Expresiones Regulares

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Expresiones Regulares
Curso de Compiladores

• Preparado por
• Manuel E. Bermúdez, Ph.D.
• Associate Professor
• University of Florida

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Expresiones Regulares

• Una descripción compacta y fácil de leer de un
  lenguaje regular.
• Usamos operadores para denotar constructores de
  lenguajes, y construir lenguajes complejos a
  partir de lenguajes atómicos sencillos.

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Expresiones Regulares

• Definición Una expresión regular sobre un
  alfabeto S se define recursivamente
• ø denota el lenguaje ø
• e denota el lenguaje e
• a denota el lenguaje a, para todo a ? S.
• (P Q) denota L(P) U L(Q), donde P, Q son
  e.r.s.
• (PQ) denota L(P)L(Q), donde P, Q son e.r.s.
• P denota L(P), donde P is una e.r.
• Para evitar paréntesis excesivos, asumimos
  asociatividad izquierda, con la siguiente
  precedencia (de mayor prioridad a menor
  prioridad) , ,

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Expresiones Regulares

• Ejemplos
• (O 1) una hilera de Os y 1s.
• (O 1)1 una hilera de Os y 1s, que termina
  en 1.
• 1O1 una hilera de 1s con un O insertado.
• Letter (Letter Digit) un identificador.
• Digit Digit un entero.
• Quote Char Quote una hilera.
• Char Eoln un comentario.
• Char otro comentario.
• Assumiendo que Char no contiene Quote,
• eoln, o .

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Expresiones Regulares

• Conversión de gramática lineal derecha a
  expresión regular
• Ejemplo
• S ? aS R ? aS
• ? bR
• ? e
• Qué significa S ? aS ?
• L(S) ? aL(S)
• S ? bR significa L(S) ? bL(R)
• S ? e significa L(S) ?e

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Expresiones Regulares

• Juntas (las tres opciones de S) significan que
• L(S) aL(S) bL(R) e
• o bien, S aS bR e
• Similarmente, R ? aS significa que R aS.
• Entonces, S aS bR e
• R aS
• Sistema de ecuaciones simultáneas, en la cual las
  variables son los no-terminals.

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Expresiones Regulares

• Solución del sistema de ecuaciones simultáneas.
• S aS bR e
• R aS
• Sustituimos R aS
• S aS baS e
• (a ba) S e
• Pregunta Qué hacemos con ecuaciones de la
  forma
• X ?X ß ?

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Expresiones Regulares

• Respuesta ß ? L(x), así que
• aß ? L(x),
• aaß ? L(x),
• aaaß ? L(x),
• y entonces, aß L(x).
• En nuestro caso,
• S (a ba) S e
• (a ba) e
• (a ba)

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Expresiones Regulares

• Algoritmo 5
• Gramática Lineal Derecha ? Expresión Regular
• 1. A a1 a2 an si A ? a1
• ? a2
• .
• .
• .
• ? an

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Expresiones Regulares

• Si la ecuación es de la forma X a, donde X no
  aparece in a, se reemplaza toda ocurrencia de X
  con a en todas las demás ecuaciones, y se elimina
  la ecuación X a.
• Si la ecuación es de la forma X aX ß,
  donde X no occurre en a o en ß, se reemplaza la
  ecuación con X aß.
• Nota Se puede necesitar manipulación algebraica
  para obtener la forma X aX ß.
• Importante La concatenación no es conmutativa!!

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Expresiones Regulares

• Ejemplo
• S ? a R ? abaU U ? aS
• ? bU ? U ? b
• ? bR
• S a bU bR
• R abaU U (aba e) U
• U aS b
• Sustituimos R
• S a bU b(aba e) U
• U aS b

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Expresiones Regulares

• Sustituimos U
• S a b(aS b) b(aba e)(aS b)
• a baS bb babaaS babab baS bb
• (ba babaa)S (a bb babab)
• Y entonces,
• S (ba babaa)(a bb babab)

repetidas
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Lenguajes Regulares

• Resumiendo
• RGR RGL DFA
• Mínimo
• RE NFA DFA

Listo
Algoritmos 1,2
Algoritmos 3,4
Pronto
Algoritmo 5
14
Expresiones Regulares

• Algoritmo 6 (Versión 1)
• Expresión Regular ? FSA (Autómata Finito
• 
  no-determinístico)
• Se construye el FSA recursivamente, según la
  estructura de la expresión regular. Cada FSA
• tiene un estado inicial, y uno final.
• Conversiones
• para ø

2
1
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Expresiones Regulares

• para e
• para a
• para P Q
• ó
  para P Q

1
a
1
2
P
e
e
1
2
e
e
Q
e
P
Q
e
e
e
1
P
Q
2
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Expresiones Regulares
e

• para
  P
• Ejemplo (b (aba e) a)
• (b (aba e) a)
• (b (aba e) a)
• (b (aba e) a)

e
e
1
P
2
e
b
1
2
a
3
4
b
5
6
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Expresiones Regulares
a

• (b (aba e) a)
• (b (aba e) a)
• (b (aba e) a)
• (b (aba e) a)

7
8
9
a
10
11
a
b
e
3
4
5
6
e
7
8
a
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Expresiones Regulares

• (b (aba e) a)
• (b (aba e) a)

a
b
e
3
4
5
6
e
e
12
7
9
8
13
e
a
e
e
b
2
1
e
a
b
e
3
4
5
6
e
e
12
7
9
8
13
e
a
e
e
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Expresiones Regulares

• (b (aba e) a)

b
2
1
e
a
b
e
3
e
4
5
6
e
12
7
9
8
13
e
a
e
e
e
10
a
11
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Expresiones Regulares

• (b (aba e) a)

e
a
e
e
b
2
14
12
3
4
1
e
e
e
e
5
9
11
e
e
a
6
13
15
7
8
10
a
e
e
e
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Expresiones Regulares

• Algoritmo 6 (Versión 2)
• Expresión Regular ? FSA (Autómata Finito
• 
  no-determinístico)
• Punto de inicio

E
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Expresiones Regulares

• Reglas de conversión

a
a
e
e
ab
a
b
a
a b
b
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Expresiones Regulares

• Algoritmo 6 versión 1
• Construye FSA de abajo hacia arriba
• Bueno para máquinas
• Malo para seres humanos
• Algoritmo 6 versión 2
• Construye FSA de arriba hacia abajo
• Malo para máquinas
• Bueno para seres humanos

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Expresiones Regulares

• Ejemplo (Versión 2)

(a b) (aa bb)
(a b)
aa bb
aa
e
e
bb
a b
a
a
e
e
b
b
a
b
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Expresiones Regulares

• Ejemplo (Versión 2)

ba(a b) ab
a
b
a
e
e
a
b
b
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Lenguajes Regulares

• Resumiendo
• RGR RGL DFA
• Mínimo
• RE NFA DFA

Listo
Algoritmos 1,2
Algoritmos 3,4
Pronto
Algoritmo 5
Algoritmo 6
27
Autómatas de Estado Finito Determinísticos
(DFAs)

• Definición Un FSA determinístico se define igual
  que uno no-determinístico, excepto que
• d Q x S ? Q, en lugar de
• d Q x S U e ? 2Q
• Así,
• y
• son impossibles.

e
a
a
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Autómatas de Estado Finito Determinísticos
(DFAs)

• Cada transición de un DFA consume un símbolo.
  Afortunadamente, los DFAs tiene el mismo poder
  (de reconocimiento) que los NFAs.
• Teorema Para cada NFA existe un DFA equivalente
  (i.e. que acepta el mismo lenguaje).

29
Autómatas de Estado Finito Determinísticos
(DFAs)

• Algoritmo 7 Conversión de NFA a DFA
• Se simulan las transiciones del NFA, con el
  DFA.
• El estado inicial del DFA es el estado inicial
  del NFA (digamos, S), junto con todos los estados
  alcanzables (con e) desde S.
• Cada estado del DFA es un subconjunto de los
  estados del NFA.
• Estados nuevos en el DFA se construyen calculando
  el conjunto de estados alcanzables desde estados
  del NFA, para cada símbolo.
• Los estados finales del DFA son los que contienen
  al menos un estado final del NFA.

30
Autómatas de Estado Finito Determinísticos
(DFAs)

• Ejemplo ab ba

NFA
31
Autómatas de Estado Finito Determinísticos
(DFAs)

• Entrada
• Estado a b
• 123 23 456
• 23 23 6
• 456 56 ---
• 6 --- ---
• 56 56 ---
• DFA

a
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Autómatas de Estado Finito Determinísticos
(DFAs)

• En general, si el NFA tiene N estados, el DFA
  puede tener hasta 2N estados.
• Ejemplo ba (a b) ab

33

• Estado a b
• 0 --- 1
• 1 234689 ---
• 234689 34568910 346789
• 34568910 34568910 34678911
• 346789 34568910 346789
• 34678911 34568910 346789

34
Autómatas de Estado Finito Determinísticos
(DFAs)
DFA
a
34568910
b
a
a
b
a
234689
34678911
a
0
1
b
346789
b
b
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Lenguajes Regulares

• Resumiendo
• RGR RGL DFA
• Mínimo
• RE NFA DFA

Listo
Algoritmos 1,2
Algoritmos 3,4
Pronto
Algoritmo 5
Algoritmo 6
Algoritmo 7
36
Minimización de Estados

• Teorema Dado un DFA M, existe un DFA M
  equivalente que es mínimo, i.e. no existe ningún
  otro DFA equivalente con menos estados que M.
• Definición Una partición de un conjunto S es un
  conjunto de subconjuntos de S, tal que cada
  elemento de S aparece en uno (y solo uno) de esos
  subconjuntos.

37
Minimización de Estados

• Ejemplo
• S 1, 2, 3, 4, 5
• ?1 1, 2, 3, 4, 5
• ?2 1, 2, 3,, 4, 5
• ?3 1, 3, 2, 4, 5
• Nota ?2 es un refinamiento de ?1 , y ?3 es un
  refinamiento de ?2.

38
Minimización de Estados

• Algorithmo 8 (Minimización de un DFA)
• Eliminar las transiciones indefinidas
  introduciendo el estado TRAMPA, desde el cual no
  se llega un estado final.
• Particionar los estados en dos grupos (finales y
  no-finales).
• Completar la tabla de estados, especificando las
  transiciones de cada grupo a otros.
• Refinar la partición se desprenden los grupos
  con transiciones distintas.
• Repetir el paso 3 hasta no haber más
  refinamientos.
• Determinar los estados finales.

39
Minimización de Estados
a
b

• Ejemplo
• ?0 1, 2, 3, 4, 5
• Estado a b
• 1 1234 1234
• 2 1234 1234
• 3 1234 1234
• 4 1234 5
• 5 1234 1234

b
Se desprende 4 de la partición 1,2,3,4
40
Minimización de Estados

• ?1 1, 2, 3, 4, 5
• Estado a b
• 1 123 123
• 2 123 4
• 3 123 123
• 4 123 5
• 5 123 123
• Se desprende 2 de la partición 1,2,3

41
Minimización de Estados
a

• ?2 1, 3, 2, 4, 5
• Estado a b
• 1 2 13
• 3 2 13
• 2 2 4
• 4 2 5
• 5 2 13
• No más refinamientos
• DFA Mínimo

b
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Lenguajes Regulares

• Resumiendo
• RGR RGL DFA
• Mínimo
• RE NFA DFA

Algoritmos 1,2
Algoritmos 3,4
Algoritmo 5
Algoritmo 8
Algoritmo 6
Algoritmo 7
Listo !
43
Resumen de Lenguajes Regulares

• La clase más pequeña de la jerarquía de Chomsky.
• Apropiada para el análisis léxico.
• Cuatro representaciones RGR, RGL, ER y FSA.
• Las cuatro son equivalentes (algoritmos de
  transformación).
• Diversas ventajas y desventajas entre las cuatro
  representaciones, para el diseñador, el
  implementador, y el usuario de un lenguaje.
• Los FSA se pueden hacer determinísticos y
  mínimos.