Tema 8: Integrales y sus aplicaciones

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Tema 8 Integrales y sus aplicaciones

• Empezaremos el tema con un pequeño
• guión-índice de los aspectos más importantes
• que trataremos durante este nuevo tema.
• Espero que te pueda servir de algo y ante
• cualquier duda no dudes en consultarme.

Nico_es_at_latinmail.com
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Tema 8 Integrales y sus aplicaciones

• Integrales indefinidas
• Primitiva de una función.
• Integral indefinida.
• Operaciones en la integral.
• Método de integración
• Integración mediante tabla.
• Cambio de variable.
• Integrales definidas
• Área bajo una curva (Integral definida)
• Propiedades de la integral definida. Regla de
  barrow
• Problemas aplicados.
• Área limitada por una función, las rectas xa,
  xb y el eje y.
• Área limitada por dos funciones y las rectas xa
  y xb.

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Tema 8 Integrales y sus aplicaciones
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Tema 8 Problemas aplicados de la integral
definida
PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. NOTACIÓN.
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Tema 8 Primitiva de una función. Notación.

• La operación que consiste en obtener f(x) a
  partir de la función f(x) se denomina derivación.
• La operación inversa a la derivación se denomina
  integración.

Diremos por tanto, que una función F es una
primitiva de f si y solo sí F(x)f(x)
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Tema 8 Primitiva de una función. Notación.

• Veamos algunos ejemplos de la primitiva de una
  función

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Tema 8 Primitiva de una función. Notación.

• Encuentra las primitivas de la función

Elige las posibles primitivas
Indica cual de las primitivas anteriores pasa por
el punto (0,1)
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Tema 8 Problemas aplicados de la integral
definida
INTEGRAL INDEFINIDA
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Tema 8 Integral indefinida.

• La integral indefinida de una función f es el
  conjunto de todos las primitivas de f, y se
  representa por
• Se lee
• - Integral de f(x) diferencial de x
• - C es un número cualquiera y se denomina
  constante de integración
• Ejemplos de aplicación. Halla la integral
  indefinida de la función.
• Si queremos calcular la primitiva que pasa por el
  punto (0,-2)

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Tema 8 Integral indefinida.

• Ejemplos de aplicación. Halla la integral
  indefinida de la función.
• Si queremos calcular la primitiva que pasa por el
  punto (0,-3)
• La primitiva que pasa por dicho punto tiene la
  expresión siguiente

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Tema 8 Problemas aplicados de la integral
definida
OPERACIONES EN LA INTEGRAL INDEFINIDA
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Tema 8 Operaciones en la integral indefinida.

• Las siguientes propiedades son las que hemos
  utilizado también en el tema de derivadas.
• Nota
• La integral de un producto y una división no
  tiene una fórmula para
• resolverlas. Debemos utilizar uno de los
  siguientes métodos de
• integración.
• Integración mediante tabla de integrales
  inmediatas.
• Integración por cambio de variable.
• Integración por partes.

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Tema 8 Problemas aplicados de la integral
definida
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
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Tema 8 Métodos de integración.

• En general, el cálculo de una integral indefinida
  depende
• del tipo de función que integramos.
• Por este motivo, existe una gran variedad de
  métodos de
• integración. Veremos, en este curso los
  siguientes
• Integración mediante tabla de integrales
  inmediatas.
• Integración por cambio de variable.
• Integración por partes.

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Tema 8 Utilizando las integrales inmediatas

• Consiste en transformar la función dada, mediante
  la operatoria matemática, en funciones que se
  encuentran en la siguiente tabla.

Tabla de integrales inmediatas Tabla de integrales inmediatas




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Tema 8 Utilizando las integrales inmediatas

• Para ver como se utiliza la tabla de integrales
  inmediatas, veamos los siguientes
• ejemplo

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Tema 8 Métodos de integración.

• En general, el cálculo de una integral indefinida
  depende
• del tipo de función que integramos.
• Por este motivo, existe una gran variedad de
  métodos de
• integración. Veremos, en este curso los
  siguientes
• Integración mediante tabla de integrales
  inmediatas.
• Integración por cambio de variable.
• Integración por partes.

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Tema 8 Integración por cambio de variable

• Este método consiste en introducir una variable
  t, que sustituye a
• una expresión apropiada en función de x, de forma
  que la integral se
• transforme en otra de variable t, más fácil de
  integrar.
• No existe ningún método para utilizar el cambio
  apropiado, la mejor manera es realizando muchas
  integrales.
• Ejemplos de aplicación
• a)

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Tema 8 Integración por cambio de variable

• b)
• c)

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Tema 8 Integración por cambio de variable

• Ejercicio Practica la integración por cambio de
  variable realizando los siguientes ejercicios

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Tema 8 Problemas aplicados de la integral
definida
ÁREA BAJO LA CURVA INTEGRAL. INTEGRAL DEFINIDA.
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Tema 8 Área bajo una curva (Integral definida)

• El área entre la gráfica de la función f(x) y el
  eje X en el intervalo a,b se designa por

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Tema 8 Área bajo una curva (Integral definida)

• Si la curva está por encima del eje X, la
  integral es positiva (área
• positiva). En caso contrario diremos que la
  integral es negativa.
• Para entender dicho concepto de área bajo una
  curva, es decir, una
• integral definida, veamos los siguientes ejemplos
  gráficos
• Ejemplo 1º.
• Calcula el área que encierra la curva
  f(x)-x/31 y el eje x.
• Para ello, lo primero que vamos a realizar es su
  representación
• gráfica. Para ello, utilizando La tabla de
  valores, se obtiene la
• gráfica.

x
0 1
3 0
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Tema 8 Área bajo una curva (Integral definida)
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Tema 8 Área bajo una curva (Integral definida)
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Tema 8 Área bajo una curva (Integral definida)
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Tema 8 Problemas aplicados de la integral
definida
PROPIEDADES. REGLA DE BARROW
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Tema 8 Propiedades. Regla de Barrow

• Hemos trabajado la idea de aparición del concepto
  de integral. Veamos ahora, una regla que hemos
  utilizado ya aunque no la hemos nombrado así como
  una serie de propiedades que recordaremos de la
  integral indefinida que también se verifican para
  la integral definida.
• Las propiedades que vamos a utilizar son las
  siguientes

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Tema 8 Propiedades. Regla de Barrow
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Tema 8 Propiedades. Regla de Barrow
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Tema 8 Propiedades. Regla de Barrow

• En la práctica, el procedimiento para calcular la
  integral definida se denomina regla de Barrow
  (Matemático inglés del silo XVII)
• Veamos algunos ejemplos-ejercicios sobre la regla
  de Barrow en las siguientes páginas.

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Tema 8 Ejemplo 1 de la regla de Barrow

• 1.- Ejemplo de la regla de Barrow

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Tema 8 Ejemplo 2 de la regla de Barrow
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Tema 8 Ejemplo 3 de la regla de Barrow

• Calcula la integral siguiente
• Observa en la siguiente gráfica, como debemos
  calcular dos áreas
• distintas para los dos pedazos de funciones.

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Tema 8 Ejemplo 3 de la regla de Barrow

• Debemos aplicar la propiedad de las integrales
  definidas, que nos
• dice

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Tema 8 Ejemplo 4 de la regla de Barrow

• Calcula la integral siguiente
• Observa en la siguiente gráfica, como debemos
  calcular dos áreas
• distintas para los dos pedazos de funciones.
  Calcula tu el área.

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Tema 8 Ejemplo 5 de la regla de Barrow

• Calcula la integral siguiente
• Observa en la siguiente gráfica, como debemos
  calcular dos áreas
• distintas para los dos pedazos de funciones.
  Calcula tu el área.

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Tema 8 Ejemplo 6 de la regla de Barrow

• Calcula la integral siguiente
• Observa en la siguiente gráfica, como debemos
  calcular tres áreas
• distintas para los dos pedazos de funciones
  porque tenemos un
• pedazo que nos queda por debajo del eje de las x
  (es negativa por
• tanto). Mira la gráfica siguiente y como lo vamos
  a calcular y date
• cuenta de lo importante que es en este caso la
  representación
• gráfica.

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Tema 8 Ejemplo 6 de la regla de Barrow
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Tema 8 Ejemplo 6 de la regla de Barrow

• Mira como calculamos el área total de la gráfica
  a trozos

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Tema 8 Problemas aplicados de la integral
definida
PROBLEMAS APLICADOS DE INTEGRALES
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Tema 8 Problemas aplicados de la integral
definida

• Para calcular el área bajo una curva hay que
  tener en cuenta
• La representación gráfica de la función. (rectas
  y parábolas).
• La delimitación del recinto cuya área deseamos
  calcular.
• Estudio del signo de la función f en el intervalo
  correspondiente.
• Este tercer apartado es uno de los más
  importantes, para ello quiero
• que observes las siguientes diapositivas

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Tema 8 Cálculo del área de función positiva

• 1º) Si f es positiva en el intervalo a,b, es
  decir, que la zona rayada se encuentre por encima
  del eje X, el área del recinto se calcula

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Tema 8 Cálculo del área de función positiva

• Ejemplo de función positiva.
• Halla el área de la zona limitado
• por la gráfica de la función
• f(x) -x2 4x y el eje OX.

• Lo primero que debemos hacer es la representación
  gráfica. Date
• cuenta que se trata de una parábola convexa
  porque el coeficiente
• a -1lt0. Con eso determinamos que la región que
  queremos
• calcular, después de calcular el vértice y los
  puntos de corte, está
• comprendida entre los valores 0,3.
• Vemos además que el área es positiva, es decir,
  la zona rayada se
• encuentra por encima del eje X.

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Tema 8 Cálculo del área de función positiva

• Veamos por tanto como se calcula dicha área
  utilizando para
• ello la integral definida.

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Tema 8 Cálculo del área de función negativa

• 2º) Si f es negativa en el intervalo a,b, es
  decir, que la zona rayada se encuentre por debajo
  del eje X, el área del recinto se calcula

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Tema 8 Cálculo del área de función negativa

• Ejemplo de función positiva. Halla el área de la
  zona limitado
• por la gráfica de la función f(x) x2 - 4 y el
  eje OX.

• Lo primero que debemos hacer es la representación
  gráfica. Date cuenta
• que se trata de una parábola cóncava porque el
  coeficiente a 1gt0. Con eso
• determinamos que la región que queremos calcular,
  después de calcular el
• vértice y los puntos de corte, está comprendida
  entre los valores 0,2.
• Vemos además que el área es negativa, es decir,
  la zona rayada se
• encuentra por debajo del eje X.

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Tema 8 Cálculo del área de función negativa

• Veamos por tanto como se calcula dicha área
  utilizando para
• ello la integral definida.
• OJO con el signo

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Tema 8 Problemas aplicados de la integral
definida

• 3º) Si f es cambia de signo en el intervalo
  a,b, es decir, que la zona rayada se encuentre
  por encima y por debajo del eje X, el área del
  recinto se calcula
• Observa que el área A1 es positiva mientras que
  el área A2 es
• negativa por lo que tenemos que ponerle el menos
  delante de la
• integral.

-
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Tema 8 Cálculo del área de función y -

• Ejemplo de función positiva. Halla el área de la
  zona limitado
• por la gráfica de la función f(x) x3 -3x y el
  eje OX.

• Lo primero que debemos hacer es la representación
  gráfica. Date cuenta
• que se trata de una parábola doble. Con eso
  determinamos que la región que
• queremos calcular, después de calcular los
  vértices y los puntos de corte, está
• comprendida entre los valores -3,3.
• Vemos además que el área es positiva en el
  intervalo -3,0 y negativa en
• el intervalo 0,3 , es decir, hay zona rayada
  por encima y debajo del eje X.

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Tema 8 Cálculo del área de función y -

• Veamos por tanto como se calcula dicha área
  utilizando para
• ello la integral definida.

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Tema 8 Área limitada por la gráfica de dos
funciones continuas y las rectas xa y xb

• Normalmente nos van a pedir el
• área encerrada entre las dos
• gráficas de dos funciones f(x) y
• g(x). Para entender dicho concepto,
• observa la siguiente figura.

• Los pasos para resolver este tipo de problemas
  son los siguientes
• Hallamos los puntos de corte de las dos gráficas,
  es decir. f(x) g(x)
• Determinar los valores que entran dentro del
  intervalo de estudio.
• Observa los casos que debemos conocer con los
  siguientes ejemplos.

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Tema 8 Área limitada por la gráfica de dos
funciones continuas y las rectas xa y xb

• Ejemplo 1
• Halla el área encerrada entre las
• gráficas de las funciones siguientes
• f(x) x2 x - 2 y g(x) 2x

Lo primero que hacemos es calcular los puntos de
corte entre las dos gráficas. f(x) g(x) ? x2
x 2 2x x2- x -2 0 Si
resolvemos la ecuación de 2º grado obtenemos los
valores x -1 , x 2 como podemos ver en la
gráfica. Además, la gráfica que está por encima
es la de g(x). Por tanto calculamos la siguiente
integral
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Tema 8 Área limitada por la gráfica de dos
funciones continuas y las rectas xa y xb

• Ejemplo 2
• Halla el área encerrada entre las
• gráficas de las funciones siguientes
• f(x) -x2 1 y g(x) x2-1

Lo primero que hacemos es calcular los puntos de
corte entre las dos gráficas. f(x) g(x) ? -x2
1 x2-1 -x21 0 Si
resolvemos la ecuación de 2º grado obtenemos los
valores x -1 , x 1 como podemos ver en la
gráfica. Además, la gráfica que está por encima
es la de f(x). Por tanto calculamos la siguiente
integral
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Tema 8 Área limitada por la gráfica de dos
funciones continuas y las rectas xa y xb

• Ejemplo 3
• Halla el área encerrada entre las
• gráficas de las funciones siguientes
• f(x) 2 y g(x) x21

Lo primero que hacemos es calcular los puntos de
corte entre las dos gráficas. f(x) g(x) ? 2
x21 x2-1 0 Si resolvemos
la ecuación de 2º grado obtenemos los valores x
-1 , x 1 como podemos ver en la
gráfica. Además, la gráfica que está por encima
es la de f(x). Por tanto calculamos la siguiente
integral
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Tema 8 Área limitada por la gráfica de dos
funciones continuas y las rectas xa y xb

• Ejemplo 4
• Halla el área encerrada entre las
• gráficas de las funciones siguientes
• f(x) x31 y g(x) x1

Lo primero que hacemos es calcular los puntos de
corte entre las dos gráficas. f(x) g(x) ?
x31x1 x3-x 0 Si
resolvemos la ecuación de 3er grado obtenemos los
valores x -1,x 0,x 1 como podemos ver en
la gráfica. Además, la gráfica que está por
encima es la de f(x) en el intervalo -1,0 y en
el intervalo 0,1 está por debajo. Por tanto
calculamos la siguiente integral
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Tema 8 Integrales y sus aplicaciones
Agradecería cualquier sugerencia que pudieras
realizar para poder mejorar las explicaciones.
Para ello contacta conmigo personalmente o a
través del correo. Nico_es_at_latinmail.co
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