Presentazione di PowerPoint

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Lezione introduttiva su Fluidi ideali
(Ing. E. Foti)
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Fluidi ideali sommario della lezione
(1)L. de Lagrange, Mechanique analytique
(1788).
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1. Premessa
Il moto di un fluido che occupa la regione V(t)
racchiusa dalla superficie S(t) è usualmente
affrontato ipotizzando che le caratteristiche
macroscopiche valutabili sperimentalmente siano
funzioni continue dello spazio e del tempo.
Ciò implica che il processo di movimento risulta
individuato e predicibile una volta che le
funzioni r(x,t), v(x,t), p(x,t) e T(x,t),
rispettivamente significative della distribuzione
di densità, velocità, pressione e temperatura,
siano note al variare del tempo in tutta la
regione fluida interessata dal processo di
movimento.
La descrizione appena data di movimento è quella
che usualmente viene definita euleriana (anche
se, in realtà, fu J.R. dAlembert, nel 1752, ad
introdurla per primo(1)), in cui tutte le
grandezze significative, riferite ad un sistema
di riferimento fisso, vengono individuate nel
tempo attraverso equazioni differenziali(2). Tale
descrizione si contrappone a quella della
meccanica classica in cui le variabili
indipendenti risultano essere, oltre al tempo
(t), le coordinate che allistante iniziale
individuano la particella materiale di cui si
vuol seguire levoluzione per tutto il processo
di movimento
(1)J.le R. dAlembert, Essai dune nouvelle
theorie de la résistence des fluides (1752).
Memoria presentata allAccademia di Berlino nel
dicembre del 1749. (2)L. Euler, Principia motus
fluidorum.
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1. Premessa
In particolari condizioni, invero assai frequenti
nella realtà, specialmente se il fluido
considerato sia laria o lacqua, entrambi
caratterizzati da un bassissimo valore della
viscosità cinematica , risulta
utile trascurare nel processo di moto gli effetti
legati alla viscosità (ciò significa porre
m0). Tale modello di fluido, detto ideale, per
il quale risultano nulle sia le tensioni
tangenziali, sia la parte non isotropica delle
tensioni normali, rappresenta uno schema
concettuale di grande utilità dal momento che
esso introduce notevoli semplificazioni nelle
equazioni del moto.
E chiaro come nella realtà fisica il moto di un
fluido non sia mai veramente ideale. Tuttavia
lo schema logico di fluido ideale assume
rilevanza poiché in molti casi, alcuni dei quali
sono di seguito descritti, gli effetti viscosi
sono trascurabili. Ciò avviene ad esempio, quando
il numero di Reynolds caratteristico del processo
di moto risulta sufficientemente elevato. In
altre parole, se Regtgt1, le azioni viscose possono
ritenersi trascurabili in tutto il campo di moto
(tranne che in quelle regioni prossime a contorni
solidi in cui i gradienti di velocità sono
rilevanti)
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2. Formulazione del problema
Sulla base delle considerazioni prima esposte,
lequazione del moto nel caso di fluidi ideali
risulta essere la seguente Cui va associata
lequazione di continuità che, nel caso più
generale si può porre come segue
(equazione di Eulero)
Vediamo quali considerazioni di carattere
generale possono trarsi da essa. Si
particolarizzi il campo di forze di massa come
campo conservativo (es. campo gravitazionale) per
cui è lecito porre
Ne segue allora che lequazione di Eulero,
nellipotesi di fluido incomprimibile, si riduce
alla seguente
Questultima pone chiaramente in evidenza come,
nel caso di fluidi ideali e forze di massa
conservative, laccelerazione sia derivabile da
un potenziale scalare.
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2. Formulazione del problema
Questo risultato è anche estendibile al caso di
fluido comprimibile (barotropico) ideale, posto
infatti r r(p) si ricava
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2.1 Il teorema di Kelvin
Sulla base dellultima espressione mostrata, si
può osservare che, indipendentemente dalla
irrotazionalità del moto, per un fluido ideale
immerso in un campo di forze conservative la
circolazione G della velocità lungo una qualsiasi
curva riducibile C in moto con il fluido si
mantiene costante nel tempo. Infatti, definendo
la circolazione G nella forma
Si ha che
Per cui, se r è una funzione monodroma di p ed il
campo di forze di massa è costante (gcostante)
allora la funzione integranda esprime un
differenziale esatto e quindi
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2.1 Il teorema di kelvin
Esaminiamo alcune conseguenze del teorema di
Kelvin. Nel caso di irrotazionalità dal moto di
un fluido ideale, il teorema di Kelvin sancisce
la persistenza di tale condizione. Per chiarire
questo concetto basta ricorrere al teorema di
Stokes che, come è noto, assicura la seguente
uguaglianza Con n normale alla superficie A
racchiusa da C. ricordando inoltre che la
vorticità è definita come Se ne ricava subito
laffermazione prima fatta. Il teorema di Stokes
infatti impone sul piano fisico luguaglianza tra
la circolazione della velocità lungo una
qualsiasi curva riducibile C immersa nel dominio
fluido ed il flusso di vorticità attraverso una
qualsiasi superficie A da essa delimitata. In
altre parole, G uguaglia lintensità del tubo
vorticoso formato da tutte le linee di vorticità
(linee a tangente parallela al vettore vorticità
locale) che si appoggiano alla curva C. Se il
moto è irrotazionale (w0) la circolazione
risulta nulla lungo tutte le curve riducibili
immerse nel campo di moto. Inoltre, per il
teorema di Kelvin, se tale circostanza è
verificata allistante iniziale, essa risulterà
verificata in tutti gli istanti successivi.
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2.1.1 Fluido ideale in moto irrotazionale e
rotazionale

• Riassumendo, per un fluido ideale
• Se il moto è irrotazionale (w0) esso resta tale
  nel tempo ed inoltre G risulta nulla lungo tutte
  le linee riducibili immerse nel campo di moto
• Se il moto è rotazionale (w?0) levoluzione della
  vorticità è descritta dallequazione seguente
• questultima mostra che, nellipotesi di densità
  uniforme, la dinamica della vorticità non è
  influenzata né dal campo delle pressioni, né
  dalle forze di massa (supposte conservative).
  Essa risulta invece descritta da un bilancio tra
  variazione locale, convezione di vorticità da
  parte del fluido per effetto della disuniforme
  distribuzione di w oltre ad un termine
  che tiene conto della distorsione o
  dilatazione delle linee di vorticità per effetto
  del gradiente di velocità.
• Nel caso di moto rotazionale, il teorema di
  Kelvin implica che nei fluidi ideali i tubi
  vorticosi sono permanenti, cioè si muovono con il
  fluido e mantengono intensità costante.
  

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2.1.1 Fluido ideale in moto irrotazionale e
rotazionale
In un fluido a densità costante soggetto a un
campo di forze conservativo, la vorticità non può
essere generata allinterno della massa fluida.
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3. Soluzioni dellequazione di Eulero
Vediamo innanzitutto di derivare un importante
risultato che vale in tale ambito il teorema di
Bernoulli. Si consideri lequazione di Eulero per
fluidi barotropici
Ovvero
Poiché vale lidentità vettoriale
Si può ricavare
Ponendo
Si ricava quindi

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3. Soluzioni dellequazione di Eulero
Il risultato appena ricavato, ovverosia sugge
rì a Lagrange due diverse soluzioni, che verranno
presentate nel prosieguo, ottenute nelle ipotesi
di

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3.1 Soluzione per moti rotazionali in moto
permanente ovvero il teorema di Bernoulli in
piccolo

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3.1.1 Il teorema di Bernoulli in piccolo nella
pratica idraulica
Nelle ipotesi di
La grandezza H è detta carico totale. Ad essa può
essere attribuito sia un significato geometrico,
sia un significato energetico.

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3.1.2 Significato energetico del teorema di
Bernoulli
Al teorema di Bernoulli può essere attribuito un
preciso significato energetico che ne costituisce
lessenza e limportanza. Si può infatti
dimostrare che il carico totale H rappresenta
lenergia meccanica totale per unità di peso del
fluido in movimento. Consideriamo separatamente i
tre addendi del trinomio
La quota geodetica rappresenta, ovviamente,
quella parte dellenergia potenziale che compete
allunità di peso del fluido per il fatto che
essa occupa una ben determinata posizione nel
campo gravitazionale. Infatti, spostandosi lungo
la verticale, cioè lungo la linea di forza, dalla
quota z alla quota zero essa potrebbe compiere un
lavoro pari a z1z. Possiamo quindi indicare
questa energia come energia posizionale.
Il termine v2/2g rappresenta lenergia cinetica
dellunità di peso di fluido per il fatto che è
animata da velocità. Basta ricordare che la massa
dellunità di peso vale 1/g. Lenergia specifica
è dunque

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3.1.2 Significato energetico del teorema di
Bernoulli
Linterpretazione dellaltezza piezometrica come
termine energetico può essere fatta discendere
dallesempio seguente. Nel recipiente illustrato
in figura contenente liquido in quiete, si isoli
idealmente un volume infinitesimo dw affondato di
h rispetto allo specchio liquido. Esso è soggetto
ad una pressione pari a pgh
Per il teorema di Archimede, le forze ad esso
applicate, cioè al forza peso e la spinta
idrostatica, si fanno equilibrio.

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3.1.2 Significato energetico del teorema di
Bernoulli
Se ora pensiamo di trasferire questo volume dw in
prossimità del pelo libero, ovviamente non si
compie alcun lavoro poiché stiamo stiamo
spostando un sistema a risultante nullo.
Per contro, a spostamento avvenuto, ci si può
rendere conto che la sua energia posizionale è
aumentata di ghdw deve quindi essere diminuita
unaltra forma di energia anchessa di tipo
potenziale giacché sia allinizio che alla fine
delloperazione il liquido è in quiete. Dal che
il solo mutamento avvenuto riguarda la pressione
(da p a zero).
Sembra lecito concludere che lacquisto di
energia posizionale sia avvenuto a spese di
unenergia legata alla pressione. Detta energia
deve essere diminuita per lunità di peso di
hp/g. Designeremo questa energia come energia di
pressione.

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3.1.3 Potenza di una correntge in una sezione.
Estensione del teorema di Bernoulli a una
corrente
Il significato energetico che può essere
attribuito al teorema di Bernoulli lo ricollega
al concetto di potenza anzi, attraverso questo
concetto si può giungere allestensione del
teorema di Bernoulli alle correnti di sezione
finita.
Definiamo come potenza di una corrente in una
generica sezione trasversale lenergia che la
corrente fa passare attraverso quella sezione
nellunità di tempo.
Si consideri un tubo di flusso di sezione
infinitesima dA, sia la portata del tubo di
flusso e sia inoltre H il carico totale. Detta dP
la potenza del filetto di corrente nella sezione,
si ha allora per definizione
Per passare alla corrente di sezione finita basta
integrare allintera sezione sezione trasversale

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3.1.3 Potenza di una corrente in una sezione.
Estensione del teorema di Bernoulli a una
corrente
Nellipotesi di validità del teorema di Bernoulli
(fluido perfetto, pesante, incomprimibile in moto
permanente) sia il carico H che la portata dQ
restano costanti per ognuno dei tubi di flusso
elementari che costituiscono lintera corrente.
Ne segue che anche P resta costante. Si può
quindi concludere che nel moto permanente di un
fluido perfetto, pesante e incomprimibile la
potenza si mantiene costante in tutte le sezioni
trasversali.
Ad una espressione analoga a quella che è stata
prima mostrata per una traiettoria si può
pervenire per il caso delle correnti gradualmente
variate caratterizzate, cioè, da una
distribuzione idrostatica della pressione nelle
singole sezioni trasversali. Per questa
proprietà, infatti, separando la potenza cinetica
da quella potenziale, è possibile scrivere
La Pc dipende dalla distribuzione della velocità
nella sezione trasversale che, nella maggior
parte dei casi di interesse pratico, nota solo
per via sperimentale. Tuttavia si può giungere ad
una sua espressione in termini finiti ricorrendo
allartificio di introdurre un coefficiente di
ragguaglio a. Lo diremo coefficiente di
ragguaglio per le potenze cinetiche.

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3.1.3 Potenza di una corrente in una sezione.
Estensione del teorema di Bernoulli a una
corrente
Il coefficiente di ragguaglio a è definito come
rapporto tra la potenza cinetica effettiva della
corrente e la potenza cinetica di una corrente
fittizia di pari portata ma che avesse una
distribuzione uniforme della velocità nella
sezione trasversale
Essendo V la velocità media. Si ottiene quindi
e pertanto
Avendo indicato con H il trinomio
Che rappresenta lenergia specifica media del
fluido che attraversa la sezione. Per la costanza
di H e di Q lungo la corrente, ilo teorema di
Bernoulli può dunque scriversi nella forma

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3.2 Soluzione per moti irrotazionali ovvero il
teorema di Bernoulli in grande
Ancora una volta partiamo dallequazione di
Eulero scritta nellipotesi di forze di massa
conservative e di fluido a comportamento al più
barotropico, ovvero partiamo dalla seguente
relazione
Ovvero, come già visto,

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3.2 Soluzione per moti irrotazionali ovvero il
teorema di Bernoulli in grande
Inoltre, se il dominio risulta semplicemente
connesso, allora G0 (per il teorema di kelvin) e
quindi la funzione F è monodroma e dipende solo
dai vettori che ne caratterizzano la posizione
iniziale e quella finale per cui Cioè,
appunto che sostituita
nellequazione di Eulero, permette di ricavare il
seguente risultato

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3.1 Soluzione per moti rotazionali in moto
permanente ovvero il teorema di Bernoulli in
grande
In definitiva quindi si ottiene

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3.1.1 Il teorema di Bernoulli in grande nella
pratica idraulica
Nelle ipotesi di
Si noti che, in questo caso, il carico totale si
mantiene costante in tutto il campo di moto!

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4. Moti irrotazionali
Loggetto di questo capitolo riguarda lo studio
del campo di moto attorno a corpi di varia forma.
Il fluido sarà assunto privo di viscosità e
incompressibile. Sulla base del teorema di
Kelvin si può affermate che il moto di un fluido
ideale, al più barotropico, che ha inizio dalla
quiete (cioè da una situazione irrotazionale)
permane indefinitamente irrotazionale. Un
siffatto moto ideale presenta tuttavia una
velocità non nulla in corrispondenza dei contorni
solidi. Di contro, un fluido viscoso, deve
soddisfare la condizione di aderenza in
corrispondenza dei contorni solidi. Quando il
numero di Reynolds è sufficientemente elevato, il
campo di moto attorno a corpi immersi può però
essere suddiviso in una regione esterna in cui il
moto si assume ideale e irrotazionale, e una
regione interna, prossima ai contorni solidi, in
cui la diffusione viscosa e la vorticità sono
elevate. Il moto esterno può essere affrontato
trascurando la presenza dello strato limite e
applicando la teoria dei moti irrotazionali di
seguito presentata, una volta che il moto
esterno è risolto, il moto allinterno dello
strato limite può essere risolto imponendo un
matching con la soluzione esterna.

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4. Moti irrotazionali

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4.1 Potenziale delle velocità ed equazione di
Laplace
Lequazione di continuità per un fluido
incomprimibile, in due dimensioni, nella forma
Garantisce lesistenza di una funzione di
corrente y che consente di ricavare le componenti
di velocità secondo le identità
Allo stesso modo, la condizione di
irrotazionalità postula lesistenza della
funzione potenziale delle velocità che è
correlata, in due dimensioni, al campo delle
velocità dalle relazioni
Dalle condizioni sopra riportate si ricava che
la funzione di corrente e la funzione potenziale
sono tra loro correlate dalle condizioni di
Cauchy-Riemann

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4.1 Potenziale delle velocità ed equazione di
Laplace
Le linee equipotenziali e le linee di corrente
sono tra loro ortogonali. Infatti
inoltre, le linee equipotenziali e le linee di
corrente soddisfano le equazioni di Laplace
per quanto concerne le condizioni al contorno,
esse possono essere di due tipi. 1) condizioni
in corrispondenza dei contorni solidi deve
essere nulla la componente normale della
velocità 2) condizioni allinfinito usualmente
si impongono condizioni del tipo

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4.2 Applicazioni di variabili complesse
Introduciamo la variabile complessa z tale che
Supponiamo inoltre di introdurre anche la
variabile complessa w definita dalla seguente
relazione
Detta funzione è chiamata potenziale complesso.
Dalla teoria delle funzioni di variabile
complessa, è noto come nel caso in cui una
funzione di variabile complessa soddisfi alle
condizioni di Cauchy-Riemann, la sua derivata è
unica, nel senso che è indipendente dalla
direzione di derivazione con cui dz tende a zero
nel piano xy.
Nella descrizione dei moti irrotazionali, la
quantità rappresenta unimportante quantità.
Infatti, poiché essa è indipendente
dallorientamento di dz, possiamo prendere dz
parallelo allasse x, ovvero

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4.2 Applicazioni di variabili complesse
si ottiene quindi
ovvero, ricordando i legami tra funzione di
corrente, funzione potenziale e campo di velocità
La derivata del potenziale complesso w rispetto a
z è pertanto una quantità immaginaria la cui
parte reale e parte immaginaria forniscono le
componenti del campo di velocità.
La conoscenza del potenziale complesso come
funzione complessa della variabile z consente
dunque di determinare, attraverso una semplice
operazione di derivazione, il campo di velocità.

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4.3 Le trasformazioni conformi
Fino ad ora si è mostrato come il campo di moto
possa essere rappresentato anche nel piano
complesso. Tuttavia non è ancora chiara lutilità
di detta rappresentazione. Lutilità della
rappresentazione nel piano connesso è
strettamente collegata alle trasformazioni
conformi.
Accanto al piano zxiy si introduca il piano
zxiy. Si consideri inoltre la funzione
analitica zz(z) che associa ad ogni punto del
piano z un punto del piano z.
Tale trasformazione si dice conforme perché
conserva gli angoli, nel senso che se due linee
nel piano z si intersecano nel piano z secondo un
angolo, le due linee trasformate di queste nel
piano z si intersecheranno secondo lo stesso
angolo.
Da ciò segue che la trasformazione conforme fa
corrispondere le linee equipotenziali e di
corrente di un moto irrotazionale ideale nel
piano z a quelle di un altro moto irrotazionale
nel piano z. Tale trasformazione si dice
conforme perché conserva gli angoli, nel senso
che se due linee nel piano z si intersecano nel
piano z secondo un angolo, le due linee
trasformate di queste nel piano z si
intersecheranno secondo lo stesso angolo.

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4.3 Le trasformazioni conformi
Sia dunque dato nel piano z un campo di moto di
potenziale complesso w(z). La funzione è
analitica perché la sua derivata esiste ed è
unica, basti vedere il secondo membro della
seguente relazione
Ne segue che w è il potenziale complesso di un
moto irrotazionale ideale nel piano z
Siano p e p due punti corrispondenti nel piano z
e z sarà
per cui
nei punti corrispondenti dei due piani i due
potenziali hanno lo stesso valore.

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4.3 Le trasformazioni conformi
Anche la circolazione rimane immutata nei due
piani poiché essa è datata rispettivamente dagli
integrali
Che sono uguali perché lungo le due linee C e C,
che sono luna la trasformata dellaltra, il
potenziale assume lo stesso valore.