SPIRALI

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SPIRALIDIAMO

• Una sola procedura (da modificare) e tantissime
  spirali eseguite con la tartaruga del logo

CLASSE IV B scuola primaria statale G.
Garibaldi, Genova, a.s. 2005/2006 Un grazie
per lospitalità nel Tartapelago, moderato dal
prof. Giorgio Pietrocola e amministrato dal prof.
Claudio Rosanova
12/02/2006
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LA SPIRALE IN MATEMATICA
In matematica la spirale è una curva piana che si
avvolge attorno a un punto fisso, detto polo
della spirale. Il primo ad aver studiato le
spirali è stato Archimede.
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PROCEDURA UTILIZZATA
Per spirale lato angolo se lato gt 180 stop a
lato d angolo spirale lato 3
angolo Fine Cambiando a piacere la misura del
lato (con un numero compreso tra 5 e 150),
calcolando la misura dellangolo esterno di
alcuni poligoni regolari e variando la quantità
da aggiungere al lato per creare la spirale,
abbiamo costruito tante spirali diverse e ci
siamo divertiti a scegliere sia il colore per lo
sfondo e per la penna sia la dimensione della
penna nelle diapositive seguenti abbiamo
inserito le spirali poligonali che ci sono
piaciute di più e che hanno suscitato la nostra
curiosità. Scriviamo il comando dato alla
tartaruga per ogni nostra spirale, anche se non
precisiamo le piccole modifiche fatte, di volta
in volta, da noi nella procedura, perché
preferiamo che ognuno le possa scoprire da solo.
(La maestra Ivana dice che non si deve togliere
agli altri il piacere delle proprie scoperte.)
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Precisazione da parte dellinsegnante
Non avendo detto ai bambini che nella procedura
assegnata avrebbero potuto modificare anche la
direzione dellangolo, essi sono giunti a
realizzare, comunque, spirali che procedono
anche in senso antiorario, senza neanche
adoperare i numeri negativi, scoprendo così,
insieme con linsegnante, altre proprietà seguite
dalla tartaruga. Come sostiene il grande Seymour
Papert la matematica costituisce un modo di
pensiero attivo e il LOGO è un modo per dare ai
bambini, e anche a chiunque altro, agli adulti
come ai bambini, il controllo del computer .
Condivido anche le parole dellesperto Giorgio
Pietrocola Riflettendo sulle costruzioni
eseguite con la tartaruga, al variare dei valori
assegnati inizialmente capita spesso, sia agli
alunni sia agli insegnanti, di scoprire
empiricamente strane e insospettate leggi. Queste
situazioni risultano molto educative, perché
permettono di introdurre naturalmente alle
problematiche scientifiche."  
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SPIRALE POLIGONALE TRIANGOLARE(procede in senso
orario)
spirale 20 120
Alessandro e Francesco
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SPIRALE POLIGONALE TRIANGOLARE speciale(anche i
bracci procedono in senso orario)
spirale 25 121
Jampierre e Giuliano
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SPIRALE POLIGONALE TRIANGOLARE speciale
(procede in senso orario, ma i suoi tre bracci
procedono in senso antiorario)
spirale 30 118
Francesco e Marius
8
SPIRALE POLIGONALE TRIANGOLARE( procede in senso
antiorario)
spirale 5 240
Luca e Kemmer
9
SPIRALE POLIGONALE TRIANGOLARE speciale
(procede in senso antiorario, ma i suoi tre
bracci procedono in senso orario)
spirale 10 241
Luca e Kemmer
10
SPIRALE POLIGONALE TRIANGOLARE speciale
(procede in senso antiorario e anche i suoi tre
bracci procedono in senso antiorario)
spirale 40 239
Alessandro e Jair
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SPIRALE POLIGONALE QUADRATA( procede in senso
orario)
spirale 45 90
Gianfranco e Marius
12
SPIRALE POLIGONALE QUADRATA speciale(procede in
senso orario e anche i bracci procedono in senso
orario)
spirale 35 92
Giada e Jair
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SPIRALE POLIGONALE QUADRATA speciale (procede in
senso orario, mentre i bracci procedono in senso
antiorario)
spirale 15 88
Giada e Giuliano
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SPIRALE POLIGONALE QUADRATA (procede in senso
antiorario)
spirale 10 270
Gianfranco e Matteo
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SPIRALE POLIGONALE QUADRATA speciale (procede in
senso antiorario e anche i bracci procedono in
senso antiorario)
spirale 12 269
Matteo e Giada
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SPIRALE POLIGONALE QUADRATA speciale (procede in
senso antiorario, mentre i bracci procedono in
senso orario)
spirale 50 271
Matteo e Jampierre
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SPIRALE POLIGONALE PENTAGONALE(procede in senso
orario)
spirale 21 72
Giuliano, Kemmer e Jampierre
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SPIRALE POLIGONALE PENTAGONALE speciale(procede
in senso orario, mentre i bracci procedono in
senso antiorario)
spirale 8 71
Luca e Francesco
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SPIRALE POLIGONALE PENTAGONALE speciale(procede
in senso orario e anche i bracci procedono in
senso orario)
spirale 16 73
Gianfranco e Jair
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SPIRALE POLIGONALE PENTAGONALE (procede in senso
antiorario)
spirale 31 288
Alessandro e Marius
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SPIRALE POLIGONALE PENTAGONALE speciale(procede
in senso antiorario, mentre i bracci procedono in
senso orario)
spirale 9 289
Giada e Gianfranco
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SPIRALE POLIGONALE PENTAGONALE speciale(procede
in senso antiorario e anche i bracci procedono in
senso antiorario)
spirale 8 287
Matteo e Giuliano
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SPIRALE POLIGONALE ESAGONALE (procede in senso
orario)
spirale 100 60
Luca
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SPIRALE POLIGONALE ESAGONALE SPECIALE ( procede
in senso orario, mentre i bracci procedono in
senso antiorario)
spirale 6 59
Jampierre e Kemmer
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SPIRALE POLIGONALE ESAGONALE SPECIALE ( procede
in senso orario e anche i bracci procedono in
senso orario)
spirale 18 61
Giada, Giuliano e Jampierre
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SPIRALE POLIGONALE ESAGONALE ( procede in senso
antiorario)
spirale 27 300
Luca, Kemmer e Jair
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SPIRALE POLIGONALE ESAGONALE SPECIALE (procede
in senso antiorario, mentre i bracci procedono in
senso orario)
spirale 33 301
Francesco, Gianfranco e Marius
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SPIRALE POLIGONALE ESAGONALE SPECIALE (procede
in senso antiorario e anche i suoi i bracci
procedono in senso antiorario)
Spirale 68 299
Alessandro e Matteo
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Le nostre riflessioni collettive 1/8
Giocando a costruire spirali con la tartaruga,
abbiamo diviso 360 per il numero dei lati di un
poligono regolare, per calcolare la misura
dellangolo esterno di quel poligono considerato
e abbiamo capito che questo calcolo è usato dalla
tartaruga anche per costruire spirali
poligonali. Esempi 360/3 120 (misura
dellangolo esterno del triangolo
equilatero) 360/5 72 (misura dellangolo
esterno del pentagono regolare)
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Le nostre riflessioni collettive 2/8
Con tale legge geometrica, seguita dalla
tartaruga, abbiamo costruito le nostre spirali
poligonali di 3, di 4, di 5, di 6, ecc. lati,
perché con questa legge la tartaruga costruisce
spirali poligonali con il numero di lati che si
vuole (noi ci siamo limitati a inserire qui poche
spirali poligonali, perché la presentazione
diventava troppo pesante).
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Le nostre riflessioni collettive 3/8
Ci siamo accorti che facendo andare avanti la
tartaruga di un numero di passi sempre maggiore
(siamo arrivati a provare fino a 150), locchio
poligonale interno della spirale diventa sempre
più grande e la spirale presenta meno volute (si
avvolge sempre di meno attorno al nucleo
centrale), in quanto, in base alla procedura
scritta, quando si arriva a superare i 180 passi
la tartaruga si ferma. Abbiamo cambiato anche il
numero dei passi che, a ogni voluta, la tartaruga
aggiunge per costruire la spirale diminuendo
tale numero, diminuisce la distanza tra le volute
della spirale, mentre aumentando tale numero
aumenta la distanza tra le volute della spirale.
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Le nostre riflessioni collettive 4/8
Abbiamo osservato, soprattutto, che aumentando di
uno o di due gradi la misura dellangolo esterno
di una qualsiasi spirale poligonale,
(triangolare, quadrata, pentagonale ecc.), sono
ben visibili i bracci curvi (tanti quanti sono i
lati della spirale poligonale), bracci che,
partendo dal centro verso i vertici, vanno da
sinistra a destra (quindi in senso orario)
invece diminuendo di uno o di due gradi la misura
di tale angolo esterno, appaiono sempre i
bellissimi bracci curvi, ma, partendo dal centro
verso i vertici, procedono in senso antiorario,
cioè da destra a sinistra.
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Le nostre riflessioni collettive 5/8
Riflettendo insieme con la maestra Ivana e con i
nostri compagni di classe quinta, abbiamo capito
che è possibile costruire spirali poligonali che
vanno in senso orario, ma anche spirali
poligonali che vanno in senso antiorario per
costruire la spirale triangolare che procede in
senso antiorario si può moltiplicare la misura
dellangolo esterno del triangolo equilatero per
2 nella spirale quadrata la misura dellangolo
esterno del quadrato va moltiplicata per 3 nella
spirale pentagonale regolare la misura
dellangolo esterno del pentagono regolare va
moltiplicata per 4 ecc. Così facendo si ottiene
lo stesso risultato che si otterrebbe sottraendo
a 360 il quoziente della divisione tra 360 e il
numero dei lati del poligono considerato.
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Le nostre riflessioni collettive 6/8
Esempi (realizzati insieme con i compagni di
classe V)
360/3 (3 1) 360 360/3 240 360/4
(4 1) 360 360/4 270 360/5 (5 1)
360 360/5 288 360/6 (6 1) 360
360/6 300 Ecc.
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Le nostre riflessioni collettive 7/8
Se si aumenta di uno o di due gradi langolo che
noi abbiamo utilizzato per costruire spirali
poligonali che procedono in senso antiorario, i
bracci emergono in senso orario, mentre
diminuendo di uno o di due gradi tale angolo,
anche i bracci emergono, dal centro verso i
vertici, in senso antiorario.
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Le nostre riflessioni collettive 8/8

• Abbiamo classificato le SPIRALI POLIGONALI, da
  noi costruite, in due gruppi, a loro volta
  suddivisi ciascuno in due sottogruppi

PRIMO GRUPPO SPIRALI che procedono in senso orario SECONDO GRUPPO SPIRALI che procedono in senso antiorario
SOTTOGRUPPO SPIRALI che procedono in senso orario, con i bracci emergenti in senso orario SOTTOGRUPPO SPIRALI che procedono in senso antiorario, con i bracci emergenti in senso orario
SOTTOGRUPPO SPIRALI che procedono in senso orario, con i bracci emergenti in senso antiorario SOTTOGRUPPO SPIRALI che procedono in senso antiorario, con i bracci emergenti in senso antiorario
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CONCLUSIONE

Forse lavete già capito, comunque lo ammettiamo
abbiamo scelto, come modello struttura per le
nostre diapositive, le volute del capitello
ionico (che generalmente sporgono al di sotto del
margine inferiore dell'echino), perché ci
ricordano le SPIRALI!!!