Diapositiva 1

1
Tema 4 Polinomios
2
El lenguaje algebraico utiliza letras, números y
signos de operaciones para expresar informaciones.
Lenguaje ordinario
Lenguaje algebraico
3x
El cuadrado de la suma de dos números
(a b)2
n, n 1
Hoy tengo 15 años. Cuántos años tendré cuando
pasen x años?
15 x
15 y
Un número par
2n
bh 2
3
Variables en Álgebra
Una variable es una letra que se utiliza para
representar uno o más números. Los números son
los valores de la variable. Una expresión
variable o expresión algebraica es una colección
de números, de variables y de operaciones. Aquí
están algunos ejemplos.
8y 8 y 8(y) 8 veces y
Multiplicación
4 s 4 más s
Suma
9 x 9 menos x
Resta
4
En las operaciones algebraícas las letras
representan números. Las propiedades de las
operaciones con números siguen siendo válidas
Suma Producto
Asociativa (a b) c a (b c) (a b) c a (b c)
Conmutativa a b b a a b b a
Distributiva a(b c) ab ac (a b)c ac bc
El producto de potencias de la misma base es otra potencia que tiene la misma base y por exponente la suma de los exponentes. ap aq apq
El producto de potencias del mismo exponente es otra potencia que tiene por base el producto de las bases y por exponente el mismo. ap bp (ab)p
La potencia de una potencia es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente el producto de los exponentes. (ap)q apq
5

• Una expresión algebraica es toda combinación de
  números y letras unidos por los signos de las
  operaciones aritméticas.
• Valor numérico de una expresión algebraica es el
  número que se obtiene al sustituir las letras por
  números dados y hacer las operaciones indicadas
  en la expresión.

• Si a y b son las medidas de los lados de un
  rectángulo, 2a 2b es la expresión algebraica
  que nos da el perímetro del rectángulo.
• Su valor numérico para a 3 y b 2 nos da el
  perímetro de un rectángulo de esas dimensiones
• 2 . 3 2 . 2 10

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Valor numérico de una expresión algebraica
Sustituir cada una de las variable en una
expresión por un número se llama evaluar la
expresión. El número que resulta es el valor
numérico de la expresión.
Evalúa la expresión cuando y 2.
SOLUCIÓN
c. y 3 2 3 Sustituye 2 por y.
5 Simplifica.
a. 8y 8(2) Sustituye 2 por y. 16
Simplifica.
d. 14 y 14 2 Sustituye 2 por y.
12 Simplifica.
7
Evaluar una expresión geométrica
EJEMPLO
El perímetro de un triángulo es igual a la suma
de las longitudes de sus lados a b
c. Calcula el perímetro del triángulo de la
figura.
SOLUCIÓN
Escribe la expresión.
Perímetro a b c
Sustituye los valores.
8 15 17
40
Simplifica.
El triángulo tiene un perímetro de 40
8
Área del cuadrado A l 2
Volumen del Cubo V l 3
El acuario tiene forma de cubo. Cada arista mide
2,5 dm. Calcula el volumen del acuario.
SOLUCIÓN
V l 3 Escribe la fórmula del volumen.
2,53 Sustituye 2.5 por l. 15.625
El volumen del acuario es 15,625 dm3.
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Monomios

• Un monomio es una expesión algebraica en la que
  las únicas operaciones que afectan a las letras
  son la multiplicación y potenciación de exponente
  natural.
• El grado de un monomio respecto a una letra es su
  exponente.
• El grado de un monomio es la suma de sus
  exponentes.

8x2y5
El grado de este monomio es 2 5 7
Llamamos coeficiente de un monomio a su parte
numérica y parte literal al resto del monomio
Grado
5x3
Parte literal
Coeficiente
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Monomios suma y diferencia

• Dos monomios son semejantes si tienen la misma
  parte literal.
• La suma o diferencia de varios monomios
  semejantes es otro monomio semejante.

12x2y 3x2y 6x2y
(12 3 6)x2y 15x2y
5x2 7xz
5x2 7xz
No son semejantes. No se pueden agrupar
15x2y 5x2 7xz
12x2y 3x2y 6x2y 5x2 7xz
11
Interpretación de la suma de monomios
8x
5x
3x


Semejantes
y
5x
y2


No semejantes
5x y2
12
Producto y cociente de monomios

• El producto de monomios es otro monomio que
  tiene
• como coeficiente, el producto de los
  coeficientes.
• como parte literal, las letras que aparecen en
  los monomios con exponente igual a la suma de los
  exponentes con que figura en los factores.

x3 x5
x3 5
x8
35 x6
5x2 7x4
5 x2 7 x4
2xy2 5x2y3 3xt
(2 5 3) (x x2 x) (y2 y3) t
30x4y5t
El cociente de dos monomios existe siempre que el
grado del monomio dividendo sea mayor o igual que
el del monomio divisor. El resultado es otro
monomio con coeficiente el cociente de los
coeficientes y grado la diferencia de los grados.
2x3 x3 2x33 2.
13
1. Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica formada
por la suma de monomios. Los monomios que lo
forman se llaman términos del polinomio.
Los polinomios en los que sólo aparece una letra
o variable los designaremos con letras mayúsculas
indicando entre paréntesis la variable. Por
ejemplo P(x) 5x7 4x3 5 es un polinomio en
la variable x.
Decimos que un polinomio es reducido cuando no
tiene monomios semejantes.
P(x) 2x3 3x3 3x2 5x2 1
se puede reducir sumando sus monomios semejantes
P(x) 5x3 2x2 1
14
Los polinomios se escriben generalmente con los
términos puestos en orden descendente, del grado
más grande al grado más pequeño.
El grado de cada término de un polinomio es el
exponente de la variable. El grado se un
polinomio es el mayor grado de sus términos.
El término independiente de un polinomio es el
monomio de grado cero (es decir, el número que va
sin letra).
2x3 5x2 4x 7
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Un polinomio de grado n es completo si contiene
todos los monomios de grado inferior a n. Es
ordenado si los monomios están escritos de mayor
a menor grado, o al revés P(x) x5 x no es
completo, sí ordenado.
P(x) x5 x no es completo, sí ordenado.
P(x) 5x3 2x2 6x 8 es completo y
ordenado.
El polinomio opuesto de P(x), representado por
P(x), se obtiene cambiando de signo todos los
coeficientes de P(x).
P(x) 5x3 2x2 6x 8
Polinomio opuesto P(x) 5x3 2x2 6x
8
16
Identificar coeficientes de polinomios
EJEMPLO
Identifica los coeficientes de 4x2 x3 3.
SOLUCIÓN. Primero escribe el polinomio en forma
ordenada. Escribe cada grado, aunque debas
utilizar un coeficiente cero.
4x2 x3 3 (1)x3 (4)x2 (0)x 3
Los coeficientes son 1, 4, 0, y 3.
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Un polinomio con solamente un término se llama
monomio. Un polinomio con dos términos se llama
binomio. Un polinomio con tres términos se llama
trinomio.
POLINOMIO GRADO CLASIFICADO
CLASIFICADO POR POR GRADO Nº DE TÉRMINOS
a) 6 0 constante monomio
b) 2x 1 lineal monomio
c) 3x 1 1 lineal binomio
d) x2 2x 5 2 cuadrático
trinomio
e) 4x3 8x 3 cúbico binomio
f) 2x4 7x3 5x 1 4 cuártico
polinomio
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Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio P(x) para un
valor de la variable x a se obtiene
sustituyendo x por a y operando.
El valor numérico del polinomio P(x) 2x3 3x2
1 para x 2 se obtiene sustituyendo x por 2 y
operando. Se expresa P(2) y su valor es
P(x) 2x3 3x2 1
P(2) 223 322 1 16 12 1 5
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Página 59 del libro
20
2. Suma y resta de polinomios
Para sumar o para restar dos polinomios, sumar o
restar los términos semejantes. Puedes utilizar
un formato vertical o un formato horizontal.
Hallar la suma. Escribir la respuesta en forma
ordenada. a. (5x3 x 2x2 7) (3x2 7
4x) (4x2 8 x3) b. (2x2 x 5) (x
x2 6)
SOLUCIÓN.
5x3 2x2 x 7 3x2 4x 7 x3
4x2 8
a. Formato vertical Escribir cada expresión en
forma ordenada. Alinear los términos semejantes.
4x3 9x2 5x 6
b. Formato horizontal Sumar los términos
semejantes.
(2x2 x 5) (x x2 6)
(2x2 x2) (x x) (5 6)
3x2 2x 1
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Restar polinomios
EJEMPLO
Halla las restas a. (2x3 5x2 x 8)
(2x3 3x 4) b. (x2 8) (7x 4x2)
c. (3x2 5x 3) (2x2 x 4)
SOLUCIÓN.
a. Utilizar un formato vertical. Para restar,
sumas el opuesto. Esto significa que puedes
multiplicar cada término en el polinomio restado
por 1 y sumar.
Suma el opuesto
5x2 4x 12
22
Restar polinomios
EJEMPLO
Halla las restas a. (2x3 5x2 x 8)
(2x3 3x 4) b. (x2 8) (7x 4x2)
c. (3x2 5x 3) (2x2 x 4)
SOLUCIÓN.
b.
Suma el opuesto
3x2 7x 8
c. Utilizar un formato horizontal.
(3x2 5x 3) (2x2 x 4)
3x2 5x 3 2x2 x 4
(3x2 2x2) (5x x) (3 4)
x2 4x 7
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3. Multiplicación de Polinomios
Ya sabemos cómo multiplicar un polinomio por un
monomio usando la propiedad distributiva.
(3x)(2x2 5x 3)
(3x)(2x2) (3x)(5x) (3x)(3)
6x3 15x2 9x
En la actividad siguiente, verás cómo un modelo
de áreas ilustra la multiplicación de dos
binomios.
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Multiplicación de dos binomios
Actividad
El rectángulo mostrado en la derecha tiene una
anchura de (x 2) y una altura de (2x 1).
25
Otra manera de multiplicar dos binomios es
utilizar la propiedad distributiva dos veces.
Primero (a b)(c d) a(c d) b(c d).
Entonces a(c d) ac ad y b(c d)
bc bd.
Esto demuestra que (a b) (c d) ac ad
bc bd.
Esta propiedad se puede también aplicar a los
binomios de la forma a b o c d.
Halla el producto (x 2)(x 3).
SOLUCIÓN
(b c)a ba ca
(x 2) (x 3) x(x 3) 2(x 3)
x2 3x 2x 6
a(b c) ab ac
x2 x 6
Combina términos semejantes.
26
Cuando multiplicas dos binomios, puedes recordar
los resultados dados por la propiedad distributiva
(3x 4)(x 5)
3x2 15x 4x 20
3x2 19x 20
(3x 4)(2x 1) 6x2 3x 8x 4
Simplifica.
6x2 5x 4
27
Multiplicar polinomios verticalmente
EJEMPLO
Halla el producto (x 2)(5 3x x2).
SOLUCIÓN
Alinea los términos en columnas.
Forma ordenada Forma ordenada
2x2 6x 10
2(x2 3x 5)
x3 3x2 5x
x(x2 3x 5)
Combina términos semejantes.
x3 5x2 x 10
28
Multiplicar polinomios horizontalmente
EJEMPLO
Halla el producto (4x2 3x 1)(2x 5).
SOLUCIÓN
Multiplica 2x 5 por cada término de 4x2 3x
1.
(4x2 3x 1)(2x 5) 4x2(2x 5) 3x(2x 5)
1(2x 5)
8x3 20x2 6x2 15x 2x 5
8x3 26x2 13x 5
29
Página 60 del libro
30
4. Productos notables de polinomios
Algunos pares de binomios tienen productos
especiales. Si aprendes a reconocer estos pares,
encontrar el producto de dos binomios será a
veces más rápido y más fácil.
Productos notables de binomios
Actividad
1. (x 2)(x 2) (2n 3)(2n 3) (4t
1)(4t 1) (x y)(x y)
2. (x 3)2 (3m 1)2 (5s 2)2 (x
y)2
3. (z 2)2 (6x 4)2 (5p 7)2 (x
y)2
31
PRODUCTOS NOTABLES
SUMA POR DIFERENCIA
(a b)(a b) a2 b2
Ejemplo (3x 4)(3x 4) 9x2 16
CUADRADO DE UNA SUMA
(a b)2 a2 2ab b2
Ejemplo (x 4)2 x2 8x 16
CUADRADO DE UNA DIFERENCIA
(a b)2 a2 2ab b2
Ejemplo (2x 6)2 4x2 24x 36
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El modelo de áreas mostrado en la figura da una
representación geométrica del cuadrado de una
suma (a b)2 a2 2ab b2.
El área del cuadrado grande es (a b)2, que es
igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados
más pequeños y los dos rectángulos. Observa que
los dos rectángulos con área ab producen el
término medio 2ab.
33
Suma por diferencia
EJEMPLO
Halla el producto (5t 2)(5t 2).
SOLUCIÓN
(a b)(a b) a2 b2
Escribe la fórmula.
Aplica la fórmula.
(5t 2)(5t 2) (5t)2 22
25t2 4
Simplifica.
COMPRUEBA. Haz la multiplicación
(5t 2)(5t 2) (5t)(5t) (5t)(2) (2)(5t)
(2)(2)
Multiplica.
25t2 4
Simplifica.
34
Cuadrado de un binomio
EJEMPLO
Halla los productos. a) (3n
4)2 b) (2x 7y)2
SOLUCIÓN
a) (a b)2 a2 2ab b2
Escribe la fórmula.
(3n 4)2 (3n)2 2(3n)(4) 42
Aplica la fórmula.
Simplifica.
9n2 24n 16
b) (a b)2 a2 2ab b2
Escribe la fórmula.
(2x 7y)2 (2x)2 2(2x)(7y) (7y)2
Aplica la fórmula.
4x2 28xy 49y2
Simplifica.
35
Los productos notables pueden ayudar a calcular
algunas multiplicaciones mentalmente.
Utiliza cálculo mental para hallar los
productos. a) 17 23
b) 292
SOLUCIÓN
Escribe como suma por diferencia.
a) 17 23 (20 3)(20 3)
Aplica la fórmula.
400 9 391
b) 292 (30 1)2
Escribe como cuadrado de una diferencia.
900 60 1 841
Aplica la fórmula.
36
Modelizar la Factorización de (ax)2 2abx b2
Actividad
37
Factorización usando productos notables
Las fórmulas de los productos notables se pueden
utilizar para factorizar polinomios.
DIFERENCIA DE CUADRADOS
a2 b2 (a b)(a b)
Ejemplo 9x2 16 (3x 4)(3x 4)
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
a2 2ab b2 (a b)2
Ejemplo x2 8x 16 (x 4)2
a2 2ab b2 (a b)2
Ejemplo 4x2 24x 36 (2x 6)2
38
Factorizar la diferencia de cuadrados
EJEMPLO
a. m2 4
Escríbelo como a2 b2.
m2 22
(m 2)(m 2)
Factoriza usando la fórmula.
b. 4p2 25
Escríbelo como a2 b2.
(2p)2 52
(2p 5)(2p 5)
Factoriza usando la fórmula.
c. 50 98x2
Saca factor común 2.
2(25 49x2)
252 (7x)2
Escríbelo como a2 b2.
2(5 7x)(5 7x)
Factoriza usando la fórmula.
39
Factorizar un trinomio cuadrado perfecto
EJEMPLO
a. x2 4x 4
Escríbelo como a2 2ab b2.
x2 2(x)(2) 22
(x 2)2
Factoriza usando la fórmula.
b. 16y2 24y 9
Escríbelo como a2 2ab b2.
(4y)2 2(4y)(3) 32
(4y 3)2
Factoriza usando la fórmula.
c. 3x2 30x 75
Saca factor común 3.
3(x2 10x 25)
3x2 2(x)(5) 52
Escríbelo como a2 2ab b2.
3(x 5)2
Factoriza usando la fórmula.
40
Página 62 del libro
41
EJERCICIOS
Factoriza las expresiones
1. x2 9 2. t2 10t 25 3. w2 16w
64 4. 16 t2 5. 6y2 24 6. 18 2z2
Diferencia de cuadrados. Factoriza las
expresiones
7. n2 16 8. 100x2 121 9. 6m2
150 10. 60y2 540 11. 16 81r2 12. 98
2t2 13. w2 y2 14. 9t2 4q2 15.
28y2 7t2
Cuadrados perfectos. Factoriza las expresiones
16. x2 8x 16 17. x2 20x 100 18.
y2 30y 225 19. b2 14b 49 20. 9x2
6x 1 21. 4r2 12r 9 22. 25n2 20n 4
23. 36m2 84m 49 24. 18x2 12x 2 25.
48y2 72xy 27x2 26. 16w2 80w 100 27.
3k2 42k 147
42
5. División de Polinomios
Para dividir un polinomio por un monomio, dividir
cada término por el monomio, guardando los mismos
signos entre los términos. Simplificar cada
fracción.
División de polinomios
Actividad
43
Dividir un polinomio por un monomio
EJEMPLO
Divide 12x2 20x 8 por 4x.
SOLUCIÓN
Divide cada término del numerador por 4x.
Halla factores comunes.
Divide por el factor común.
Forma simplificada
44
Puedes utilizar la división larga de polinomios
para dividir los polinomios que no tienen
factores comunes. Primero recuerda el proceso
para la división larga en aritmética.
5 6
2
3
9 8
8 4
1 4
Divide 12x2 20x 8 por 4x.
SOLUCIÓN
12x2
3x
5
20x
Cociente
20x
8
Resto
45
Dividir polinomios
EJEMPLO
Divide x2 2x 4 por x 1.
SOLUCIÓN
2. Resta x(x 1).
x
x2 x
3
Para restar (x) de 2x, sumas x.
3x 4
3x 3
4. Resta 3(x 1).
7
5. El resto es 7.
Dividendo x2 2x 4
Divisor x 1
Puedes comprobar que se cumple la regla de la
división Dividendo divisor Cociente Resto
Cociente x 3
Resto 7
46
Dividir polinomios
EJEMPLO
Divide 6x2 11 por x 2.
Primero completa el polinomio dividendo con el
término 0x 6x2 11 6x2 0x 11.
SOLUCIÓN
6x2 12x
6x
12
2. Resta 6x(x 2).
12x 11
12x 24
13
4. Resta 12(x 2).
5. El resto es 13.
Dividendo 6x2 11
Divisor x 2
Cociente 6x 12
Resto 13
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