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ENIAC Il primo calcolatore elettronico, lENIAC
? Electronical Numerical Integrator And
Calculator ? nacque per esigenze belliche (per il
calcolo di tavole balistiche). Venne
commissionato dal Dipartimento di Guerra degli
Stati Uniti allUniversità della Pennsylvania, ed
il suo prototipo fu realizzato alla fine della
seconda guerra mondiale, nel 1946. LENIAC, per
la cui costruzione furono usate 18000 valvole
termoioniche, occupava una stanza lunga più di 30
metri e dissipava una quantità enorme di energia
elettrica. Limpiego di componenti elettroniche,
tuttavia, lo rendeva capace di eseguire 300
moltiplicazioni al secondo, molte più dei
precedenti calcolatori elettromeccanici.
La rappresentazione dei dati e laritmetica
degli elaboratori
2
Sommario
UNIVAC Il primo calcolatore concepito ed
impostato come prodotto commerciale, fu
realizzato da Eckert e Mauchly (gli stessi
costruttori dellENIAC) per lUfficio Centrale di
Statistica degli Stati Uniti. Lalgebra di
Boole Fu teorizzata dal matematico inglese George
Boole (1810?1864) nel lavoro Analisi Matematica
della Logica, pubblicato nel 1847. Include un
insieme di operazioni su variabili logiche (o
variabili booleane), che possono assumere i due
soli valori true e false, indicati da 1 e 0. Le
tecniche sviluppate nellalgebra booleana possono
essere applicate allanalisi ed alla
progettazione dei circuiti elettronici, poiché
essi sono realizzati con dispositivi che possono
assumere solo due stati. Su insiemi di costanti e
variabili logiche possono essere definite
funzioni che hanno esse stesse la caratteristica
di assumere due soli valori. La definizione di
una funzione booleana può essere effettuata per
mezzo di una tabella di verità, che indica il
valore della funzione in corrispondenza di ogni
possibile configurazione dei valori degli
argomenti. Le funzioni booleane possono essere
scritte e manipolate anche con metodi algebrici,
dato un insieme di funzioni (o operazioni)
elementari tramite le quali poter esprimere ogni
altra funzione.

• Introduzione
• il calcolo automatico dalla preistoria ai giorni
  nostri
• Lalgebra di Boole
• da Analisi Matematica della Logica (1847) al
  progetto degli elaboratori digitali
• Sistemi di numerazione
• da decimale a binario, a esadecimale lalfabeto
  dellelaboratore
• La rappresentazione dei dati e laritmetica degli
  elaboratori
• dai bit ai numeri, ai testi, alle immagini, alla
  musica, ai video in digitale

UNIVAC (1951)
3
Introduzione
4
Cenni storici ? 1

• Anche se la presenza invasiva dellinformatica
  nella vita di tutti i giorni è un fenomeno
  relativamente recente, non recente è la necessità
  di avere a disposizione strumenti e metodi per
  contare rapidamente, elaborare dati, calcolare
• Le prime testimonianze di strumenti per contare
  risalgono a 30.000 anni fa
• I primi esempi di algoritmi ? procedure di
  calcolo automatico ? sono stati ritrovati in
  Mesopotamia su tavolette babilonesi risalenti al
  1800?1600 a.C.
• Il sogno di costruire macchine capaci di
  effettuare calcoli automatici affonda le radici
  nel pensiero filosofico del 600
• Pascal e Leibniz non solo affrontarono il
  problema, già studiato da Cartesio, di
  automatizzare il ragionamento logico? matematico,
  ma si cimentarono nella realizzazione di semplici
  macchine per calcolare (capaci di effettuare
  somme e sottrazioni)

5
Cenni storici ? 2

• La macchina alle differenze, concepita da Babbage
  nel 1833, rappresenta il primo esempio di
  macchina programmabile di utilità generale
• La prima programmatrice nella storia
  dellinformatica è Ada Augusta Byron, contessa di
  Lovelace
• In seguito, lo stesso Babbage progetta la
  macchina analitica (mai realizzata, troppo
  complessa e critica la sua costruzione per le
  tecnologie meccaniche dellepoca)

6
Cenni storici ? 3

• Fu Herman Hollerith, nel 1890, a sviluppare la
  macchina a schede perforate, per compiere le
  statistiche del censimento decennale degli Stati
  Uniti
• I dati venivano immessi su schede di cartone
  opportunamente perforate, le stesse schede che
  sono state usate fino a due decenni or sono
• Le schede venivano successivamente contate da
  una sorta di pantografo che permetteva diversi
  tipi di elaborazioni (totali, medie, statistiche,
  etc.)
• Si impiegarono due anni e mezzo ad analizzare i
  dati (contro i sette anni del censimento del
  1880), nonostante lincremento di popolazione da
  50 a 63 milioni

7
Cenni storici ? 4

• Successivamente la macchina a schede perforate
  venne utilizzata con successo per i censimenti in
  Austria, Norvegia e Russia, tanto che Hollerith
  decise di fondare una società la Computing
  Tabulating Recording Company che, nel 1923,
  divenne lInternational Business Machine, o IBM
• Nel 1932, il tedesco Konrad Zuse realizza una
  macchina elettromeccanica in grado di eseguire
  calcoli con controllo programmato, ed introduce
  il sistema di numerazione binario (la cui algebra
  era stata definita da Leibniz e da Boole)

8
Cenni storici ? 5

• Durante la seconda guerra mondiale, fioriscono i
  progetti di elaboratori da utilizzarsi per scopi
  bellici

• Enigma, realizzata dai tedeschi per codificare le
  comunicazioni militari
• Red Purple, di costruzione giapponese
• Computer Colossus, costruito dagli inglesi per la
  decifrazione dei messaggi tedeschi, alla cui
  progettazione e realizzazione collaborò Alan
  Turing, permise la vittoria anglo?americana
  sullAtlantico

La macchina Enigma
9
Cenni storici ? 6

• Con linvenzione del tubo a vuoto (1904), del
  transistor (1947) e, infine, dei circuiti
  integrati (1969), levoluzione dei computer
  divenne inarrestabile
• Attualmente la potenza di calcolo degli
  elaboratori decuplica ogni 5?6 anni (ma non può
  durare la tecnologia attuale ha ormai pressoché
  raggiunto i suoi limiti)

10
Cenni storici ? 7

• La costruzione dei primi calcolatori risale
  allinizio degli anni 40, grazie alla tecnologia
  elettronica i primi esemplari venivano
  programmati mediante connessioni elettriche e
  commutatori (ENIAC, Mark I)
• Il nome di Von Neumann è legato invece ai primi
  calcolatori a programma memorizzato realizzati
  alla fine degli anni 40 (EDSAC, Whirlwind, IAS,
  UNIVAC)
• Per la prima volta, vige il principio di
  unitarietà di rappresentazione di dati e
  istruzioni, che vengono rappresentati,
  allinterno dellelaboratore, in maniera
  indistinguibile
• La diffusione dei calcolatori a livello mondiale
  è avvenuta negli anni 60 e 70

11
Cenni storici ? 8
UNIVAC (1952)
Whirlwind (1949)
IAS (1952)
12
Cenni storici ? 9

• Tuttavia, lesplosione dellinformatica come
  fenomeno di massa è datata 1981, anno in cui
  lIBM introdusse un tipo particolare di
  elaboratore il Personal Computer (PC)
• La particolarità dei PC consisteva nellessere
  assemblati con componenti facilmente reperibili
  sul mercato (e quindi a basso costo)
• Possibilità per qualsiasi casa produttrice di
  costruire cloni
• Attualmente i PC, o meglio il loro componente
  fondamentale ? il microprocessore ? è utilizzato
  in tutti i settori applicativi (non solo per
  elaborare dati)
• Telefoni cellulari
• Ricevitori satellitari digitali
• Bancomat e carte di credito
• Lavatrici e forni a microonde
• ...

13
Cenni storici ? 10

• Lesigenza di realizzare sistemi di elaborazione
  dotati di più processori operanti in parallelo è
  stata sentita fin dalla preistoria
  dellinformatica
• In una relazione dello scienziato, generale e
  uomo politico italiano Menabrea, datata 1842,
  sulla macchina analitica di Babbage, si fa
  riferimento alla possibilità di usare più
  macchine dello stesso tipo in parallelo, per
  accelerare calcoli lunghi e ripetitivi
• Solo la riduzione dei costi dellhardware ha
  consentito, verso la fine degli anni 60,
  leffettiva costruzione dei primi
  supercalcolatori, come le macchine CDC6600 e
  Illiac e, successivamente, il Cray e le macchine
  vettoriali
• Recentemente, gli ulteriori sviluppi della
  microelettronica hanno permesso la realizzazione
  di calcolatori a parallelismo massiccio e a
  grana fine, caratterizzati dallinterconnessione
  di decine di migliaia di unità di elaborazione
  estremamente elementari le reti neurali, capaci
  di simulare il comportamento del cervello
  umano, sulla base degli studi di McCulloch e
  Pitts (1943)

14
Cenni storici ? 11
Cray 1 (1976)
Cray X1 (2002)
Portatile e Palmare (oggi)
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Frasi celebri ed altro

• Penso che ci sia mercato nel mondo per non più
  di cinque computer. (Thomas Watson, Presidente
  di IBM, 1943)
• Ho girato avanti e indietro questa nazione (USA)
  e ho parlato con la gente. Vi assicuro che questa
  moda dellelaborazione automatica non vedrà
  lanno prossimo. (Editor di libri scientifici di
  Prentice Hall, 1947)
• Nel futuro i computer verranno a pesare non più
  di una tonnellata e mezzo. (Popular Mechanichs,
  1949)
• Nel 1976, il New York Times pubblicò un libro dal
  titolo La scienza nel ventesimo secolo, nel quale
  il calcolatore veniva menzionato una sola volta e
  indirettamente, in relazione al calcolo delle
  orbite dei pianeti
• Non cè ragione perché qualcuno possa volere un
  computer a casa sua. (Ken Olson, fondatore di
  Digital, 1977)

16
Che cosè linformatica ? 1

• Informatica ? fusione delle parole informazione e
  automatica ? linsieme delle discipline che
  studiano gli strumenti per lelaborazione
  automatica dellinformazione e i metodi per un
  loro uso corretto ed efficace
• Linformatica è la scienza della rappresentazione
  e dellelaborazione dellinformazione
• Laccento sull informazione fornisce una
  spiegazione del perché linformatica stia
  rapidamente diventando parte integrante di tutte
  le attività umane laddove deve essere gestita
  dellinformazione, linformatica è un valido
  strumento di supporto
• Il termine scienza sottolinea il fatto che,
  nellinformatica, lelaborazione
  dellinformazione avviene in maniera sistematica
  e rigorosa, e pertanto può essere automatizzata

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Che cosè linformatica ? 2

• Linformatica non è, quindi, la scienza e la
  tecnologia dei calcolatori elettronici il
  calcolatore è lo strumento che la rende
  operativa
• Lelaboratore (computer, calcolatore) è
  unapparecchiatura digitale, elettronica ed
  automatica capace di effettuare trasformazioni
  sui dati
• Digitale i dati sono rappresentati mediante un
  alfabeto finito, costituito da cifre (digit), che
  ne permette il trattamento mediante regole
  matematiche
• Elettronica realizzazione tramite tecnologie di
  tipo elettronico
• Automatica capacità di eseguire una successione
  di operazioni senza interventi esterni
• La disumanità del computer sta nel fatto che,
  una volta programmato e messo in funzione, si
  comporta in maniera perfettamente onesta. (Isaac
  Asimov)

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Larchitettura alla Von Neumann

• La capacità dellelaboratore di eseguire
  successioni di operazioni in modo automatico è
  determinata dalla presenza di un dispositivo di
  memoria
• Nella memoria sono registrati i dati e...
• ...la descrizione delle operazioni da eseguire su
  di essi (nellordine secondo cui devono essere
  eseguite) il programma, la ricetta usata
  dallelaboratore per svolgere il suo compito
• Il programma viene interpretato dallunità di
  controllo
• Modello di Von Neumann

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La macchina universale

• Programma sequenza di operazioni atte a
  predisporre lelaboratore alla soluzione di una
  determinata classe di problemi
• Il programma è la descrizione di un algoritmo in
  una forma comprensibile allelaboratore
• Algoritmo sequenza finita di istruzioni
  attraverso le quali un operatore umano è capace
  di risolvere ogni problema di una data classe
  non è direttamente eseguibile dallelaboratore
• Lelaboratore è una macchina universale
  cambiando il programma residente in memoria, è in
  grado di risolvere problemi di natura diversa
  (una classe di problemi per ogni programma)

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Ancora sullinformatica...

• Linformatica è lo studio sistematico degli
  algoritmi che descrivono e trasformano
  linformazione la loro teoria, analisi,
  progetto, efficienza, realizzazione (ACM ?
  Association for Computing Machinery)
• Nota È possibile svolgere unattività
  concettualmente di tipo informatico senza
  lausilio del calcolatore, per esempio nel
  progettare ed applicare regole precise per
  svolgere operazioni aritmetiche con carta e
  penna lelaboratore, tuttavia, è uno strumento
  di calcolo potente, che permette la gestione di
  quantità di informazioni altrimenti intrattabili

21
Lalgebra di Boole
22
Algebra Booleana
Le operazioni AND e OR sono operazioni binarie,
loperazione NOT è unaria. Nella valutazione
delle espressioni booleane esiste una relazione
di precedenza fra gli operatori NOT, AND e OR,
nellordine in cui sono stati elencati le
parentesi vengono utilizzate nel modo consueto.

• Contempla due costanti 0 e 1 (falso e vero)
• Corrispondono a due stati che si escludono a
  vicenda
• Possono descrivere lo stato di apertura o
  chiusura di un generico contatto o di un circuito
  a più contatti
• Si definiscono delle operazioni fra i valori
  booleaniAND, OR, NOT sono gli operatori
  fondamentali

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Loperazione di OR

• Si definisce loperazione di somma logica
  (OR)il valore della somma logica è il simbolo 1
  se il valore di almeno uno degli operandi è il
  simbolo 1

0
0
0?0 ? 00?1 ? 11?0 ? 11?1 ? 1
0
1
00
01
1
1
1
0
10
11
24
Loperazione di AND

• Si definisce loperazione di prodotto logico
  (AND)il valore del prodotto logico è il simbolo
  1 se il valore di tutti gli operandi è il simbolo
  1

0?0 ? 00?1 ? 01?0 ? 01?1 ? 1
0
0
0
1
0?0
0?1
0
1
1
1
1?1
1?0
25
La negazione NOT

• Si definisce loperatore di negazione
  (NOT)loperatore inverte il valore della
  costante su cui opera
• Dalla definizione

0 ? 1 1 ? 0
26
Variabili binarie

• Una variabile binaria indipendente può assumere
  uno dei due valori 0 e 1
• Date n variabili binarie indipendenti, la loro
  somma logica (OR) è

0
x
1
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AND e NOT con variabili binarie
Lelemento x NOT(x) viene detto complemento
di x. Il complemento è unico. 0 è lelemento
neutro per loperazione di OR 1 è lelemento
neutro per lAND. Gli elementi neutri sono unici.

• Date n variabili binarie indipendenti, il loro
  prodotto logico (AND) è
• La negazione di una variabile x è

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Alcune identità

• Si verificano le uguaglianze
• Ad esempio

x 1 ? 1x 0 ? x x x ? x
x ? 1 ? xx ? 0 ? 0 x ? x ? x
Legge dellidempotenza
x ? 1 ? x
x ? 0
x ? 1
0?1 ? 0
1 ? 1 ? 1
OK!
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Altre proprietà

• Per gli operatori AND e OR valgono le seguenti
  proprietà
• Per loperatore NOT si provano le seguenti
  identità

commutativa x1x2 ? x2x1
x1? x2 ? x2? x1 associativa
x1x2x3 ? x1(x2x3) x1? x2? x3 ? x1?(x2?
x3) distributiva del prodotto rispetto alla somma
x1? x2 x1? x3 ? x1?(x2x3)
x x ? 1x ? x ? 0 x ? x
30
Configurazioni delle variabili

• Date n variabili binarie indipendenti x1, x2,,
  xn, queste possono assumere 2n configurazioni
  distinte
• Una configurazione specifica è individuata
  univocamente da un AND (a valore 1) di tutte le
  variabili, dove quelle corrispondenti ai valori 0
  compaiono negate

Ad esempio per n3 si hanno 8 configurazioni
000 001 010 011100 101 110 111
x1x2x3
x1x2x3
010
31
Funzioni logiche

• Una variabile y è una funzione delle n variabili
  indipendenti x1, x2,, xn, se esiste un criterio
  che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna
  delle 2n configurazioni delle xi un valore di y
• Una rappresentazione esplicita di una funzione è
  la tabella di verità, in cui si elencano tutte le
  possibili combinazioni di x1, x2, , xn, con
  associato il valore di y

y F(x1,x2,,xn)
y x1x2
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Una tabella di verità

• Date tre variabili booleane (A,B,C), si scriva la
  funzione F che vale 1 quando solo due di esse
  hanno valore 1

A B C F 0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1
1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 11 1 1 0
Si può scrivere la funzione come somma logica
delle configurazioni corrispondenti agli 1
F(A,B,C) ? ABC ? ABC ? ABC
Forma canonica somma di prodotti (OR di AND)?
tutte le funzioni logiche si possono scrivere in
questa forma
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Un esempio lo XOR

• ESEMPI
• La legge dellassorbimento x1 x1 x2 x1
• Le leggi di De Morgan
• (x1 x2) x1 x2
  ( x1 x2) x1 x2
  ( un modo alternativo per indicare
  la negazione).
• Dalle leggi di De Morgan si evince
  che la scelta delle funzioni OR, AND e NOT, come
  funzioni primitive, è ridondante. Loperazione
  logica AND può essere espressa in funzione delle
  operazioni OR e NOT in modo analogo,
  loperazione OR può essere espressa tramite AND e
  NOT.
• Le relazioni stabilite sono generalmente
  applicate nelle trasformazioni di funzioni
  booleane in altre equivalenti, ma di più facile
  realizzazione circuitale.

• La funzione XOR verifica la disuguaglianza di due
  variabili
• Lespressione come somma di prodotti è quindi...

x1 x2 XOR0 0 00 1 11 0 11
1 0
XOR x1x2 x1x2
34
Un circuito con due interruttori

• I due interruttori corrispondono a due variabili
  (A,B) a valori booleani ? le variabili assumono i
  due valori 0 e 1 che corrispondono alle due
  posizioni dellinterruttore

L
L
A
A
B
B
0
0
0
0
1
1
1
1
A
A
B
B
A0 B1
A0 B0
L
L
A
A
B
B
0
0
0
0
1
1
1
1
A
A
B
B
L ? A?B?A?B
A1 B0
A1 B1
35
Un esercizio

• Progettare un circuito per accendere e spegnere
  una lampada da uno qualsiasi di tre interruttori
  indipendenti

36
Analisi delle combinazioni

• Si considera cosa accade a partire dalla
  configurazione di partenza, cambiando lo stato di
  un interruttore per volta

L 1
L 0
A
B
C
A
B
C
1
0
1
0
0
1
L 1
L 0
L 0
A
B
C
A
B
C
A
B
C
1
1
1
0
0
0
1
1
0
L 1
L 0
A
B
C
A
B
C
1
0
0
1
0
1
37
Scrittura della funzione logica

• Dalle otto combinazioni si ottiene la tabella di
  verità della funzione logica
• Si può scrivere la funzione L come somma logica
  di prodotti logici

L ? A?B?C ? A?B?C ? A?B?C ? A?B?C
38
Come collegare gli interruttori

• Si può manipolare lespressione di L usando la
  proprietà distributiva dellAND rispetto allOR

L ? A?B?C ? A?B?C ? A?B?C ? A?B?C
L ? A ?(B?C ? B?C) ? A ?(B?C ? B?C)
C
C
B
B
B
B
A
A
C
C
C
B
C
B
A
A
B
C
B
C
1 0 1
1 0 0
39
Esercizi

• Esercizio 1
• Siano a2, a1, b2, b1 i bit che rappresentano due
  numeri interi positivi (A?a2a1 e B?b2b1). Sia r
  una variabile booleana che vale 1 se e solo A è
  maggiore di B (A?B). Ad esempio, quando A?11 e
  B?10, allora a2?1, a1?1, b2?1, b1?0 e r?1. Si
  scriva la forma canonica che definisce r come
  funzione di a2, a1, b2, b1.
• Esercizio 2
• I signori A, B, C e D fanno parte di un
  consiglio di amministrazione. Sapendo che hanno a
  disposizione le seguenti quote di possesso
  azionario A?40, B?25, C?20, D?15,
  formalizzare tramite tabella di verità (con
  successiva estrazione della forma canonica) la
  funzione booleana che decide quando il consiglio
  di amministrazione è in grado di approvare una
  mozione.

40
Esercizi (continua)

• Esercizio 3
• Il direttore di una squadra di calcio vuol
  comprare 4 giocatori dal costo di 2, 5, 6 e 8
  milioni di euro, ma ha a disposizione solo 8
  milioni. Siano a2, a5, a6, a8 variabili booleane
  che valgono 1 se e solo se si acquistano,
  rispettivamente, i giocatori da 2, 5, 6, 8
  milioni. Sia r una variabile che è vera se e solo
  se linsieme di giocatori che si decide di
  comprare costa meno della cifra disponibile. Ad
  esempio, se a2?1, a5?1, a6?0, a8?0, allora r?1.
  Si scriva la forma canonica che definisce r come
  funzione delle variabili a2, a5, a6, a8.

41
Sistemi di numerazione
42
Ancora un po di preistoria

• I primi esempi di utilizzo di sistemi di
  numerazione risalgono al neolitico, ovvero a
  circa 50.000 anni fa
• In epoca preistorica, le più utilizzate furono le
  basi 2, 5, 10, 20, 12, e 60
• Mentre le basi 2, 5 10 e 20 sono suggerite dalla
  fisiologia umana, 12 e 60 sembrano suggerite da
  scopi utilitaristici 12 è divisibile per 1, 2,
  3, 4, 6 e 12 mentre 60 per 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12,
  15, 20, 30 e 60
• Da notare che il 7 non compare mai nelle basi di
  numerazione e, in effetti, ebbe significati
  particolari, anche religiosi, presso i popoli
  antichi
• La base 12 è ancora utilizzata in certe misure di
  tempo, 60 nella misurazione di angoli e tempo

43
E di storia

• Tra le prime testimonianze certe dellutilizzo di
  concetti numerici avanzati vi sono le tavole
  numeriche babilonesi, elenchi di numeri
  utilizzati per calcoli astronomici e di
  agrimensura, risalenti al X secolo a.C.
• Tuttavia nelle culture dellantica Mesopotamia
  esistevano tabelle per le addizioni e le
  sottrazioni già durante il regno di Sargon I,
  intorno al 2350 a.C.
• Il documento più significativo dellantico Egitto
  è il papiro di Ahmes o Ahmose, dal nome dello
  scriba che lo compose nel 1650 a.C.
• Lo stesso Ahmes sostiene inoltre che il suo
  materiale è tratto da un documento anteriore, e
  fa risalire loriginale ad Imhotep, medico e
  architetto del faraone Djoser della III dinastia,
  e quindi al 2650 a.C. circa

44
I numeri nellantico Egitto ? 1

• La matematica egizia utilizzava la base 10, ed
  impiegava simboli diversi per rappresentare le
  diverse potenze del 10, da 1 a 106
• I geroglifici utilizzati erano

Pastoia per bestiame o giogo
Rotolo di fune
Bastoncino
Ninfea o fiore di loto
Uomo a braccia levate, simbolo del dio Heh
Dito
Girino o rana
45
I numeri nellantico Egitto ? 2

• I numeri venivano formati raggruppando i simboli,
  generalmente posti in ordine dal più piccolo al
  più grande, da sinistra a destra
• Il sistema di numerazione non è, tuttavia,
  posizionale
• Lordine dei simboli che rappresentano le potenze
  del 10 può essere alterato senza cambiare il
  valore della quantità rappresentata
• Lordine è una sorta di convenzione linguistica,
  senza significato matematico

46
I numeri nellantico Egitto ? 3
131.200
47
I numeri nellantico Egitto ? 4

• Esempi di operazioni
• Addizione si effettua sommando i simboli uguali
  e, qualora si superi il valore 10, sostituendo i
  dieci simboli con il simbolo opportuno (quello
  subito superiore nella gerarchia)
• Moltiplicazione utilizza un sistema che
  sottindende la base due
• si scompone il moltiplicatore in potenze di 2,
  poi si raddoppia il moltiplicando tante volte
  quante necessario, e infine si esegue la somma

48
I numeri nellantico Egitto ? 5

• Esempio 7?13

13
91
49
I numeri in Mesopotamia ? 1

• Appartengono alla civiltà dei Sumeri varie
  tavolette che contengono i più antichi segni
  numerali usati dalluomo e risalgono al 3500?3000
  a.C.
• I simboli fondamentali usati nella numerazione
  sumera corrispondono ai numeri 1, 10, 60, 600,
  3600, 36000
• La numerazione è additiva, cioè i numeri si
  scrivono disponendo uno accanto allaltro i
  simboli fondamentali

50
I numeri in Mesopotamia ? 2

• Un ruolo speciale spetta ai numeri 10 e 60
  caratteristica ereditata dal sistema babilonese
• I Babilonesi usavano infatti la scrittura
  cuneiforme, con due simboli fondamentali, un
  cuneo verticale per le unità e una parentesi
  uncinata per le decine si rappresentavano i
  numeri da 1 a 59
• Per i numeri successivi, si ha la prima
  testimonianza delluso di una notazione
  posizionale
• Non si introducevano infatti altri simboli, ma si
  affiancavano gruppi di cunei per indicare le
  successive potenze del 60
• Si tratta dunque di un sistema di numerazione
  posizionale in base 60

51
I numeri in Mesopotamia ? 3
52
I numeri in Mesopotamia ? 4

• Ad esempio
• Il sistema di spaziatura consentiva di risolvere
  le ambiguità di interpretazione dei
  raggruppamenti
• Ai tempi di Alessandro Magno era però invalso
  anche luso di un simbolo (due cunei obliqui) per
  indicare un posto vuoto questo simbolo svolgeva
  alcune funzioni del nostro zero, ma non tutte
  veniva usato fra colonne e mai per indicare
  colonne vuote alla fine della sequenza

7322
53
I numeri nellantica Grecia ? 1

• Nella civiltà greca classica sono noti due
  principali sistemi di numerazione
• Il primo, più antico, è noto come attico ed è per
  molti aspetti simile a quello in uso presso i
  Romani utilizzava infatti accanto ai simboli
  fondamentali per l1 e le potenze di 10 fino a
  10000, un simbolo speciale per il 5, che
  combinato con i precedenti, dava altri simboli
  anche per 50, 500, 5000, 50000
• Compaiono testimonianze di questo sistema dal V
  al I secolo a.C. ma, a partire dal III secolo, si
  diffonde anche il sistema detto ionico o
  alfabetico

54
I numeri nellantica Grecia ? 2

• Il sistema ionico si serve di ventisette simboli
  alfabetici (alcuni dei quali arcaici e non più
  usati nella Grecia classica) per indicare le
  unità da 1 a 9, le decine da 10 a 90, le
  centinaia da 100 a 900
• Si usavano poi nuovamente le prime nove lettere
  precedute da un apice in basso per indicare i
  multipli di 1000, e per esprimere numeri ancora
  più grandi si ricorreva al simbolo M (iniziale di
  miriade) che indicava la moltiplicazione per
  10000 del numero che seguiva
• Sistema di numerazione decimale additivo

55
I numeri nellantica Grecia ? 3

• Ad esempio

67.766.776
56
I numeri nellantica Roma ? 1

• Nel sistema di numerazione romano, a base
  decimale, ci si serviva, come è noto, anche di
  simboli speciali per indicare 5, 50, 500
• Alcune antiche epigrafi inducono a ritenere che i
  segni usati fossero inizialmente segni speciali,
  forse di origine etrusca, che solo
  successivamente furono identificati con le
  lettere I, V, X, L, C, D, M

I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
57
I numeri nellantica Roma ? 2

• La scrittura dei numeri avveniva combinando
  additivamente i segni
• Per agevolare scrittura e lettura si diffuse più
  tardi un sistema sottrattivo già utilizzato, ad
  esempio, dagli Assiri (che ha traccia anche nelle
  forme verbali come ad esempio undeviginti,
  stessa cosa di decem et novem)
• Un simbolo posto alla sinistra di un simbolo di
  quantità maggiore viene sottratto, così IX e
  VIIII indicano entrambi il numero 9
• Ancora in epoca tarda, un segno che prese
  laspetto di una linea orizzontale posta sopra le
  lettere serviva per indicarne la moltiplicazione
  per 1000

58
DallIndia il sistema decimale ? 1

• La civiltà indiana, più antica delle civiltà
  classiche, è già documentata dal 3000 a.C.
• Sebbene luso della matematica dovesse essere ben
  sviluppato già in epoca arcaica, i primi testi
  che ci sono giunti risalgono al V secolo d.C.
• Non è però ancora chiaro dove e quando si sia
  sviluppato il sistema di notazione decimale
  posizionale che, in seguito, attraverso gli
  Arabi, si è diffuso in Europa

59
DallIndia il sistema decimale ? 2

• Tale sistema viene utilizzato nellopera del
  matematico indiano vissuto attorno al 500 d.C.
  Aryabhata, la più antica che ci è pervenuta se si
  eccettuano frammenti sparsi di matematici
  anteriori, dove però manca ancora luso di un
  simbolo zero
• Testimonianze di scritture in forma posizionale
  si registrano anche prima del manuale di
  Aryabhata, mentre per avere datazioni sicure di
  forme complete in cui compare anche il simbolo
  zero occorre arrivare al IX secolo d.C.

60
DallIndia il sistema decimale ? 3

• Lidea di usare un numero limitato di simboli a
  cui dare valore diverso a seconda della posizione
  occupata può essere stata, secondo alcuni
  studiosi, sviluppata dagli Indiani per conoscenza
  diretta ? o ereditata dai Greci ? del sistema
  sessagesimale babilonese
• Gli Indiani avrebbero allora iniziato ad
  utilizzare solamente i primi 9 simboli del loro
  sistema decimale in caratteri Brahmi, in uso dal
  III secolo a.C.

61
DallIndia il sistema decimale ? 4

• I simboli assumono forme diverse a seconda delle
  zone e dei periodi, ma sono comunque quelli che
  gli Arabi più tardi utilizzarono e che, dalla
  forma araba, sono passati in Europa, fino alla
  forma definitiva resa uniforme dalla stampa nel
  XV secolo

62
Sistemi di numerazione

• Sistemi di numerazione posizionali

La base del sistema di numerazione Le cifre del
sistema di numerazione
Il numero è scritto specificando le cifre in
ordine ed il suo valore dipende dalla posizione
relativa delle cifre
Esempio Il sistema decimale (Base 10)
Cifre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5641 5103 6102 4101 1100
Posizione 3 2 1 0
63
Sistemi in base B

• La base definisce il numero di cifre diverse nel
  sistema di numerazione
• La cifra di minor valore è sempre lo 0 le altre
  sono, nellordine, 1,2,,B?1 se Bgt10 occorre
  introdurre B?10 simboli in aggiunta alle cifre
  decimali

Un numero intero N si rappresenta con la
scrittura (cncn?1c2c1c0)B
N cnBncn?1Bn?1...c2B2c1B1c0B0
cn è la cifra più significativa, c0 la meno
significativa
Un numero frazionario N si rappresenta come
(0,c1c2cn)B
N c1B?1c2B?2...cnB?n
64
Numeri interi senza segno

• Con n cifre in base B si rappresentano tutti i
  numeri interi positivi da 0 a Bn?1 (Bn numeri
  distinti)

Esempio base 10
102 100 valori
2 cifre da 0 a 102?1 99
Esempio base 2
2 cifre da 0 a 22?1 3
22 4 valori
65
Il sistema binario (B2)

• La base 2 è la più piccola per un sistema di
  numerazione

Cifre 0 1 ? bit (binary digit)
Forma polinomia
Esempi
(101101)2 1?25 0?24 1?23 1?22 0?21
1?20 32 0 8
4 0 1 (45)10
(0,0101)2 0?2?1 1?2?2 0?2?3 1?2?4
0 0,25 0
0,0625 (0,3125)10
(11,101)2 1?21 1?20 1?2?1 0?2?2 1?2?3
2 1 0,5 0
0,125 (3,625)10
66
Dal bit al byte

• Un byte è un insieme di 8 bit (un numero binario
  a 8 cifre)
• Con un byte si rappresentano i numeri interi fra
  0 e 28?1 255
• È lelemento base con cui si rappresentano i dati
  nei calcolatori
• Si utilizzano sempre dimensioni multiple (di
  potenze del 2) del byte 2 byte (16 bit), 4 byte
  (32 bit), 8 byte (64 bit)

b7b6b5b4b3b2b1b0
00000000 00000001 00000010 00000011 . 1111111
0 11111111
28 256 valori distinti
67
Dal byte al kilobyte

• Potenze del 2
• Cosa sono KB (Kilobyte), MB (Megabyte), GB
  (Gigabyte)?

24 1628 256 216 65536 210
1024 (KKilo) 220 1048576
(MMega) 230 1073741824 (GGiga)
1 KB 210 byte 1024 byte1 MB 220 byte
1048576 byte 1 GB 230 byte 1073741824 byte 1
TB 240 byte 1099511627776 byte (Terabyte)
68
Da decimale a binario Numeri interi

• Si divide ripetutamente il numero intero decimale
  per 2 fino ad ottenere un quoziente nullo le
  cifre del numero binario sono i resti delle
  divisioni la cifra più significativa è lultimo
  resto

Esempio convertire in binario (43)10
resti
43 2 21 121 2 10 1 10 2 5 0
5 2 2 1 2 2 1 0 1 2 0
1
bit più significativo
(43)10 (101011)2
69
Da decimale a binarioNumeri razionali

• Si moltiplica ripetutamente il numero frazionario
  decimale per 2, fino ad ottenere una parte
  decimale nulla o, dato che la condizione potrebbe
  non verificarsi mai, per un numero prefissato di
  volte le cifre del numero binario sono le parti
  intere dei prodotti successivi la cifra più
  significativa è il risultato della prima
  moltiplicazione

Esempio convertire in binario (0,21875)10 e
(0,45)10
70
Da binario a decimale

• Esercizio
• Si verifichino le seguenti corrispondenze
• (110010)2(50)10
• (1110101)2(102)10
• (1111)2(17)10
• (11011)2(27)10
• (100001)2(39)10
• (1110001110)2(237)10

• Oltre allespansione esplicita in potenze del 2 ?
  forma polinomia
• si può operare nel modo seguente si raddoppia
  il bit più significativo e si aggiunge al secondo
  bit si raddoppia la somma e si aggiunge al terzo
  bit si continua fino al bit meno significativo

(101011)2 1?25 0?24 1?23 0?22 1?21
1?20 (43)10
Esempio convertire in decimale (101011)2
bit più significativo
(101011)2 (43)10
71
Sistema esadecimale

• La base 16 è molto usata in campo informatico

Cifre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
La corrispondenza in decimale delle cifre oltre
il 9 è
A (10)10 D (13)10 B (11)10 E
(14)10 C (12)10 F (15)10
Esempio
(3A2F)16 3?163 10?162 2?161 15?160
3?4096 10?256 2?16
15 (14895)10
72
Da binario a esadecimale

• Una cifra esadecimale corrisponde a 4 bit
• Si possono rappresentare numeri binari lunghi con
  poche cifre (1/4)
• La conversione da binario ad esadecimale è
  immediata, raggruppando le cifre binarie in
  gruppi di 4 (da destra) e sostituendole con le
  cifre esadecimali secondo la tabella precedente

0000 0 1000 8 0001 1 1001
9 0010 2 1010 A 0011 3 1011
B 0100 4 1100 C 0101 5 1101
D 0110 6 1110 E 0111 7 1111
F
0 corrisponde a 4 bit a 0
F corrisponde a 4 bit a 1
73
Dai bit allhex

• Un numero binario di 4n bit corrisponde a un
  numero esadecimale di n cifre

Esempio 32 bit corrispondono a 8 cifre
esadecimali
1101 1001 0001 1011 0100 0011 0111 1111
D 9 1 B 4 3
7 F
(D91B437F)16
Esempio 16 bit corrispondono a 4 cifre
esadecimali
0000 0000 1111 1111 0 0 F
F
(00FF)16
74
Da esadecimale a binario

• La conversione da esadecimale a binario si
  ottiene espandendo ciascuna cifra con i 4 bit
  corrispondenti

Esempio convertire in binario il numero
esadecimale 0x0c8f
Notazione usata in molti linguaggi di
programmazione (es. C e Java) per rappresentare
numeri esadecimali
0 c 8 f 0000 1100
1000 1111
Il numero binario ha 4 x 4 16 bit
75
Esempi ? 1

• In qualsiasi base, lessere il sistema di
  numerazione posizionale impone che combinazioni
  diverse di cifre uguali rappresentino numeri
  diversi ad esempio
• (319)10 ? (193)10
• (152)6 ? (512)6, infatti...
• (152)61?625?612?6036302(68)10
• (512)65?621?612?6018062(188)10
• Numeri che hanno identica rappresentazione, in
  basi diverse, hanno valori diversi ad esempio,
  (234)10 ? (234)8 , infatti...
• (234)8 2?82 3?81 4?80 2?64 3?8 4
  128244 (156)10
• Osservazione più piccola è la base, minore è il
  valore del numero rappresentato dalla stessa
  sequenza di cifre

76
Esempi ? 2

• La notazione posizionale si applica anche per il
  calcolo del valore dei numeri frazionari,
  infatti...
• (0,872)10 8?10?1 7?10?2 2?10?3
• 8/10 7/100 2/1000 0,8 0,07
  0,002
• Quante cifre occorreranno per rappresentare il
  numero decimale 36 in base 2? Sappiamo che con n
  cifre si rappresentano i numeri da 0 a 2n?1,
  quindi...
• per n1 (con una cifra) si rappresentano 0...21?1
  ? 0,1
• per n2 0...22?1 ? 0...3
• per n3 0...23?1 ? 0...7
• per n4 0...24?1 ? 0...15
• per n5 0...25?1 ? 0...31
• per n6 0...26?1 ? 0...63

Effettivamente possiamo verificare che
(100100)2(36)10, infatti... 1001001?250?240?23
1?220?210?20 32 4
36 con 6 cifre necessarie per la codifica del
numero in base 2
77
Esempi ? 3

• Quesito Per quale base B risulterà vera
  luguaglianza
• 17 41 22 102 ?
• Se i numeri sono rappresentati in base B,
  sappiamo che
• (17)B 1?B17?B0 B7
• (41)B 4?B11?B0 4B1
• (22)B 2?B12?B0 2B2
• (102)B 1?B20?B12?B0 B22
• da cui... B74B12B2 7B10 B22
• ? Si ottiene unequazione di 2 grado B2 ? 7B ?
  8 0
• Risolvendo ? 4932 81
• B (7 ? ?? )/2

(79)/2 8
È la soluzione!
(7?9)/2 ?1
Non può essere una base
78
La rappresentazione dei dati e laritmetica
degli elaboratori
79
Numeri interi positivi

• I numeri interi positivi sono rappresentati
  allinterno dellelaboratore utilizzando un
  multiplo del byte (generalmente 4/8 byte)
• Se lintero si rappresenta con un numero di cifre
  minore, vengono aggiunti zeri nelle cifre più
  significative

Esempio 12 viene rappresentato in un byte come
00001100
80
Numeri con segno

• Per rappresentare numeri con segno, occorre
  utilizzare un bit per definire il segno del
  numero
• Si possono usare tre tecniche di codifica

• Modulo e segno
• Complemento a 2
• Complemento a 1

81
Modulo e segno

• Il bit più significativo rappresenta il segno 0
  per i numeri positivi, 1 per quelli negativi
• Esiste uno zero positivo (000) e uno zero
  negativo (100)
• Se si utilizzano n bit si rappresentano tutti i
  numeri compresi fra ?(2n?1?1) e 2n?1?1

Esempio con 4 bit si rappresentano i numeri fra
?7 (?(23?1)) e 7 (23?1)
82
Complemento a 2

• Il complemento a 2 di un numero binario (N)2 a n
  cifre è il numero
• Il complemento a 2 si calcola
• Effettuando il complemento a 1 del numero di
  partenza (negazione di ogni cifra) si trasforma
  ogni 0 in 1 e ogni 1 in 0
• Aggiungendo 1 al numero ottenuto
• Oppure a partire da destra, lasciando invariate
  tutte le cifre fino al primo 1 compreso, quindi
  invertendo il valore delle rimanenti

100000000 011111111? 01010111 10101000
10101001
28 28?1N 28?1?N 28?1?N1
01010111
complemento a 1
10101000
1
10101001
83
Interi in complemento a 2

• I numeri positivi sono rappresentati (come) in
  modulo e segno
• I numeri negativi sono rappresentati in
  complemento a 2 ? la cifra più significativa ha
  sempre valore 1
• Lo zero è rappresentato come numero positivo (con
  una sequenza di n zeri)
• Il campo dei numeri rappresentabili è da ?2n?1 a
  2n?1?1

Esempio numeri a 4 cifre
84
Interi a 16 bit

• Numeri interi rappresentati su 16 bit in
  complemento a 2

Il numero intero positivo più grande è
215?1(32767)10
0111 1111 1111 1111 0x 7 F F
F
Il numero intero negativo più piccolo è
?215(?32768)10
Il numero intero 1 è rappresentato come
85
Addizione binaria

• Le regole per laddizione di due bit sono
• Lultima regola è (1)2(1)2 (10)2 (112)10
  !!

0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 con
riporto di 1
Esempio
riporti
1 11 1 01011011 01011010 10110101
86
Sottrazione binaria ? 1

• Le regole per la sottrazione di due bit sono
• La sottrazione può divenire complicata quando si
  ha una richiesta sulla cifra precedente a
  sinistra, che è uno 0, loperazione si propaga a
  sinistra fino alla prima cifra ad 1 del sottraendo

0 ? 0 0 1 ? 0 1 1 ? 1 0 10 ? 1 1
con prestito di 1 dalla cifra precedente a
sinistra
Esempio
87
Sottrazione binaria 2

• Utilizzando la rappresentazione in complemento a
  2, addizione e sottrazione sono trattate come
  ununica operazione

si trascura il bit n 1

N1?N2 N1(2n?N2)?2n
complemento a 2 di N2 rappresentazione di (?N2)

• Si calcola il complemento a 2 di N2
• Si somma N1 con il complemento a 2 di N2
• Si trascura il bit più significativo del
  risultato

Esempio (010001)2?(000101)2 (17)10?(5)10
010001 1110111001100
(12)10
88
Rappresentazioni in complemento

• Sono utili perché loperazione di somma può
  essere realizzata non curandosi del bit di segno
• In complemento a 1 (più semplice da calcolare)
• Zero ha due rappresentazioni 00000000 e 11111111
  
• La somma bit a bit funziona quasi sempre
• In complemento a 2
• Zero ha una sola rappresentazione
• La somma bit a bit funziona sempre

89
Overflow

• Loverflow si ha quando il risultato di
  unoperazione non è rappresentabile correttamente
  con n bit
• Per evitare loverflow occorre aumentare il
  numero di bit utilizzati per rappresentare gli
  operandi
• Cè overflow se cè riporto al di fuori del bit
  di segno e non sul bit di segno, o se cè riporto
  sul bit di segno, ma non al di fuori

Esempio 5 bit ? ?16,15
Punteggio nei vecchi videogame sorpresa per i
campioni!
0111 1111 1111 1111 1 1000 0000 0000 0000
32767 1 ?32768
90
Moltiplicazione binaria

• Le regole per la moltiplicazione di due bit sono
• Moltiplicare per 2n corrisponde ad aggiungere n
  zeri in coda al moltiplicando

0 ? 0 0 0 ? 1 0 1 ? 0 0 1 ? 1 1
Esempio
1100111 x 101 1100111 0000000
1100111 1000000011
110011 x 10000 1100110000
? 16 24
91
Divisione binaria

• La divisione binaria di A per B viene calcolata
  in modo analogo alla divisione decimale, così da
  ottenere un quoziente Q ed un resto R, tali che A
  B?Q R
• La divisione binaria si compone di una serie di
  sottrazioni
• Dividere per 2n equivale a scorrere il numero a
  destra di n posizioni le cifre scartate
  costituiscono il resto

(



1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1
1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0
54 5?10 4
5116 3 con resto 3
110011 ? 10000 11 con resto 11
92
Esempio

• Quesito Data una base B, si consideri il numero
  x?(C5C4C3C2C1C0)B, dove le singole cifre valgono
  
• C5 B?1, C4 B?1, C3 B?1, C2 0, C1 0, C0
  0
• Qual è la rappresentazione in base B del
  risultato dellespressione (x/B3)?1?
• Dividere per B3, che per qualsiasi base si
  rappresenta come 1000, equivale a shiftare il
  numero di tre cifre a sinistra
• Rimangono quindi le tre cifre più significative,
  tutte uguali a B?1
• Sommando 1, a causa dei riporti, si ottiene
  quindi come risultato dellespressione 1000?B3,
  qualsiasi sia il valore della base B

93
Esercizi

• Esercizio 1
• Assumendo che un elaboratore rappresenti i
  numeri interi con segno su quattro bit in
  complemento a 2, si calcolino entrambi i membri
  della seguente identità
• (A?C)B (AB)?C,
• con A7, B5, C7. Si ottiene lo stesso
  risultato dal calcolo dei due membri? Discutere
  le motivazioni della risposta.
• Esercizio 2
• Si determini, se esiste, la base b di un sistema
  di numerazione tale che
• (842)b (1202)10
• Si determini, se esiste, la base b ? 16 di un
  sistema di numerazione tale che
• (725)b ? (626)b (224)10

94
Numeri in virgola mobile

• La rappresentazione dei numeri in virgola mobile
  è in relazione con la notazione scientifica (es.
  1.2?102120)
• La IEEE ha previsto uno standard per la
  rappresentazione in virgola mobile

• singola precisione (32 bit 4 byte)
• doppia precisione (64 bit 8 byte)
• quadrupla precisione (128 bit 16 byte)

Singola precisione
0
31
22
23
23 bit
8 bit
Mantissa
Segno
Esponente
(o Caratteristica)
Il valore è
Eccesso vale 2t?1?1, se t è il numero di cifre
riservate alla caratteristica ? rappresentazione
interna dellesponente sempre positiva
(?1)S 1.M?2E?127 se E?0 (?1)S 0.M?2?126 se
E0
95
Singola precisione

• Il numero più grande rappresentabile è
  2128?(2?2?23)?2129?6.81?1038
• Il più piccolo numero positivo è
  2?126?2?23?2?149?1.4?10?45
• In totale si rappresentano 232 numeri distinti,
  metà positivi, metà negativi
• Circa metà dei numeri sono compresi fra ?1 e 1
  (E?127lt0)

0 11111111 11111111111111111111111 2255?127
1.111111111111111111111111
0 00000000 00000000000000000000001 2?126
0.00000000000000000000001
223 valori
223 valori
223 valori
223 valori
0.5
0
1
2
4
96
Laritmetica floating?point addizione

• Metodo per il calcolo delladdizione
• Se le caratteristiche dei numeri sono diverse, si
  considera il numero con caratteristica minore e
• 1.1 Si trasla la mantissa di un posto a
  destra
• 1.2 Si incrementa la caratteristica di
  1, fino a quando le due
• La mantissa del risultato è ottenuta dalla somma
  delle due mantisse
• Se laddizione comporta un riporto oltre la cifra
  più significativa, si trasla la mantissa del
  risultato a destra di un posto, il riporto nel
  bit più significativo, e si incrementa la
  caratteristica di 1

caratteristiche sono uguali, e
corrispondono alla caratteristica del risultato
97
Un esempio di addizione

• Supponiamo che per la rappresentazione
  floatingpoint vengano utilizzati otto bit, di
  cui uno per il segno, tre per la caratteristica e
  quattro per la mantissa
• La caratteristica del secondo operando è più
  piccola di una unità, quindi la mantissa deve
  scorrere di una posizione a destra
• La caratteristica del risultato è 110 e la
  mantissa è 1101 0100 10001 la caratteristica
  deve essere aumentata di 1 e portata a 111, e la
  mantissa del risultato traslata a destra di una
  posizione

3.25
N (?1)s0.M?2E?4
1.125
1001 ? 0100
Codifica il numero 4 (dato che la caratteristica
si rappresenta in eccesso a 4), ma il risultato
corretto è 4.375 errore di troncamento
98
Laritmetica floating?point moltiplicazione

• Metodo per il calcolo della moltiplicazione
• Si moltiplicano le due mantisse
• Si addizionano le due caratteristiche
• Si trasla a sinistra il prodotto delle due
  mantisse fino ad ottenere un 1 come cifra più
  significativa si diminuisce la caratteristica di
  1 per ogni traslazione eseguita
• Si tronca la mantissa al numero di bit utilizzati
  nella rappresentazione la mantissa del prodotto
  è il risultato del troncamento
• Si sottrae leccesso alla somma delle
  caratteristiche, ottenendo la caratteristica del
  prodotto

99
Un esempio di moltiplicazione

• Supponiamo che per la rappresentazione
  floatingpoint vengano utilizzati otto bit, di
  cui uno per il segno, tre per la caratteristica e
  quattro per la mantissa
• Moltiplicando le mantisse e sommando le
  caratteristiche si ottiene
• La mantissa del risultato deve essere traslata di
  un posto a sinistra, e la somma delle
  caratteristiche deve essere decrementata di 1
  infine la mantissa deve essere troncata alle 4
  cifre significative e leccesso (100) sottratto
  alla caratteristica

0.203125
N (?1)s0.M?2E?4
1.125
M01110101 E111
Codifica il numero 0.21875, ma il risultato
corretto è 0.228515625 errore di troncamento
100
Laritmetica degli elaboratori ? 1

• Laritmetica interna degli elaboratori
  differisce notevolmente dallaritmetica classica
• Sebbene le stesse operazioni possano essere
  realizzate secondo modalità diverse su
  elaboratori diversi, si riscontrano alcune
  caratteristiche comuni
• Rappresentazione binaria dei numeri
• Rango finito dei numeri rappresentabili
• Precisione finita dei numeri
• Operazioni espresse in termini di operazioni più
  semplici

101
Laritmetica degli elaboratori ? 2

• Rango finito dei numeri rappresentabili
• Qualunque sia la codifica utilizzata, esistono
  sempre il più grande ed il più piccolo numero
  rappresentabile
• I limiti inferiore e superiore del rango di
  rappresentazione dipendono sia dal tipo di
  codifica, sia dal numero di bit utilizzati
• Se il risultato di unoperazione non appartiene
  al rango dei numeri rappresentabili, si dice che
  si è verificato un overflow (un underflow, più
  precisamente, se il risultato è più piccolo del
  più piccolo numero rappresentabile)

102
Laritmetica degli elaboratori ? 3

• Precisione finita dei numeri
• La precisione della rappresentazione di un numero
  frazionario è una misura di quanto essa
  corrisponda al numero che deve essere
  rappresentato
• Negli elaboratori, i numeri frazionari sono
  rappresentati in virgola mobile (floatingpoint),
  utilizzando un numero finito di bit
• È plausibile che un numero reale non ammetta una
  rappresentazione finita, quindi dovrà essere
  codificato in maniera approssimata
• Negli elaboratori si rappresentano soltanto
  numeri razionali (fino ad una data precisione)

103
Laritmetica degli elaboratori ? 4

• Operazioni espresse in termini di operazioni più
  semplici
• La maggior parte degli elaboratori non possiede
  circuiti in grado di eseguire direttamente tutte
  le operazioni
• La sottrazione si realizza per mezzo di una
  complementazione e di unaddizione
• La moltiplicazione si realizza per mezzo di una
  successione di addizioni e di shift (traslazioni)
• La divisione si realizza per mezzo di una
  successione di shift e sottrazioni
• Le operazioni più semplici sono eseguite
  direttamente da appositi circuiti (in hardware)
  le operazioni più complesse sono realizzate
  mediante lesecuzione di successioni di
  operazioni più semplici, sotto il controllo di
  programmi appositamente realizzati, e
  generalmente memorizzati permanentemente (in
  firmware)

104
Codifica dei caratteri alfabetici 1

• Oltre ai numeri, molte applicazioni informatiche
  elaborano caratteri (simboli)
• Gli elaboratori elettronici trattano numeri
• Si codificano i caratteri e i simboli per mezzo
  di numeri
• Per poter scambiare dati (testi) in modo
  corretto, occorre definire uno standard di
  codifica

105
Codifica dei caratteri alfabetici 2

• Quando si scambiano dati, deve essere noto il
  tipo di codifica utilizzato
• La codifica deve prevedere le lettere
  dellalfabeto, le cifre numeriche, i simboli, la
  punteggiatura, i caratteri speciali per certe
  lingue (æ, ã, ë, è,)
• Lo standard di codifica più diffuso è il codice
  ASCII, per American Standard Code for Information
  Interchange

106
Codifica ASCII

• Definisce una tabella di corrispondenza fra
  ciascun carattere e un codice a 7 bit (128
  caratteri)
• I caratteri, in genere, sono rappresentati con 1
  byte (8 bit) i caratteri con il bit più
  significativo a 1 (quelli con codice dal 128 al
  255) rappresentano unestensione della codifica
• La tabella comprende sia caratteri di controllo
  (codici da 0 a 31) che caratteri stampabili
• I caratteri alfabetici/numerici hanno codici