Teoria dei fenomeni aleatori

1
Processi Autoregressivi AR(1)
Filtro IIR di ordine 1
AR(1) eq. alle differenze ricorsiva di ordine 1
White Gaussian Noise (WGN)
MATLAB wrandn(N,1) xfilter(b,a,w)
2
ACF e PSD di un processo AR(1)
3
Periodogramma del processo di ingresso WGN
N64
N1024
4
Generazione processo AR(1)

• Generare e graficare tre realizzazioni di un
  p.a. AR(1) Gaussiano. Parametri
  Intervallo temporale discreto di osservazione
  N128 Potenza del processo
  Parametro AR(1)
• istruzioni utili randn, for, filter, subplot,
  stem
• - Rappresentare i grafici della funzione di
  autocorrelazione e della densità spettrale di
  potenza.

5
Esempio di risultati
r0.1
6
Esempio di risultati
r0.5
7
Esempio di risultati
r0.9
8
Esempio di risultati
r-0.9
9
Confronto ..
r0.1
r0.9
10
Funzione di autocorrelazione (1/2)
? 0.5
11
Funzione di autocorrelazione (2/2)
? - 0.9
? 0.9
12
Densità spettrale di potenza (1/2)
13
Densità spettrale di potenza (2/2)
? - 0.9
? 0.9
14
Esempio di risultati (1/2)
generazione realizzazioni p.a. AR(1) Gaussiano
di potenza unitaria function x
genproar1(Nc,nr,a) in numero di campioni,
Nc numero di realizzazioni, nr
coefficiente di reazione, a out matrice di
realizzazioni, una per riga uscita su
video di grafico delle nr realizzazioni. sigmaws
qrt(1-a2) calcola la deviazione standard
per il processo di forzamento wsigmawrandn(nr,N
c) genera nr realiz. di durata Nc del
processo di forzamento for i1nr x(i,)filter
(1,1 -a,w(i,),0) filtraggio IIR del primo
ordine di ogni realiz. end figure
grafica le nr realizzazioni del p.a.
AR(1) for i1nr subplot(nr,1,i)
stem(x(i,)) xlabel(n) ylabel(x(n))
axis(0 Nc -2.5 2.5) end
15
Esempio di risultati (2/2)
Funzione di autocorrelazione m1Nc sigmaxsqrt
(sigmaw2/(1-a2)) Rxsigmax2a.m figure(2) s
tem(Rx) axis(0 Nc -sigmax2 sigmax2) grid
on xlabel('m') ylabel ('Rx(m)') title('Funzione
di autocorrelazione') Densità spettrale di
potenza aa0.1 0.2 0.5 for n13 Nf1024
Df1/Nf f-0.5Df0.5-Df
Sxsigmaw2./(1aa(n)2-2aa(n)cos(2pif))
plot(f,Sx) hold on axis(-0.5 0.5 0
max(Sx)) grid on xlabel('frequenza')
ylabel ('Sx(f)') title('Densità Spettrale di
Potenza') end
16
Periodogramma mediato di processo AR(1)

• Generare N campioni di una realizzazione di un
  p.a. AR(1) Gaussiano, calcolare e graficare
  il periodogramma mediato su M segmenti dati,
  e confrontarlo con la PSD teorica
• Parametri Intervallo temporale discreto
  di osservazione N2048 Potenza del
  processo Parametro AR(1)
  Numero di segmenti M16 (ciascuno di LN/M128
  campioni)
• istruzioni utili randn, filter, fft,
  fftshift, abs, mean

17
Periodogramma esempio di risultati (1/3)
? 0.5
18
Periodogramma esempio di risultati (2/3)
? 0.9
19
Periodogramma esempio di risultati (3/3)
Stima spettrale AR(1) clear all close all clc
N2048 M16 LN/M sigmax1 a0.5 sigmawsigm
axsqrt(1-a2) wsigmawrandn(1,N) xfilter(1,1
-a,w,0) Nfft1024 Df1/Nfft f-0.5Df0.5-
Df periodogramma TDFxfftshift(fft(x,Nfft))
modxabs(TDFx) modx2modx.2 periodmodx2./N f
igure(1) plot(f,10Log10(period)) xlabel('freque
nza') ylabel('DSP stimata') grid
on title('periodogramma')
periodogramma mediato for i1M
TDFxmed(i,)fftshift(fft(x(((i-1)L1)iL),Nfft)
) modxmedabs(TDFxmed)
modx2medmodxmed.2 period_medmodx2med./N e
nd period_finmean(period_med,1) figure(2) plot
(f,10Log10(period_fin)) xlabel('frequenza') yla
bel('DSP stimata') grid on title('periodogramma
mediato su L blocchi')