 m/s
• v(3) v(2) 21 4 2 6 m/s
• In questo modo si può ottenere il valore della
  velocità in qualunque istante senza usare formule
  di calcolo che non siano le semplici definizioni
  delle grandezze in gioco.
• In questo esempio il calcolo effettuato fornisce
  risultati esatti è possibile però applicarlo
  anche a moti con accelerazione non costante, nel
  qual caso dobbiamo pagare il prezzo di una certa
  approssimazione.
• Per quanto riguarda lo spazio percorso dal corpo,
  si può procedere in modo analogo.

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