Statistica analitica

1
Statistica analitica
2
Probabilitati

• Probabilitatea unui eveniment specificat este
  fractiunea sau proportia din toate evenimentele
  posibile ale evenimentului specificat intr-o
  succesiune aproape nelimitata a probelor in
  conditii similare.
• Probabilitatea unui eveniment nu poate fi mai
  mare de 1 (100) sau mai mica decat 0 (0).

3
Aplicatii

• Valorile probabile intr-o populatie sunt
  distribuite intr-o maniera definita care poate fi
  folosita pentru a analiza populatia.
• Valorile probabile care nu urmeaza o distributie
  pot fi analizate folosind metode neparametrice.

4
Tipuri

• Cele mai uzuale distributii de probabilitate
  sunt
• a. distributia binomiala
• b. distributia normala
• c. distributia t
• d. distributia ?2 (Chi)

5
Calcul

• Probabilitatea unui eveniment este determinata de
  formula
• Pr (A) n/N
• Pr (A) probabilitatea evenimentului A
• n nr. de cate ori evenimentul A s-a produs
• N nr. de cate ori evenimentul A este posibil sa
  se produca (nr. total de evenimente posibile)

6
Reguli de calcul a probabilitatilor

• Regula aditiva daca avem cel putin doua
  evenimente mutual exclusive sau disjuncte
  (realizarea unuia inseamna automat nerealizarea
  celuilalt) atunci probabilitatea lui A sau B se
  calculeaza prin insumarea probabilitatilor
  fiecarui eveniment.
• Calcul Pr(A sau B)Pr(A)Pr (B)

7
Reguli de calcul a probabilitatilor

• Regula multiplicativa se aplica in situatia a 2
  sau mai multe evenimente independente care se
  produc concomitent si consta in multiplicarea
  probabilitatilor individuale ale evenimentelor.
• Calcul Pr(A si B)Pr(A)xPr(B)

8
Ipoteza nula

• H0 este ipoteza care postuleaza faptul ca
  esantioanele sau populatiile pe care le avem de
  comparat in cadrul unui studiu, experiment sau
  test sunt similare, sau cu alte cuvinte, orice
  diferenta este atribuita sansei si nu unui anumit
  factor.

9
Aplicatii si caracteristici

• Ipoteza nula postuleaza absenta unor deosebiri
  care pot aparea in orice problema de comparare
  statistica.
• Este folosita pentru a defini semnificatia
  diferentei. Semnificatia diferentei, numita si
  semnificatie statistica, este concluzia ca
  diferenta intre esantioane, populatii sau ambele,
  este datorata unor factori altora decat sansa.
• Diferenta semnificativa apare cand ipoteza nula
  este respinsa.

10

• Cand ipoteza nula este respinsa, cel putin una
  din ipotezele alternative este acceptata, deci
  diferenta poate fi explicata prin alt factor
  decat sansa.
• Cand nici o diferenta nu poate fi sustinuta intre
  2 populatii, inseamna ca se accepta ipoteza nula,
  dar nu inseamna ca mediile populatiilor sunt
  identice.
• Valoarea probabilitatii pentru care diferenta se
  datoreaza numai sansei se numeste nivel de
  semnificatie. Daca el este de maximum 5 atunci
  ipoteza nula este respinsa si o ipoteza
  alternativa este acceptata spunem ca diferenta
  este statistic semnificativa.

11

• Nivelul de semnificatie se noteaza cu a sau
  p-value si este ales de cercetator a priori.
• In orice procedeu de comparare se pot emite 2
  tipuri de erori
• Eroarea de speta I care reprezinta decizia de a
  respinge ipoteza nula cand ea este adevarata
• Eroarea de spata aII-a care reprezinta decizia de
  a accepta ipoteza nula cand aceasta este falsa.

12

• Probabilitatile erorilor asociate sunt
• Pr (respH0/H0adevarat)ariscul erorii de speta
  I
• Pr(acceptH0/H0fals)ßriscul erorii de speta
  aII-a
• 1- ß puterea testului
• Pe baza acestei interpretari, in spatiul
  esantioanelor multimea valorilor posibile
  calculate se divide in 2 intervale
• Intervalul de acceptare sau intervalul critic
  reprezinta multimea valorilor pentru care daca o
  valoare a statisticii calculate se inscrie
  printre valorile sale, se accepta ipoteza nula.
• Intervalul de respingere reprezinta multimea
  valorilor pentru care daca o valoare a
  statisticii calculate prin test se inscrie
  printre valorile sale se respinge ipoteza nula.

13

• Diferentele statistic semnificative pot sa nu fie
  semnificative clinic, si diferentele clinic
  importante pot sa nu fie statistic semnificative.
• Ipoteza nula poate fi testata fie prin test
  unilateral one-tailed test sau bilateral
  two-tailed test

14
Testul unilateral

• Este acel test pentru care intervalul de
  respingere este format (dupa distributia normala)
  dintr-o singura coada stanga sau dreapta testul
  fiind unilateral stang sau drept.
• Este folosit pentru a testa o ipoteza nula pentru
  care ipoteza alternativa este directionata,
  comparatia facandu-se intr-un singur sens , si
  este mai puternic ca un test bilateral.

15
Testul bilateral

• Este acel test pentru care intervalul de
  respingere este format din 2 cozi-in stanga si
  in dreapta curbei
• Este folosit pentru a testa o ipoteza nula
  nefiind necesara nici o presupunere privind
  ipoteza alternativa
• Se folosesc cand generam ipotezele alternative si
  sunt mai utilizate in comparatie cu testele
  unilaterale

16
Calcul

• H0P1-P00 sau P1P0
• HaP1-P00 sau P1P0
• Unde P1 este probabilitatea caracteristicii
  studiate in esantion, iar P0 este probabilitatea
  aceleiasi caracteristici in populatie sau o
  probabilitate teoretica sau din literatura.

17
Tabele de contingenta si grade de libertate

• Reprezinta o clasificare a datelor in functie de
  2 criterii in cadrul carora datele sunt in
  continuare divizate in 2 sau mai multecategorii
  discrete si mutual exclusive.
• Tabelul de contingenta in care sunt mai mult de 2
  categorii pentru fiecare din cele 2 criterii este
  numit tabelul rxc.
• Un tabel de contingenta in care avem numai 2
  categorii pentru fiecare din cele 2 criterii de
  grupare este numit tabelul 2x2

18
Aplicatii

• Este o metoda simpla de prezentare a datelor si
  mult folosita cand aplicam testul chi patrat sau
  alte teste neparametrice.
• Tabelul 2x2 se foloseste in domeniul
  epidemiologiei.

19
Grade de libertate

• Este un numar legat de efectivul valorilor
  dintr-o serie sau o distributie el poate fi in
  mod liber atribuit cand suma valorilor este
  fixata.
• Intr-un tabel de contingenta, gradele de
  libertate reprezinta numarul celulelor din tabel
  carora li se pot atribui in mod liber valori,
  presupunand totalul si valorile marginale
  stabilite.
• Daca valorile din aceste celule au fost
  stabilite, valorile tuturor celulelor ramase din
  tabel sunt determinate in mod automat.

20
Aplicatie si calcul

• In cadrul unor distributii de probabilitate, cum
  ar fi distributia t si distributia ?2
  valorile probabilitatilor de respingere a
  ipotezei nule variaza in functie de numarul de
  grade de libertate ale esantionului.
• Calcul cand distributia are fie o singura linie,
  fie o singura coloana, numarul de grade de
  libertate este determinat prin formula dfc-1,
  daca r1 sau dfr-1, daca c1
• Cand tabelul are cel putin 2 linii si/sau cel
  putin 2 coloane, nr. de grade de libertate este
  determinat de formula df(r-1)x(c-1)

21
Distributia unui esantion de 100 nou-nascuti in
functie de sex si de mediul de rezidenta
Criteriul A (sex) Criteriul A (sex) Criteriul A (sex) Criteriul A (sex)
Criteriul B (mediu) Masculin Feminin Total
Urban a (21) b (19) ab (40)
Rural c (32) d (28) cd (60)
Total ac (53) bd (47) n (100)
22
Distributia binomiala

• Este acea distributie a rezultatelor obtinute in
  cadrul unui experiment, cand acestea au numai
  valori discrete si mutual exclusive.
• Aplicatii este folosita cand ne referim la
  probabilitatea a 2 rezultate mutual exclusive
  intr-un numar cunoscut de probe. Probabilitatea
  fiecaruia dintre cele 2 rezultate este aceeasi in
  fiecare proba, dar rezultatul fiecarei probe este
  independent de rezultatul altei probe.

23
Calcul

• Pentru o distributie binomiala, probabilitatea
  este data de formula
• f(x) n!/x!(n-x)!pxqn-x
• f(x) probabilitatea obtinerii valorii x in probe
• pprobabilitatea unuia din cele 2 rezultate
  posibile (un succes) intr-o singura proba
• qprobabilitatea celuilalt rezultat posibil (un
  esec) intr-o singura proba
• nnr. total de probe din cadrul experimentului
• xnr. de succese obtinute in cadrul unui
  experiment de n probe
• n-xnumarul de esecuri obtinute in cadrul
  aceluiasi experiment
• !semnul factorial

24

• Distributia binomiala se refera deci la o
  variabila aleatorie discreta x pentru care
  valoarea medie si dispersia sunt date de
  formulele
• µxnp
• ?2npq
• Pentru diverse valori ale lui n si p se obtin
• diverse curbe reprezentative pentru
• probabilitatile f(x).
• Pentru npgt10 si nqgt10, curbele devin
• insuficient de simetrice in jurul valorii lui µx
  si se
• poate asimila distributia binomiala cu o
  distributie
• normala.

25

• Daca in cazul distributiei binomiale consideram n
  foarte mare si probabilitatea p foarte mica,
  astfel ca produsul np?x devin
• f(x)e- ?. Tx/x! probabilitati care conduc la
  distributia Poisson. Se demonstreaza ca valoarea
  medie si dispersia pentru aceasta distributie
  sunt µx ?
• ?2 x ?
• Prin cresterea lui ? se obtin curbe cat mai
• simetrice, astfel pentru ?gt20 sau ?20,
  distributia
• lui Poisson poate fi asimilata cu o distributie
• normala.

26
Distributia normala (Gauss Laplace)

• Este o distributie teoretica, continua,
  simetrica, unimodala, si poate, teoretic, sa
  varieze intre infinit si infinit.
• Curba distributiei normale are doua cozi
  simetrice si este determinata prin media µ si
  deviatia standard a populatiei ?.
• Media, mediana si modulul unei populatii
  distribuite normal sunt egale.

27
Aplicatii

• Poate fi folosita pentru a studia multe populatii
  si esantioane, esantioanele trebuie sa fie de
  minimum 30 de cazuri.
• Distributia normala si aproximarea normala
  constituie bazele unui numar de teste analitice,
  cum ar fi testul t sau chi patrat.

28
Raportul critic sau scorul z

• Este numarul deviatiilor standard ce separa un
  indicator calculat in esantion de parametrul
  corespunzator intr-o populatie normala.
• Cresterea raportului critic corespunde
  descresterii probabilitatii de acceptare a
  ipotezei nule
• Pot fi calculate si listate proportiile
  populatiei in interiorul intervalului si/sau in
  afara intervalului.

29

• Intr-o populatie distribuita normal, aproximativ
  68 din populatie este situata in interiorul unui
  raport critic, aproximativ 95 din populatie este
  situata in interiorul a 2 rapoarte critice ale
  mediei si in jur de 99,7 este situata in
  interiorul a 3 rapoarte critice mediei.
• In esantioanele numeroase, raportul critic este
  folosit pentru a calcula intervalele de incredere
  in jurul mediei de esantion.

30
Calcul

• zlx-µl/?
• zraportul critic
• xvaloarea de testat
• µmedia populatiei
• ?deviatia standard a populatiei

31
Testul t (student)

• Este bazat pe distributia t, distributie care
  reflecta o mai mare variatie datorata sansei in
  comparatie cu distributia normala.
• Este continua, simetrica, unimodala, variaza de
  la infinit la infinit, este mult mai larga in
  comparatie cu distributia normala.

32

• Este utilizata pentru a analiza esantioane mici.
• Cand volumele esantioanelor cresc, distributia t
  se apropie de distributia normala, astfel ca
  pentru un numar infinit de grade de libertate
  cele 2 distributii sunt identice si valorile
  critice ale lui t sunt egale cu raportul critic
  al distributiei normale.

33
Testul t pentru un esantion mic

• Testul t pentru un singur esantion mic compara o
  singura medie (x) a esantionului cu media
  populatiei.

34
Aplicatii si caracteristici

• Sunt folosite pentru a evalua ipoteza nula pentru
  variabile cantitative, pentru esantioane de volum
  mai mic de 30 de cazuri.
• Sunt utilizate in analiza pentu care SD din
  esantioane sunt substituite ca estimatii pentru
  SD din populatii.
• Valoarea probabilitatii de respingere a ipotezei
  nule, cand aceasta este adevarata ap-value este
  obtinuta din tabela t corespunzatoare lui dfn-1
  grade de libertate.
• In cazul esantioanelor mici, sub 30 de cazuri,
  distributia t este folosita pentru a calcula
  intervalele de incredere in jurul mediei
  esantioniului.

35
Calcul

• Valoarea calculata a testului pentru compararea
  mediei esantionului cu media populatiei este
  determinata prin formula
• t(df)lx-µl/(SD/vn)
• t(df)valoarea calculata a testului la df. gr. de
  libertate
• dfnr. de grade de libertate
• xvaloarea medie a esantionului
• µmedia populatiei
• SDdeviatia standard
• nvolumul esantionului
• Numitorul ecuatiei se numeste eroarea standard a
  mediei esantionului.

36
Testul t pentru esantioane independente

• Compara valori medii a 2 esantioane mici.
• Utilitatea si restrictiile sunt aceleasi cu
  exceptia ca esantioanele trebuie sa fie sub 30 de
  cazuri.
• Este nepotrivit cand avem de comparat mai multe
  valori medii.

37
Calcul

• t(df)lx-yl/SDpv1/n11/n2
• SDpvS(xi-x)2 S(yi-y)2/(n1-1)(n2-1)
• SDpdeviatia standard ponderata a celor 2
  esantioane

38
Testul t pentru esantioane perechi

• Compara valorile medii a 2 esantioane perechi.
• In acest caz numarul de perechi trebuie sa fie
  sub 30.
• t(df)d /(SDp/vn)
• SDp vS(di-d)2/(n-1)
• didiferentele in cadrul fiecarei perechi
• dvaloarea medie a diferentelor

39

• Numitorul testului t pe perechi este eroarea
  standard a diferentei mediilor.
• Valoarea calculata a testului t este folosita
  pentru a stabili probabilitatea ca diferenta
  intre esantioanele perechi, la gradele de
  libertate respective sa se datoreze sau nu sansei.

40
Eroarea standard si limitele de incredere

• Este bazata pe un esantion al populatiei si este
  o estimatie a deviatiei standard a masuratorilor
  pentru populatie.
• Este o masura a acuratetei mediei esantionului ca
  o estimatie a mediei populatiei.
• Este raportul dintre deviatia standard si radical
  de ordinul 2 din volumul esantionului.
• Este folosita pentru a construi limitele de
  incredere in jurul mediei esantionului.
• Este folosita la testul t.
• SEMSD/vn unde nnr. de obs. in esantion

41
Limitele de incredere ale valorii medii

• Definesc valorile probabile pentru un parametru
  al populatiei, pe baza volumului esantionului si
  a valorii erorii standard.
• Intervalele de incredere sunt exprimate in
  termenii probabilitatii bazate pe eroarea a.
• Un interval de incredere (1- a), exprima faptul
  ca probabilitatea ca parametrul populatiei sa se
  gaseasca in intervalul de incredere este 1- a,
  iar probabilitatea ca parametrul populatiei sa se
  gaseasca in afara intervalului de incredere este
  a.

42

• Limitele de incredere ale mediei populatiei (µ)
  definesc intervalul de incredere pentru media
  populatiei pe baza mediei esantionului.
• Pentru esantioane mai mari sau egale cu 30
  limitele de incredere sunt bazate pe raportul
  critic corespunzator probabilitatii asociate.
• Pentru esantioane mici sub 30 limitele de
  incredere sunt bazate pe valorile lui t din
  tabele, corespunzator numarului de grade de
  libertate si probabilitatii asociate.

43
Utilitate

• Sunt folosite pentru a estima media populatiei pe
  baza mediei esantionului extras din populatie.
• Cel mai des folosite sunt limitele de incredere
  de 95, care indica faptul ca probabilitatea ca
  valoarea mediei necunoscuta din populatie sa se
  afle intre aceste limite este de 95, iar in
  afara lor este de 5.

44
Calcul

• Pentru esantioane mari
• Limitele de incredere (1- a)xzaSEM
• Pentru esantioane mici
• Limitele de incredere (1- a)xtdf,aSEM

45
Testul chi patrat ?2

• Compara o distributie de frecvente absolute
  observate cu o distributie teoretica (asteptata)
  de frecvente absolute pe baza distributiei de
  probabilitate chi patrat.
• Este o distributie continua, simetrica si se
  bazeaza pe aproxiamtia normala a distributiei
  binomiale. Distributia chi patrat cu 1 grad de
  libertate este identica cu distributia patratului
  raportului critic.

46
Aplicatii si caracteristici

• Testul chi patrat de tip rxc este folosit pentru
  a compara o distributie observata cu o
  distributie teoretica sau compara 2 sau mai multe
  distributii observate.
• Categoriile de date folosite trebuie sa fie
  mutual exclusive si discrete.
• Trebuie folosite numai valori absolute.
• Frecventele teoretice trebuie sa fie mai mari
  decat 5, cele observate pot fi mai mici decat 5.
• Valorile probabilitatii pentru respingerea
  ipotezei nule sunt obtinute din tabele speciale
  pentru distributia chi patrat corespunzator
  numarului de grade de libertate.

47
Corectia Yates

• Deoarece distributia chi patrat este bazata pe
  aproximatia normala a distributiei binomiale, se
  impune o corectie de continuitate numita corectia
  Yates, aceasta consta intr-o modificare in
  formula de calcul a testului chi patrat
• Corectia Yates se foloseste pentru esantioane
  mici si scade valoarea lui chi patrat, deci scade
  probabilitatea respingerii ipotezei nule.

48
Calcul

• ?2c(df)S (Oi-Ei-1/2)2/Ei
• ? 2c(df)valoarea calculata a testului chi patrat
  cu corecta Yates
• Oifrecventele absolute observate din fiecare
  celula a tabelului
• Eifrecventele teoretice corespunzatoare
  frecventelor observate
• ½corectia yates

49
Testul chi patrat 2x2

• Este un caz particular si se aplica pantru
  tabelele de contingenta de tip 2x2 si are un grad
  de libertate.
• ?2c(1)n(ad-bc-n/2)2/(ab)(cd)(ac)(bd)

50
Testul McNemar

• Este un test chi patrat 2x2 specific pentru
  compararea esantioanelor perechi.
• Ipoteza nula care este de testat este aceea ca
  frecventele asteptate pentru perechile
  discordante sunt egale.
• Testul are un grad de libertae si se poate
  calcula dupa formula
• ?2c(f-g-1)2/fg unde f si g sunt valorile
  perechilor discordante