Simulazione di circuiti misti analogico-digitali: sistemi ibridi, matrici di

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Simulazione di circuiti misti analogico-digitali
sistemi ibridi, matrici di salto, analisi di
rumore, funzioni di trasferimento tempo-varianti
Federico Bizzarri Dipartimento di Elettronica e
Informazione, Politecnico di Milano P.za Leonardo
da Vinci 32, I-20133 Milano, Italy e-mail
bizzarri_at_elet.polimi.it
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Simulazione di circuiti misti analogico-digitali
sistemi ibridi, matrici di salto, analisi di
rumore, funzioni di trasferimento tempo-varianti
A chi serve? A chi ha a che fare con
lanalisi o la sintesi (con la progettazione) di
circuiti elettrici/elettronici (autonomi e non
autonomi) che, a regime, presentano un
comportamento periodico.
Quando serve? Quando i circuiti in esame sono
descritti da modelli che presentano discontinuità
del campo vettoriale o delle variabili di stato.
A cosa serve? Ad estendere a questi tipi di
circuiti analisi che si basano sulla risoluzione
dellequazione variazionale che descrive il
sistema linearizzato attorno alla sua traiettoria
di regime nello spazio di stato (matrice di
sensibilità rispetto alle condizioni iniziali o
matrice di transizione).
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Simulazione di circuiti misti analogico-digitali
sistemi ibridi, matrici di salto, analisi di
rumore, funzioni di trasferimento tempo-varianti

• Quando serve? Quando i circuiti in esame sono
  descritti da modelli che presentano discontinuità
  del campo vettoriale o delle variabili di
  stato.
• Un circuito analogico con interruttori
• Un circuito misto analogico-digitale
• Un circuito in parte descritto con un linguaggio
  behavioural
• Un circuito per cui la ALU del calcolatore che lo
  simula non è in grado di seguirne variazioni
  molto rapide

• A cosa serve? Ad estendere a questi tipi di
  circuiti analisi che si basano sulla risoluzione
  dellequazione variazionale che descrive il
  sistema linearizzato attorno alla sua traiettoria
  nello spazio di stato (matrice di sensibilità
  rispetto alle condizioni iniziali o matrice di
  transizione).
• Analisi di stabilità (moltiplicatori di Floquet)
• Metodi di shooting per il calcolo veloce della
  soluzione di regime
• Analisi del rumore in oscillatori
• Funzioni di trasferimento tempo varianti

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Sistemi dinamici ibridi
I sistemi dinamici ibridi sono costituiti da
processi di evoluzione dinamica continui/discreti
che interagiscono con processi logici o
decisionali
Sistemi dinamici a impatto Lo stato presenta
discontinuità nel tempo
Sistemi dinamici switching Campo vettoriale
discontinuo ma stato continuo (sistemi di
Filippov)
(Sistemi con campo vettoriale continuo ma non
differenziabile)
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Sistemi dinamici ibridi

• Estensione per i sistemi ibridi della matrice di
  transizione
• Piecewise smooth Ordinary Differential Equations
• M. Di Bernardo, C. Budd, A. Champneys, and P.
  Kowalczyk, Piecewise-smooth Dynamical Systems,
  Theory and Applications. London Springer-Verlag,
  2008.
• Piecewise smooth Differential Algebraic Equations
• F. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani,
  Steady State Computation and Noise Analysis of
• Analog Mixed Signal Circuits, submitted to IEEE
  TCAS-I, feb. 2011.

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Matrice di transizione nel caso smooth -
Definizione -
Se xs (t) è soluzione per t ? t0,t0T allora
per ogni t in questo intervallo è possibile
calcolare leffetto Dxs(t) sulla soluzione di una
perturbazione Dx0 delle condizioni iniziali
come Dx1(t1) F(t1,t0) Dx0(t0)
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Matrice di transizione - Proprietà -
Proprietà di composizione
Proprietà di mapping
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Matrice di transizione - Proprietà -

• Data una soluzione periodica (ciclo limite) di
  periodo T, La teoria di Floquet permette di
  utilizzare F(t,t0) per altro ancora
• Dati gli autovalori mk di F(Tt0,t0) (matrice di
  monodromia)
• Se mk ? 1 il ciclo limite è stabile
• Se esiste un solo mkgt 1 il ciclo limite è
  instabile
• Un sistema autonomo che presenta un ciclo limite
  stabile presenta almeno un autovalore mk 1
• Lo studio delle autofunzioni destre (uk(t)) e
  sinistre (vk(t)) di F(t,t0) permette di
  individuare le direzioni nello spazio di stato
  lungo le quali le perturbazioni si smorzano, si
  amplificano o perdurano invariate
• la base del calcolo del rumore di fase negli
  oscillatori (teoria di Demir, 2001)

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Rumore di ampiezza nei sistemi autonomi stabili
(oscillatori)
gli effetti sullampiezza del ciclo delle
(piccole) perturbazioni (dovute a sorgenti di
rumore) si attenuano quindi il rumore di
ampiezza non è di grande interesse.
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Rumore di fase nei sistemi autonomi (oscillatori)
gli effetti delle perturbazioni (dovute a
sorgenti di rumore) proiettate lungo
lautofunzione v1(t) che corrisponde
allautovalore m1 1 non si attenuano e si
traducono in rumore di fase
il calcolo di v1(t) risulta essenziale e non
può prescindere dalla corretta valutazione di
F(t,t0)
il rumore di fase è presente anche negli
oscillatori ibridi ma non sappiamo calcolarlo
se non possiamo calcolare F(t,t0).
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Matrice di salto (Saltation Matrix)
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Matrice di salto (Saltation Matrix)
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Matrice di salto (Saltation Matrix)
Saltation Matrix S
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Matrice di salto (Saltation Matrix)Sistema
dinamico switching
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Matrice di salto (Saltation Matrix)Sistema
dinamico a impatto
Jacobiano del mapping
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Matrice di salto (Saltation Matrix)Sistema
dinamico ibrido
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Un oscillatore switching misto analogico digitale
F. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani,
Analog Mixed Signal Noise Simulation and
Experimental Validation, submitted to
Electronics Letters, june 2011.
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Un oscillatore switching misto analogico
digitaleSimulazioni numeriche
Loscillatore è stato simulato numericamente con
un metodo di shooting per determinarne lorbita
di regime.
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Un oscillatore switching misto analogico
digitaleSimulazioni numeriche
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Un oscillatore switching misto analogico
digitaleSimulazioni numeriche
E stato determinato andamento temporale
dellautofunzione sinistra v1(t) di F(t,t0)
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Un oscillatore switching misto analogico
digitaleMisure sperimentali
Loscillatore è stato realizzato su breadboard ed
è stato iniettato rumore bianco mediante un
generatore di funzioni connesso come un
generatore di tensione in serie ad R4.
Total noise simulato (PNOISE)
Total noise misurato
Phase noise Demir
Total noise misurato
Calcolo del Rumore Totale (Ampiezza
Fase) SPECTRE fornisce risultati numerici non
accurati ELDO non converge (o almeno non ci siamo
riusciti!)
Total noise Spectre
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Un oscillatore a impatto con risuonatore di tipo
MEMS
F. Bizzarri, X. Wei, Phase Noise Analysis of a
Mechanical Autonomous Impact Oscillator with a
MEMS Resonator, submitted to ECCTD 2011.
Ciclo limite (proiezione sui piani (y,v) e (y,VC)
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Un oscillatore a impatto con risuonatore di tipo
MEMS
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Un oscillatore a impatto con risuonatore di tipo
MEMS
Lo spettro del rumore di fase è stato valutato
con la formulazione di Demir calcolando
individualmente i contributi termici e 1/f. Sono
in corso misure sperimentali.
Meccanico Elettrico Totale
X. Wei, C. Anthony, D. Lowe, and M.CL.Ward,
Design and fabrication of a nonlinear micro
impact oscillator, Procedia Chemistry, vol. 1,
pp. 855858, 2009.
Termico
1/f
f0 3.312kHz
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Conclusioni e omissis

• Estensione al caso DAE della formulazione per
  ODE della matrice di transizione per sistemi
  ibridi.
• Estensione a circuiti AMS (Analog Mixed
  Signal) di metodi basati sulla matrice di
  transizione.
• Risultati non direttamente confrontabili con
  quelli (non) forniti da altri toolbox commerciali
  o simulatori accademici ma verificati
  sperimentalmente.
• Applicazione allottimizzazione di oscillatori
  impulsati
• F. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani,
  Phase Noise Simulation in Analog Mixed Signal
  Circuits An Application to Pulse Energy
  Oscillators, Circuits and Systems II Express
  Briefs, IEEE Transactions on, vol. 58, n.3, 2011.
• F. Bizzarri, A. Brambilla, S. Perticaroli, G.
  Storti Gajani, Noise in a Phase-Quadrature
  Pulsed Energy Restore Oscillator, submitted to
  ECCTD 2011.
• Sviluppo di algoritmi per la localizzazione
  automatica dei manifold di switch o di impatto
  (anche tempo varianti).