Tema 4: Sistemi di V.A. Gaussiane

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Tema 4 Sistemi di V.A. Gaussiane
Vettore Gaussiano N v.a. congiuntamente
Gaussiane
ddp congiunta di ordine N
Vettore valori medi statistica di ordine 1
Matrice di covarianza statistica di ordine 2

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Proprietà dei vettori Gaussiani
Proprietà 1 la ddp congiunta di ordine N di un
vettore aleatorio Gaussiano è completamente
specificata dal vettore valori medi e dalla
matrice di covarianza Proprietà 2 una
trasformazione lineare di vettori Gaussiani
preserva la Gaussianità Proprietà 3 una
qualsiasi r-upla di v.a. estratte da X è ancora
un vettore aleatorio Gaussiano, in particolare
ogni Xk è una v.a. Gaussiana
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Proprietà dei vettori Gaussiani
Proprietà 4 Funzione caratteristica di un
vettore Gaussiano

• Se Xi i1,2, , N sono v.a. Gaussiane
  indipendenti

• Se Xi i1,2,3,4 sono v.a. Gaussiane con
  valori medi nulli

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Proprietà dei vettori Gaussiani
Proprietà 5 se N v.a. congiuntamente Gaussiane
sono a due a due incorrelate, esse sono anche
indipendenti

• Se sono anche identicamente distribuite
  ,
• dove I è la matrice identità, e

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Proprietà dei vettori Gaussiani
Proprietà 6 la ddp di una qualsiasi r-upla di
v.a. condizionata ad un qualsiasi sottogruppo di
k v.a. (prese tra le rimanenti N-r) è Gaussiana
vettore valori medi e matrice di covarianza
condizionati
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Densità di Probabilità (ddp) di due v.a.
congiuntamente Gaussiane
Sistema di 2 v.a. congiuntamente Gaussiane
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Influenza di valori medi e varianze
Curve di livello
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Influenza del coefficiente di correlazione
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Esempio di file.m ddpgausscorr.m
Calcolo analitico della ddp congiunta di coppia
di v.a. cong. Gaussianefunction
ddpddpgausscorr(vx,vy,ex,ey,sx,sy,rho,graf)
IN vettori dei valori di cui calcolare la ddp,
vx,vy media della prima e seconda v.a.
Gaussiana, ex, ey dev. standard della
prima e seconda v.a. Gaussiana, sx, sy
coefficiente di correlazione, rho flag
grafico 3D/curve di livello (0,1), graf OUT
matrice di valori della ddp congiunta
uscita su video della ddp congiunta xrepmat(vx,si
ze(vy,2),1) prepara una matrice di valori di
x per y costantiyrepmat(vy,size(vx,2),1)yy'
prepara una matrice di
valori di y per x costanti fattnorm1/(2pisxsy
sqrt(1-rho2))fattesp1/(2(1-rho2))formaquad
r(x-ex).2/sx2-2rho(x-ex).(y-ey)/(sxsy)(y-e
y).2/sy2ddpfattnormexp(-fattespformaquadr)
valuta la ddp if graf 0 mesh(x,y,ddp)
grafico 3Delse
contour(x,y,ddp) curve di
livello hold on plot(min(vx) max(vx),0
0,'g--') hold on plot(0 0,min(vy)
max(vy),'g--')end
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ddp marginali e condizionate
y
y
y
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ddp marginali e condizionate
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Esempio di file.m ddpcondgauss.m
Calcolo analitico della ddp condizionata YX
per coppia di v.a. X,Y cong. Gaussianefunction
ddpcddpcondgauss(x,vy,ex,ey,sx,sy,rho) IN
valore della v.a. X a cui condizionare la v.a. Y,
x vettore dei valori di Y di cui
calcolare la d.d.p. cond., vy media della
prima e seconda v.a. Gaussiana, ex, ey
dev. standard della prima e seconda v.a.
Gaussiana, sx, sy coefficiente di
correlazione, rho OUT vettore di valori della
ddp cond. uscita su video della ddp
cond. etaycondeyrhosy/sx(x-ex)sigmaycondsy
sqrt(1-rho2) calcola media e dev.
standard cond. ddpcnormpdf(vy,etaycond,sigmaycond
) calcola ddp cond. plot(vy,ddpc)hold
onplot(0,0,'go')hold onplot(etaycond,0,'r')
valor medio cond.
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Generazione di V.A. cong. Gaussiane correlate
?
desiderati
Decomposizione di Cholesky matrice triangolare
superiore
oppure
Decomposizione spettrale
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Generazione di V.A. cong. Gaussiane correlate
Vettore Gaussiano 2-D N2
Metodo per N2
M coppie di campioni di v.a. X ed Y cong.
Gaussiane
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Calcolo di scatterplot e coeff. di correlazione

• - Generare M realizzazioni del vettore 2-D ZX
  Y, X ed Y v.a. cong. Gaussiane
• Visualizzare lo scatterplot (diagramma di
  dispersione, rappresentazione cartesiana
  delle coppie di campioni) istruzioni utili
  load, plot, axis- Calcolare le medie, le
  varianze ed il coefficiente di correlazione
  istruzioni utili mean, std
• Confrontare lo scatterplot con la ddp analitica
  determinata dai parametri calcolati elaborando
  N coppie di campioni
• Sugg. utilizzare il programma ddpgausscorr.m

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Esempio di risultati
scatterplot
Valori dei parametri della ddp media X 2
media Y 4 varianza X 9 varianza Y
4 coeff. di correlazione r -0.5
y
load coppie.matplot(x,y,'.')axis(-8 12 -4
12)hold onplot(-8 12,0 0,'g--')plot(0
0,-4 12,'g--')
x
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Esempio di risultati e file.m calcrho.m
Misura empirica del coefficiente di
correlazionefunction rho calcrho(x,y) IN
vettori di realizzazioni della coppia di v.a.
(x,y) OUT coefficiente di correlazione
rho etaxmean(x) calcola le medie e
deviazioni standardetaymean(y)sigxstd(x,1)s
igystd(y,1) rhomean((x-etax).(y-etay))/(sigxs
igy) calcola la covarianza
normalizzata
Valori effettivi media X 2 media Y 4
varianza X 9 varianza Y 4 coeff. di
correlazione r -0.5
mean(x) 1.9904 mean(y)
3.9958 std(x)2 9.1204 std(y)2
4.0664 calcrho(x,y) -0.5192
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Esempio di risultati
hold onddpgausscorr(-8.112,-4.112,mean(x)
,mean(y),std(x),std(y),calcrho(x,y),1)
Scatterplot Curve di livello
y
x
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Esempio di risultati
ddpgausscorr(-8.112,-4.112,2,4,3,2,-0.5,1)
hold onddpgausscorr(-8.112,-4.112,mean(
x),mean(y),std(x),std(y),calcrho(x,y),1)
Confronto tra ddp effettivae la ddp analitica
con i parametri misurati dai dati
y
x
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Esempio di file.m gengausscorr1.m
Generazione coppie di v.a. cong. Gaussiane
correlate metodo della decomposizione di
Cholesky function x,y gengausscorr1(n,etax,eta
y,sig2x,sig2y,rho) IN numero di
realizzazioni, n media della prima e
seconda v.a. Gaussiana, etax, etay
varianza della prima e seconda v.a. Gaussiana,
sig2x, sig2y coefficiente di
correlazione, rho OUT vettori di
realizzazioni della prima e seconda v.a.
Gaussiana, x,y Rsig2x sqrt(sig2xsig2y)rho
sqrt(sig2xsig2y)rho sig2y matrice di
covarianza Chchol(R) determina la
trasform. lineare 2x2 tramite decomposizione di
CholeskyACh.' wrandn(2,n) genera
n realizzazioni di un vettore di 2 v.a. Gaussiana
standard indip. organizzate in
una matrice 2xn cAw trasformazione
lineare 2x2 applicata a tutte le
realizzazioni xc(1,)etax impone le medie
yc(2,)etay
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Esempio di file.m gengausscorr2.m
Generazione coppie di v.a. cong. Gaussiane
correlate metodo della decomposizione agli
autovalori function x,y gengausscorr2(n,etax,e
tay,sig2x,sig2y,rho) IN numero di
realizzazioni, n media della prima e
seconda v.a. Gaussiana, etax, etay
varianza della prima e seconda v.a. Gaussiana,
sig2x, sig2y coefficiente di
correlazione, rho OUT vettori di
realizzazioni della prima e seconda v.a.
Gaussiana, x,y Rsig2x sqrt(sig2xsig2y)rho
sqrt(sig2xsig2y)rho sig2y matrice di
covarianza V,Leig(R) determina le matrici
degli autovettori e degli autovalori AVL.(1/2)
calcola la trasformazione lineare 2x2
wrandn(2,n) genera n realizzazioni di un
vettore di 2 v.a. Gaussiana standard indip.
organizzate in una matrice 2xn cAw
trasformazione lineare 2x2
applicata a tutte le realizzazioni xc(1,)e
tax impone le medie yc(2,)etay