VIII CURSO INTERNACIONAL Preparaci

1
VIII CURSO INTERNACIONALPreparación y Evaluación
de Proyectos de Desarrollo Local
Evaluación Privada de Proyectos

• 1. Matemática financiera
• Conceptos básicos
• Valor actual

Horacio Roura
2
Conceptos básicos
3
Interés Concepto

• Interés Costo del capital Retribución
  requerida por el uso del factor capital
• Todo capital tiene un costo (requiere una
  retribución)
• Explícito el interés pagado por un préstamo
• Implícito el interés dejado de ganar sobre el
  capital propio

4
Tasa de interés Definición básica

• Supuesto moneda constante o inflación 0

• Ejemplo
• Si recibo hoy 1,000 para devolver 1,080 en dos
  meses, el interés bimestral es

5
Tasa de interés e inflaciónTeorema de Fisher

• Si la inflación (P) es distinta de 0

Donde r tasa nominal k tasa real
6
Tipos de interés

• Interés simple el interés de cada período se
  retira de la imposición
• Interés compuesto el interés de cada período
  aumenta el capital impuesto

7
Tipos de interésEjemplo y comparación
8
Interés compuestoEjemplo 1

• Sea
• Capital 1,000
• Tasa 10 anual, capitalizable anualmente
• Plazo 1 año
• Cuánto se tendrá al final del año?

9
Interés compuestoEjemplo 1

• C1 C0 (1k)1 1,000 (10.10)1 1,100

1
0
1,000
1,100
C1 C0 (1k)1 1,100 1,000 (10.1)1
C0
10
Interés compuestoEjercicio 1

• Sea
• Capital 1,000
• Tasa 12 anual, capitalizable anualmente
• Plazo 1 año
• Cuánto se tendrá al final del año? Y luego de 2
  años?
• Al año 1,000 (10.12) 1,120
• A los 2 años 1,120 (10.12) 1,000 (10.12)2
  1,254.40

11
Interés compuestoPeríodo de capitalización
Ejemplo 2

• Cómo variaría la operación del Ejemplo 1 si la
  capitalización de los intereses fuera semestral?

0
1
1/2
1,000
1,050
1,102.5
C0
C2 C1 (1k/2)1 C0 (1k/2)2 1,102.5 1,000
(10.102) 2
C1 C0 (1k/2)1 1,050 1,000 (10.12)1
12
Interés compuestoPeríodo de capitalización
Ejemplo 3

• Cómo variaría la operación anterior si la
  capitalización de los intereses fuera trimestral?

1/3
0
1
1/3
1/3
1,000
1,025
1,103.8
1,050.625
1,076.89
C0
C4 C0 (1k/4)4 1,103.8 1,000 (10.1/4)4
13
Interés compuestoEjercicio 2

• Para un capital de 1,000 un banco nos ofrece dos
  opciones de inversión a plazo fijo
• Opción 1 12 anual, capitalizable semestralmente
• Opción 2 11.768 anual, capitalizable
  bimestralmente
• Cuál es la opción más conveniente, para una
  colocación a 1 año de plazo?
• Opción 1 1,000 (10.12/2)2 1,123.60
• Opción 2 1,000 (10.11768/6)6 1,123.60

14
Equivalencia de tasas

• Dos tasas de interés con diferente período de
  capitalización son equivalentes si producen el
  mismo interés compuesto al final de un año
• Ejemplo 2 anterior
• 11.768 anual capitalizable bimestralmente es
  equivalente a
• 12 anual capitalizable semestralmente es
  equivalente a
• 12.36 anual capitalizable anualmente

15
Equivalencia de tasasEjercicio 3

• A qué tasa de capitalización anual es
  equivalente una tasa del 13 anual capitalizable
  trimestralmente?
• (1 kCA) (1 kCT/4)4 ? kCA (1 kCT)4 - 1
• kCA (1 0.13/4)4 (1 0.0325)4 13.648

16
Tasas nominal y efectiva

• Cuando el interés es capitalizable más de una vez
  por año,
• La tasa anual dada se llama tasa nominal anual
• La tasa efectivamente ganada se llama tasa
  efectiva anual
• Ejemplo 3
• Tasa nominal anual 11.768
• Tasa efectiva anual 12.36

17
Tasas nominal y efectivaRelación

• Para un cálculo preciso,
• 1 TE(m) (1 TNA . t/365)m/t
• TE(m) (1 TNA . t/365)m/t - 1
• (para un cálculo menos preciso puede usarse un
  año de 360 días)
• Donde
• TNA tasa nominal anual vencida
• TE(m) tasa efectiva para los m días
• m número de días del período cuya tasa se busca
• t número de días del subperíodo de
  capitalización

18
Tasas efectiva y nominalEjemplo 4

• Sea TNA 12
• Si el período de capitalización es mensual, cuál
  es la tasa efectiva para un depósito a 60 días?
• TE(60) (1 12 . 30/365)60/30 - 1 1.982
• 1,000 depositados a 60 días a una TNA 12
  capitalizable mensualmente generarán 19.82 de
  interés

19
Tasas efectiva y nominalEjemplo 5

• Sea TNA 12
• Si el período de capitalización es mensual, cuál
  es la tasa efectiva para un depósito a un año de
  plazo?
• TE(365) (1 12 . 30/365)365/30 - 1
  12.68342
• TE(365) (1 12 . 30/360)360/30 - 1
  12.68250

20
Tasa efectiva anual

• Es la tasa resultante de una colocación a la tasa
  efectiva periódica por los períodos necesarios
  para completar un año
• TEA (1 TE(m))365/m
• O, de manera aproximadamente equivalente
• TEA (1 TNA . t/365)365/t

21
Tasa efectiva anualEjemplo 6

• En el Ejemplo 4,
• TNA 12, capitalizable mensualmente
• TE(60) 1.982
• De allí,
• TEA (1 TE(m))365/m - 1
• TEA (1 0.01982)365/60 - 1
• TEA 12.68119
• TEA (1 12. 30/365) 365/30 1 12.68342

22
Ejercicio 4

• Si TE(60) 1, cuál es la TEA?
• TEA (1 TE(m))365/m - 1
• TEA (1 0.01)365/60 - 1
• TEA 6.24

23
Ejercicio 4 (Cont.)

• Si el período de capitalización es de 30 días,
  cuál es la TNA?
• 1 TE(60) (1 TNA . 30/365)60/30
• ?TNA (1 TE(60))30/60 1) (365/30)
• TNA (1 0.01)30/60 1) (365/30)
• TNA 6.068

24
Interés compuestoPeríodo de capitalización
continuo

• Si el período de capitalización es muy pequeño
  (diario, horario, por minutos o segundos), se
  trata de capitalización continua
• En ese caso, si
• TEA (1 TNA . t/365)365/t
• t tiende a hacerse infinitamente pequeño, y
• TEA eTNA
• TEA eTNA.n
• Donde e 2.718 y n la cantidad de años

25
Ejercicio 5

• Se invierten 1,000 al 11 anual, capitalizados
  continuamente, por dos años. Cuánto se obtendrá
  al final de la inversión?
• 1,000 e0.11x2 1,000 e0.22 1,000 . 1.246
  1,246

26
Valor actual
27
Valor futuro y actualConcepto

• El interés compuesto acumula intereses sobre un
  capital inicial, hasta una fecha dada
• El monto así obtenido es el valor futuro del
  capital inicial
• Inversamente, el capital inicial es el valor
  actual del monto a recibir en el futuro

28
Valor futuro y valor actualEjemplo 6
Valor futuro (VF) de 100
Valor actual (VA) de 106
29
Valor actualDefinición

• El valor actual de una cantidad futura expresa
  cuánto vale esa cantidad a pesos de hoy
• VA VF / (1 k)n
• Donde
• VA Valor actual
• VF Valor futuro
• k tasa de actualización, interés o descuento
• n período donde se recibirá el valor futuro

30
Valor actualEjemplo 7

• Un tío rico le informa que dentro de 6 años le
  hará un legado de 1 millón. Ud., que lleva una
  vida disipada, está dispuesto a recibir menos
  dinero, si lo recibe ya. Una tía generosa le
  ofrece 507 mil, si Ud. le transfiere el derecho
  a cobrar el legado. Si su tasa de interés es 12
  anual, le conviene la propuesta?

31
Valor actual y valor futuro Despejando
incógnitas

• Si VA VF/(1k)n
• Entonces,

32
Valor actual y valor futuroEjemplo 8

• Cuánto tiempo se demorará en acumular 2,250 si
  se depositan 1,000 al 1 mensual, capitalizable
  mensualmente?

33
Valor actual y valor futuroEjercicio 6

• A qué tasa se deberá depositar 1,000 para
  obtener 2,250 en 82 meses?

34
Valor actual neto

• El valor actual ofrece cuánto vale hoy un bien
  futuro
• En ocasiones, acceder a ese pago futuro implica
  una erogación hoy
• El valor actual neto es la diferencia entre el
  valor actual del pago futuro y la inversión
  necesaria

35
Valor actual netoEjemplo 8

• Un conocido le propone comprar una casa
  deteriorada para reciclarla y venderla. La
  inversión (compra más arreglo) asciende a 250
  mil. Si pudiera venderla en 300 dentro de 6
  meses, le convendría el negocio?

36
Valor actual netoEjemplo 8 - Solución
37
Valores actuales y tasas de descuento

• Para obtener el valor actual de un valor futuro
  se requiere una tasa de descuento
• La tasa de descuento se define como el interés
  que se hubiera ganado de haber invertido en la
  mejor inversión alternativa

38
Tasas de descuentoEjemplo 9

• En el ejemplo 8, la opción a comprar la casa,
  reciclarla y venderla era invertir los 250 mil
  en una inversión financiera de riesgo
  equivalente.
• El interés utilizado para descontar los 300
  futuros es lo que hubiera rentado invertir 250
  por 6 meses.

39
Tasas de descuento y tasas de retorno

• En el ejemplo 8, la inversión en la casa obtuvo
  un retorno del 13.2

• Esta inversión es muy interesante, pues rinde un
  retorno superior a su tasa de descuento

40
Relación entre valores actuales y valores futuros

• El valor actual de un valor futuro es siempre
  menor que ese valor futuro
• 1 hoy vale más que 1 mañana
• Por que los actuales se pueden invertir y ganar
  interés por un período
• Porque los actuales son en general menos
  riesgoso que los futuros

41
Valor actual y valor futuroEl rol de los
mercados de capitales

• El concepto de valor actual y valor futuro
  permite establecer equivalencias entre recibir
  (hacer) un pago hoy o en el futuro
• En la práctica, eso es posible debido a la
  existencia de un mercado de capitales
• El mercado de capitales es simplemente un mercado
  donde la gente intercambia de hoy por
  futuros, y viceversa

42
Mercado de capitalesFuncionamiento

• Suponga que Ud. tiene
• 20,000 en la mano
• 25,000 a recibir dentro de un año
• Sus opciones son
• Consumir 20,000 hoy y 25,000 en un año
• No consumir nada hoy, invertir los 20,000 y
  consumir dentro de un año 20,000 (1k) 25,000
• Consumir todo hoy 20,000 25,000/(1k)

43
Opciones entre consumo presente y consumo futuro
Si k7, su riqueza total es 43.4 (a de hoy) o
46.4 (a futuros)
46.4
21.4 20 (10.07)
Pendiente (10.07)
Invierte 20 para consumir todo el año próximo
25
20
43.4
Pide prestado el valor actual de 25 para
consumir todo hoy
23.4 25/(10.07)
44
Mercado de capitales e inversión en activos
reales
A medida que se va invirtiendo en proyectos no
financieros, el retorno de los mismos disminuye
46.4
37.8
25
Rtn(P1) (25-10)/10 2.5 Rtn(P2) (13-10)/10
1.3 Rtn(P1) (9-10)/10 -0.1
43.4
Proyecto1 10 mil
Proyecto 3 10 mil
Proyecto 2 10 mil
45
Mercado de capitales e inversión en activos
reales
D
0B (1 k)
Flujo futuro de la inversión
C
0
A
B
E
Inversión en activos reales
VAN 0C/(1k)-AB BE - AB
46
Moraleja

• Al invertir en activos reales y ahorrar o pedir
  pedir prestado en el mercado de capitales, el
  inversor puede colocarse en cualquier punto de DE
• Tiene más para gastar, hoy o mañana, que si
  invirtiera solo en el mercado de capitales o solo
  en activos reales
• La riqueza se maximiza cuando se invierte en
  activos reales hasta igualar el costo de
  oportunidad del capital (DE // CA) ? El VAN es el
  máximo alcanzable
• El mercado de capitales permite alcanzar luego la
  combinación adecuada de consumo presente y futuro

47
Consecuencia de la moraleja

• La regla para dirigir una empresa se reduce a
  maximizar el valor de la misma para los
  accionistas
• Logrado eso, éstos elegirán la pauta temporal de
  consumo que prefieran
• Supuesto fuerte libre acceso al mercado de
  capitales
• Maximizar la riqueza elegir todos los proyectos
  que tengan un VAN positivo

48
Valor actual de flujos de más de un período

• Los proyectos generan flujos por más de un
  período
• El valor actual neto de un proyecto de esas
  características puede calcularse como

49
Valor actual de anualidades

• Si F1 F2 ... Fn

Coeficiente para el cálculo del valor actual de
una anualidad constante
50
Valor actual de anualidades

• Si F1 F2 ... Fn y n ?0

Valor actual de una perpetuidad constante