Cobertura do Tabuleiro de Xadrez

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História de Guerra - Cobertura do Tabuleiro de
Xadrez
Projeto e Análise de Algoritmos
Professora Dra. Diane Castonguay André da Cunha
Ribeiro andre_at_cefetrv.edu.br Geoflávia
Guilarducci de Alvarenga geoflavia_at_inf.ufg.br
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Tópicos

• O jogo de Xadrez
• Idéias Centrais
• Problema da cobertura do tabuleiro de xadrez
• O algoritmo do backtracking
• Técnica de Podagem (Pruning)
• Podagem aplicada à História de Guerra
• Considerações Finais
• Lição Aprendida

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História de Guerra - Cobertura do Tabuleiro de
Xadrez - Parte I
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Rei
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Dama
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6
Cavalo
Voltar
7
Bispo
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8
Torre
Voltar
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Idéias Centrais História de Guerra

• O jogo de xadrez inspirou vários problemas de
  combinação
• Em 1848, Kling propôs a seguinte questão
• Se todos os 64 quadrados do tabuleiro podem ser
  fortemente ameaçados simultaneamente por um
  arranjo das 8 peças principais no tabuleiro de
  xadrez
• Configurações que simultaneamente ameaçam 63
  quadrados foram conhecidas por muitos anos

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Vejamos algumas considerações

• Considere as 8 peças principais do xadrez
• Quantos modos as peças podem ser posicionadas no
  tabuleiro de xadrez?
• O número de posições aproximado é de 1015

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Busca exaustiva

• Este problema parece bem maduro para solução de
  pesquisa exaustiva de combinação
• O algoritmo do backtracking (regressão)

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• Backtrack(A)
• Calcule S1, conjunto dos primeiros elementos
  candidatos da solução A.
• k 1
• enquanto k gt 0 faça
• enquanto Sk ltgt 0 faça (avanço)
• ak próximo elemento de sk
• sk sk - ak
• se A (a1, a2, a3, , an) é uma solução,
  imprima isso.
• k k 1
• fim enquanto
• k k - 1 (backtrack)
• fim enquanto

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Considerações

• A história de guerra seria solucionável usando a
  técnica Backtracking, dependendo do tamanho do
  espaço de procura.

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Podagem (Pruning)

• BackTracking
• Sua eficiência depende da sofisticação do
  esquema de poda da árvore de soluções.

Como efetuar essa podagem ?
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Podagem (Pruning)

• Técnica de eliminação de busca que atua no
  momento que estabelecemos que tal solução parcial
  não pode ser estendida na solução que nós
  almejamos.

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Podagem

• Árvore pode ser podada através do uso de
  heurísticas de acordo com a aplicação.
• Há uma redução da complexidade de busca de
  maneira significativa.

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Podagem aplicada à História de Guerra

• BackTracking gt gera uma combinação exaustiva de
  posições. Mas algumas poderiam ter sido podadas.
• Quais são as posições candidatas a serem podadas?
• São aquelas que não oferecem ameaça para uma dada
  peça.

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Podagem aplicada à História de Guerra

• Exemplos
• 1. Remoção de simetrias
• Considerando as simetrias
• ortogonais e diagonais, haverá
• somente 10 posições diferentes
• para a Rainha.

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Podagem aplicada à História de Guerra

• Exemplos (cont.)
• 1. Remoção de simetrias (cont.)
• Uma vez que a Rainha é colocada, há 2080 modos
  diferentes para posicionar um par de Torres ou
  Cavalos.
• 64 lugares para localizar o Rei.
• 32 lugares para cada um dos Bispos.

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Podagem aplicada à História de Guerra

• Exemplos (cont.)
• 2. Sp que já tivéssemos colocado 7 peças no
  tabuleiro, e juntas elas cobririam todos menos 10
  quadrados no tabuleiro e a peça restante fosse o
  Rei.
• Existe alguma posição possível para colocar o Rei
  de forma que todos os quadrados são ameaçados?

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Cobertura do Tabuleiro de Xadrez

• BackTracking
• Podagem
• Eliminação acima de 95 do espaço de pesquisa.

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Cobertura do Tabuleiro de Xadrez

• Considerações usadas na solução
• Os tabuleiros de xadrez podem ter qualquer número
  de peças, e mais de uma peça num quadrado.

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Cobertura do Tabuleiro de Xadrez

• Dois tipos de ataques num quadrado
• ataque forte e ataque fraco.

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Cobertura do Tabuleiro de Xadrez

• Passos principais do algoritmo
• Listar todas as configurações dos tabuleiros nas
  quais todo quadrado é fracamento atacado.
• Filtrar a lista considerando bloqueios e
  tabuleiros com n ou pouco menos quadrados
  seguros.

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Considerações Finais

• Sobre o algoritmo
• Não encontrou uma configuração que cobrisse todos
  os 64 quadrados, porém, mostrou que é possível
  cobrir um tabuleiro com 7 peças se a Rainha e um
  Cavalo possam ocupar o mesmo quadrado.

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Considerações Finais

• Configuração gerada pelo algoritmo

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Outros problemas 2

• Percurso do Cavalo no Tabuleiro de Xadrez
• Problema das 8 Rainhas
• Problema do Casamento Estável

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Lição Aprendida

• Uma ou mais estratégias de podagem usadas de
  maneira inteligente podem otimizar o trabalho de
  problemas de busca ou de pesquisa combinatória de
  maneira surpreendente.

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Referências Bibliográficas

• 01 http//www2.toki.or.id/book/AlgDesignManual/B
  OOK/BOOK/NODE.htm
• 02 Wirth, Niklaus. Algoritmos e Estruturas de
  Dados. Editora LTC, 1989.

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• Dúvidas ?

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• Fim
• Obrigado !
• André da Cunha Ribeiro
• Geoflávia Guilarducci de Alvarenga