Quadrati Magici

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Quadrati Magici

• Tesina di
• Cristina Colautti
• 4aB - Tur A.S. 2005-/06

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I quadrati magici

• Introduzione allargomento
• Che cosè un quadrato magico
• Caratteristiche basilari
• Tipi di quadrati
• Magici e semimagici
• Panmagici
• Bimagici e trimagici
• Quadrato latino
• Personaggi citati in questa parte
• Storia
• Origini
• Il caso Melancolia di Dhürer
• Sagrada Familia
• I personaggi citati nella parte
• Conclusioni
• È solo matematica?
• Chiusura

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Cosè un quadrato magico

• Un quadrato magico è un quadrato suddiviso in un
  certo numero di caselle e nel quale un numero
  componente la serie aritmetica corrispondente al
  numero delle caselle viene scritto una sola volta
  e in modo tale che la somma di ciascuna riga, di
  ciascuna colonna o di ciascuna diagonale sia
  sempre la stessa.
• Il risultato del quadrato magico è chiamato
  chiave del quadrato.
• I numeri utilizzati per formare un quadrato
  magico sono quelli naturali 1,2,3,4,5

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Caratteristiche basilari

• I quadrati magici costruiti con i numeri hanno le
  seguenti caratteristiche
• Sono formati da un minimo di tre caselle per
  lato (non esistono quadrati magici con due
  caselle per lato e quelli costituiti da una sola
  casella non sono, ovviamente, interessanti)
• I numeri che vengono utilizzati per riempire le
  caselle devono essere in una sequenza (si
  utilizzano ad esempio i numeri da 1 a 9, da 1 a
  16, oppure anche da 0 a 15, e così via) e non
  possono essere ripetuti
• I numeri della sequenza devono essere disposti
  nelle caselle in modo che la somma di ciascuna
  riga, la somma di ciascuna colonna e la somma di
  ciascuna diagonale diano come totale un valore
  sempre identico.

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• Il numero di righe e di colonne si chiama ordine
  del quadrato (per esempio un quadrato formato da
  3 righe e 3 colonne è un quadrato magico di
  ordine 3 oppure un quadrato formato da 4 righe e
  4 colonne è un quadrato magico di ordine 4 e così
  via..)
• La costante magica, o semplicemente costante, è
  invece il totale della somma a fine colonna o a
  fine riga o a fine diagonale.
• La costante del quadrato magico vale
• k ((n21)/2)n
• dove n sta per il numero delle caselle per lato.

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• Quadrato di ordine 3, 4 e dispari
• In un quadrato di ordine 3, ad esempio, la
  costante è pari a 1/2(273)15
• In un quadrato di ordine 4, ad esempio, la
  costante è pari a ((161)/2)434.
• Nei quadrati magici di ordine dispari (3, 5, 7 e
  così via) la costante è sempre uguale alla metà
  della somma tra il valore dell'ordine elevato al
  cubo e il valore dello stesso ordine.
• In pratica k1/2(n3n)

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Tipi di quadrati

• Esistono molti tipi di quadrati magici i più
  noti sono quelli realizzati con i numeri, ma se
  ne possono inventare anche con le lettere
  dell'alfabeto un esempio è il quadrato pompeiano
  (o latercolo latino).

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• Magici e semimagici
• Questo è un esempio di un quadrato
  magico di ordine 3 e la sua costante
  magica è 15.
• Un quadrato è detto semi-magico se sono uguali
  soltanto i totali delle righe e delle colonne.
• I quadrati magici 3 per 3 e 4 per 4 non sono
  ovviamente i soli possibili anzi, modificandoli
  appropriatamente ed aggiungendo loro dei bordi si
  possono ottenere quadrati 5 per 5 e 6 per 6, da
  cui si possono poi ottenere quadrati 7 per 7 e 8
  per 8, e cosi via. In altre parole, quadrati
  magici n per n esistono per ogni n maggiore di 2.

2 7 6
9 5 1
4 3 8
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• Panmagici
• Oltre alle diagonali principali, che nel caso
  dell'esempio sono le terne (2, 5, 8) e (6, 5, 4),
  si possono considerare anche le diagonali
  spezzate, vale a dire (7, 1, 4) (6, 9, 3) (2,
  1, 3) e (7, 9, 8). Così, un quadrato magico si
  dice panmagico o pandiagonale se anche la somma
  di ogni diagonale spezzata è uguale alla costante
  del quadrato magico.
• Il quadrato magico di ordine 3
  mostrato nella diapositiva prima
  non è panmagico,
  mentre quello a fianco
  di ordine 4, è panmagico di costante 34.

1 8 10 15
12 13 3 6
7 2 16 9
14 11 5 4
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• Bimagico e trimagico
• Un quadrato magico si dice bimagico, o
  doppiamente magico, se rimane magico anche dopo
  aver sostituito i suoi elementi con i rispettivi
  quadrati analogamente si dice trimagico se
  rimane magico dopo averne sostituito gli elementi
  con i rispettivi cubi.

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• Tipo latino
• Il quadrato latino, un "parente" lontano del
  quadrato magico, è un quadrato che ha per
  elementi gli interi 1, 2, ..., n (o qualunque
  altro gruppo di n numeri distinti), ciascuno dei
  quali ripetuto n volte, disposti in modo che gli
  interi di ogni fila e di ogni colonna siano tutti
  distinti. Così sono esempi di quadrati latini.
• Se si sovrappone il secondo sul primo, mantenendo
  lo stesso ordine di ciascuno, si ottiene il
  quadrato di coppie in cui nessuna coppia si
  ripete.
• Un quadrato di coppie senza ripetizioni, come
  quello in figura, si chiama quadrato di Eulero,
  dal nome del matematico svizzero Leonhard Euler,
  o quadrato greco-latino.

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• Personaggi citati in questa parte

Leonhard Euler Nonostante i problemi
alla vista che lo afflissero fin dalla giovane
età, Eulero fu un grande matematico, il cui
contributo andò sia alla disciplina pura che a
quellla applicata. Oltre che di algebra,
trigonometria e calcolo infinitesimale, si occupò
infatti anche di acustica, meccanica, astronomia
e ottica.
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Storia

• Origini
• Sembra che i primi a scoprire le proprietà dei
  quadrati magici siano stati i cinesi ai tempi
  della dinastia Shang, nel duemila a. C. Una
  curiosa leggenda narra che un pescatore trovò
  lungo le rive del fiume Lo, un affluente del
  fiume Giallo, una tartaruga che portava incisi
  sul suo guscio degli strani segni geometrici. Il
  pescatore portò la tartaruga allimperatore e i
  matematici al suo servizio studiando quei segni,
  scoprirono una imprevedibile struttura un
  quadrato di numeri con somma costante 15 su ogni
  riga, colonna o diagonale. Lo Shu, così venne
  battezzato questo quadrato numerico, diventò uno
  dei simboli sacri della Cina, rappresentazione
  dei più arcani misteri della Matematica e
  dellUniverso.

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• I cinesi attribuirono alle sue proprietà
  matematiche un significato mistico, tanto da
  farne il simbolo che in sè riuniva i princìpi che
  formarono le cose, gli uomini e l'universo.Così i
  numeri pari vennero a simbolizzare il principio
  femminile dello yin, mentre i dispari quello
  maschile dello yang. Al centro vi è il numero 5
  che appartiene alle due diagonali, alla colonna e
  alla riga centrali esso rappresenta la Terra.
  Tutto attorno sono distribuiti i quattro elementi
  principali i metalli simbolizzati dal 4 e dal 9,
  il fuoco indicato dal 2 e dal 7, l'acqua dall'1 e
  dal 6 e il legno dal 3 e l8.

I quadrati magici probabilmente giunsero in
Occidente attraverso gli Arabi.
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• Dal Rinascimento in poi cè sempre stato
  interesse per queste figure che, intagliate nel
  legno o in altri materiali, servivano come
  amuleti e sono tuttora in uso in alcune regioni
  dellOriente. Nel '500 e nel '600 si pensava che
  questi quadrati magici incisi su una piccola
  lastra dargento potessero servire come amuleti
  contro la peste.Anche il matematico Cornelio
  Agrippa (1486-1535) si interessò alla costruzione
  dei quadrati magici ne costruì di ordine
  3,4,5,6,7,8,9. Lalone di mistero e di magia che
  circonda queste figure geometriche è in parte
  comprensibile se si analizzano le loro
  sorprendenti possibilità combinatorie.

Agrippa di Nettesheim, Heinrich Cornelius
(Nettesheim, Colonia 1486 - Grenoble 1535),
filosofo tedesco. Si dedicò a studi medici,
astrologici e alchimistici, coltivando la
conoscenza dell'ebraico al fine di approfondire
la dottrina della cabala. I suoi interessi, quali
traspaiono specialmente dall'opera De occulta
philosophia (1533), ne fanno un tipico esponente
dell'ermetismo e della cultura magica e
occultistica dell'età rinascimentale ma il suo
pensiero si avvicinò anche ai temi dello
scetticismo, che egli introdusse nella cultura
rinascimentale con l'opera De incertitudine et
vanitate omnium scientiarum (Dell'incertezza e
vanità di tutte le scienze, 1530).
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• Il caso Melancolia di Dhürer
• Uno tra più noti quadrati magici è sicuramente
  quello che compare nellincisione di Dürer,
  Melancolia la data dell'opera è il 1514, ed è
  riportata nelle due caselle centrali dell'ultima
  riga. Questo quadrato veniva spesso inciso su un
  piatto d'argento, e regolarmente usato come
  talismano contro la peste.

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
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• Personaggi citati in questa parte

Albrecht Dürer Dürer Autoritratto Un
celebre Autoritratto (1498, Museo del Prado,
Madrid) di Albrecht Dürer in eleganti abiti
rinascimentali. Il dipinto fu realizzato dal
pittore ventiseienne e sarà seguito da altri
famosi autoritratti, con i quali Dürer pare
indagare e mettere in questione spesso con
accenti drammatici la sua persona, il suo ruolo
sociale, il suo valore artistico.
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• Il caso Sagrada Familia di Antoni Gaudi
• Si può trovare un altro esempio di quadrato
  magico anche nella cattedrale La Sagrada
  Famiglia dellarchitetto Antoni Gaudì a
  Barcellona precisamente sulla Facciata della
  Passione (opera dello scultore Joseph Maria
  Subirachs) dietro la statua di Giuda che bacia
  Gesù, oltre ad un serpente che rappresenta il
  diavolo, c'era infatti la seguente tabella di 16
  numeri.
• E' interessante notare che la somma dei numeri di
  ciascuna riga, di ciascuna colonna e di ciascuna
  diagonale è sempre la stessa, cioè 33 che si
  riferisce alletà che aveva Cristo quando morì
  ci sono infatti 88 modi in cui quattro numeri
  della tabella danno come somma 33.

1 14 14 9
11 7 6 5
8 10 10 4
13 2 3 15
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Sagrada Familia, Barcellona L'incompiuta chiesa
neogotica della Sagrada Familia è il fantasioso
capolavoro dell'architetto catalano Antoni Gaudí,
che l'iniziò nel 1883 e nel 1891 ne concluse le
tracce generali. Nel 1908 egli pubblicò la prima
immagine definitiva del tempio, che non riuscì a
portare a termine Gaudí perse la vita in un
incidente nel 1926. Nel 1979 i lavori nella
chiesa ripresero sulla base del progetto
originale, nonostante i pareri discordi intorno
al destino dell'opera, che molti ritenevano
dovesse restare nella sua forma incompleta come
monumento all'estrosità e all'audacia creativa
del suo autore. Robert Frerck/Woodfin Camp and
Associates, Inc.
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• Personaggi citati in questa parte

• Gaudí i Cornet, Antoni (Reus, Catalogna 1852 -
  Barcellona 1926)
• Nel 1883 l'architetto intraprese il progetto
  della chiesa della Sagrada Familia la quale,
  sebbene rimasta incompiuta e tuttora in fase di
  lenta realizzazione, è ritenuta il suo
  capolavoro. Per struttura e per effetti cromatici
  l'edificio non ha eguali nell'architettura
  europea le forme fantasiose e le alte guglie
  ricoperte di mosaici sono divenute una sorta di
  simbolo di Barcellona. Fra gli altri lavori di
  Gaudí famosi sono la Casa Batlló (1905-1907) e la
  Casa Milá (1905-1910). Queste grandi strutture,
  in pietra e ferro, riducono al minimo le linee
  rette e le superfici piatte tramite l'uso di
  aperture arrotondate a distanza irregolare il
  tetto e i balconi hanno un andamento che richiama
  le onde marine.

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Conclusioni

• È solo matematica ?
• Da molto tempo luomo cerca di conoscere il mondo
  in torno a se conosciuto o sconosciuto , fisico
  od astratto. La matematica si sa è una scienza
  esatta, pertanto con essa ed in essa si cercano
  risultati certi, provati, sicuri. Luomo riversa
  speranze e valuta le soluzioni di ogni tipo certo
  che Dio, nel creare ogni cosa, non gioca a dadi
  come esclamò Albert Ainstein.
• La storia dei quadrati magici di mostra però che
  l uomo ha voluto usare i numeri per andare oltre
  iniziando così a cercare nei numeri e nelle loro
  combinazioni ciò che non è scritto come dimostra
  la scienza divinatoria della numerologia oppure
  per sfuggire a ciò che non conosce.
• Luomo si distrae dalle sue ansie che ogni tanto
  la vita gli riserva con i numeri giocando con
  essi ai vari giochi come ai quadrati del sudoku e
  dai giochi in cui può sfidare la fortuna o il
  caso che sono coloro che a volte scandiscono la
  sua stessa vita.
• I quadrati magici sono un divertimento del
  passato? Come si è visto nella legenda cinese, i
  quadrati magici nascondono qualcosa? I quadrati
  magici hanno valore pratico nella vita
  scientifica e di tutti i giorni? La risposta a
  queste domande dipende da chi si accosta a questi
  giochi numerici, ma una cosa è certa davanti ad
  un quadrato magico ogni persona esprimerà ciò che
  è interiormente come un bravo artista dipingerà
  ciò che più gli sta a cuore sul suo quadrato di
  tela. Forse, la magia dei quadrati è questa.
  Forse non è solo matematica.

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• Lavoro svolto da
• Cristina Colautti
• Fonti del materiale
• Provider Google
• Microsoft Student 2006
• Enciclopedia Encarta Compatta
• 4aB Tur
• A.S. 2005-/06