Cinem

1
Cinemática Rotacional

• Loreto A. Mora Muñoz
• LPSA
• Viña del Mar

2
Conceptos previos.
L.A.M.M.

• La cinemática es una rama de la física mecánica,
  que se encarga del estudio y descripción del
  movimiento.
• La cinemática rotacional dice relación con los
  movimientos en que hay rotación de un objeto
  respecto de un eje (o punto) central.

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Ejemplos
L.A.M.M.

• El minutero de un reloj análogo rota respecto del
  centro del reloj.
• Un automóvil que da la vuelta en una rotonda está
  girando alrededor del centro de la misma.
• Los planetas giran en torno al Sol.

4
(No Transcript)
5
Variables escalares.
L.A.M.M.

• Periodo es el tiempo que demora en dar una
  vuelta completa (o una revolución)
• Se le asigna la letra T y se mide en segundos(s)
  en el sistema MKS.
• También se puede medir en minutos, horas, dias,
  años, etc.

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Ejemplo
L.A.M.M.

• Cuánto demora un minutero en dar una vuelta
  completa al reloj?
• Como 1(min) es el tiempo que marca el minutero,
  la vuelta completa al reloj se da en 60(min), por
  lo tanto el periodo del minutero es T60(min), o
  bien T3600(s).

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Ejemplo
L.A.M.M.

• Un ciclista demora 2(min) en dar tres vueltas en
  una rotonda. Cuánto vale el periodo de su
  movimiento?
• Si 3vueltas ? 120(s)
• 1vuelta ? X (s) X 1201/3
• El periodo del movimiento del ciclista es de
  40(s)

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Variables escalares
L.A.M.M.

• Frecuencia es la cantidad de vueltas en cierto
  tiempo. Se denomina con la letra f y su unidad
  de medida es (1/s) a lo cual se le llama HERTZ
  (Hz) en el sistema MKS.
• Se expresa como
• También se puede medir en RPM (revoluciones por
  minuto).

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Ejemplos
L.A.M.M.

• Cuál es la frecuencia de un motor que da 300
  vueltas en 5 (s)?
• Como f 300/5(s), ? f 60 (Hz)
• Esto significa que da 60 vueltas en un segundo.

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Ejemplo
L.A.M.M.

• Cuál es el periodo del motor cuya f60(Hz)?
• Como sabemos que 60 vueltas ? 1(s)
• entonces 1 vuelta ? X(s)
• El periodo del motor es
• T 1/60 ? T 0,01667(s)
• De lo que se deduce que f 1/T

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Frecuencia y Periodo
L.A.M.M.

• Como vimos en el ejemplo anterior Periodo y
  frecuencia se relacionan de forma inversa, esto
  es, mientras uno aumenta el otro disminuye.
• O bien a mayor frecuencia menor periodo, y
  viceversa.
• Es valido decir que , o bien

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Ejemplo
L.A.M.M.

• Calcule el periodo y la frecuencia del planeta
  Tierra para su
• Rotación sobre su eje
• Traslación respecto del Sol

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Solución
L.A.M.M.

• Como da una vuelta completa en un día, sabemos
  que 1(día) 24(hrs), pero cada hora tiene
  3600(s) por lo tanto
• T 243600 (s) ? T 86400 (s)
• Luego f 1/T ? f 1/86400
• f 1,1574 x 10E-5 (Hz)

14
Solución
L.A.M.M.

• b) Sabemos que el planeta demora 365 días en dar
  la vuelta completa alrededor del Sol. Por lo que
  T 365(días)24(hrs)3600(s)
• Luego T 31536000 (s)
• Entonces f 1/T ? f 3,17x10E-8 (Hz)

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Ejemplo
L.A.M.M.

• Un motor gira a 3000rpm Cuánto vale su
  frecuencia en el Sistema Internacional?
• Como se dan 3000 vueltas en 1 minuto, se puede
  decir que
• 3000 rev ? 60 (s)
• X rev ? 1 (s) f 50 (Hz)

16
Variables Angulares.
L.A.M.M.

• En un plano cartesiano XY (en metros), podemos
  decir que un objeto se encuentra en las
  coordenadas (x,y)(3,4), o bien podemos indicar
  su posición diciendo que está a 5(m) y a 36,9º
  sobre el eje X positivo.

17
Variables Angulares
L.A.M.M.

• Posición angular lugar en que se encuentra un
  objeto, medido en ángulos. (como el segundo caso
  del ejemplo anterior).
• Se le asigna la letra griega ? y su unidad de
  medida es en radianes(rd), en el sistema MKS.
• También se puede medir en grados, para lo cual se
  sabe que 360º 2p (rd)

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Ejemplo de cálculo
L.A.M.M.

• Cuántos radianes son 90º?
• Como 360º 2p (rd)
• 90º X (rd) X
  902p/360
• Luego 90º p/2 (rd)

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Relación entre grados y radianes
L.A.M.M.

• Para una vuelta completa se tiene que

20
Pero Qué es un radián?
L.A.M.M.

• El radian se define como el ángulo
• para el cual el arco comprendido
• por dicho ángulo es igual al radio.
• Entonces la razón (o división) entre el arco y el
  radio es igual a UNO.
• Note que por ser una división entre magnitudes de
  distancia resulta una variable sin unidad de
  medida (adimensional).

21
Ejemplo
L.A.M.M.

• Se recorre un arco de 30(cm) en una
  circunferencia de 20(cm) de radio Qué ángulo se
  abarca?
• ángulo (rd) arco/radio
• ángulo 1,5(rd)
• O bien ángulo 42,97º

22
Ejemplo
L.A.M.M.

• En una circunferencia de radio 50(cm) Un ángulo
  de 72º barre un arco de
• a) 125 p (cm)
• b) 20 p (cm)
• c) 259,2 p (cm)
• d) 3600 p (cm)

SOLUCION 72º p /180 ángulo en
radianes Ángulo 0,4 p (rd) Luego arco/radio
ang (rd) Queda ang (rd) radio arco 0,4 p
(rd) 50 (cm) 20 p (cm)
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Desplazamiento angular.
L.A.M.M.

• Desplazamiento angular se le denomina así al
  cambio de posición angular.
• Se le designa ?? ?f ?i
• Es la diferencia entre la posición angular final
  y la posición angular inicial. Por tanto se mide
  también en radianes o grados.

24
Ejemplo
L.A.M.M.

• Un objeto que se encuentra en A, a 90º, gira
  alrededor de un eje hasta llegar a B, a 210º,
  como muestra la figura. Cuánto vale su
  desplazamiento angular?
• Como ?? ?f ?i
• ?? 210º 90º ? ?? 120º
• Como 360º 2p (rd) ? 120º 2p/3 (rd) ??

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Rapidez Angular
L.A.M.M.

• Rapidez (o velocidad) angular es el
  desplazamiento angular efectuado en cierto
  intervalo de tiempo. Se expresa como
• ? ??/?t
• Su unidad de medida en el sistema MKS es el
  radian/segundos (rd/s)
• También se puede medir en grados/seg.

26
Ejemplo
L.A.M.M.

• Para una circunferencia de 3(cm) de radio, se
  recorre un arco de 5(cm) en apenas 4(s). Cuánto
  vale la rapidez angular para este movimiento?
• Arco/radio ang (rd) ? ángulo 1,67 (rd)
• Por lo tanto ? 1,67(rd) / 4 (s)
• ? 0,4167 (rd/s)

27
MCU
L.A.M.M.

• El Movimiento circular uniforme es aquel en el
  que la rapidez angular ? es constante.
• Para este tipo de movimiento rotacional si ? es
  constante, entonces significa que el cambio en la
  posición angular es el mismo en iguales
  intervalos de tiempo.

28
MCU
L.A.M.M.

• Por ejemplo si un ventilador de paletas gira con
  MCU dando 5 vueltas en 0,2 (s)
• Cuánto vale su periodo y su frecuencia?
• Cuánto vale su ??
• Cuantas vueltas dará en 5 (min)?

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Solución
L.A.M.M.

• Como f nº vueltas / tiempo, entonces
• f 5 vueltas / 0,2 (s) ? f 25 (Hz)
• Como T 1/f ? T 0,04 (s)

30
Solución
L.A.M.M.

• b) Como 1 vuelta 2 p (rd)
• Y nos dicen que da una vuelta en 0,04 (s)
• Entonces ? 2 p (rd) / 0,04 (s)
• ? 157 (rd/s) de aquí se obtiene que
  ? 2 p / T
• o bien ? 2 p f

31
Solución
L.A.M.M.

• c) Como 5 (min) 300 (s)
• Si da 5 vueltas ? 0,2 (s)
• X vueltas ? 300 (s)
• X 5300/0,2 ? X 7500 vueltas

32
MCU
L.A.M.M.

• Como ? es constante y vale ? ??/?t
• Si ti 0 (s), entonces despejamos
• ? ??/t ? ?t ?? ? ?t ?f ?i
• Luego queda ?t ?i ?f
• es la ecuación de la posición para
  un objeto que se mueve con MCU

33
Rapidez
L.A.M.M.

• La rapidez, es como se ha visto antes, la
  distancia recorrida en cierto intervalo de
  tiempo.
• Como en el ejemplo anterior, se recorre un arco
  de 5 (cm) durante 4 (s), entonces la rapidez es V
  5(cm) / 4 (s)
• Nos queda V 1,25 (cm/s)

34
Rapidez
L.A.M.M.

• Es la rapidez con que se recorre la
  circunferencia (o el arco) durante la rotación.
• Si V d/t, entonces en una vuelta completa
• V Perímetro / Periodo
• , o bien

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Cuál es la relación entre V y ??

• Como ? 2 p / T
• Y V 2 p R /T
• Al realizar la division V / ? queda
• V 2 p R /T V / ? R
• ? 2 p /T o bien
• V ? R

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Ejemplo
L.A.M.M.

• Calcule la rapidez con que se recorre una
  circunferencia de radio 20(cm) si el periodo de
  dicha rotación es de 1,2 (min)
• Como V 2pR/T
• V 125,66 (cm) / 72 (s)
• V 1,745 (cm/s)

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Ejemplo
L.A.M.M.

• Cuál es el periodo de un carrusel que gira a
  0,1257(m/s) si el radio del mismo es de 3(m)?
• a) 23,866 (s)
• b) 18,85 (s)
• c) 47,73 (s)
• d) 150 (s)

SOLUCION 2 p R / T V Luego 2 p R / V
T 18,85 (m) / 0,1257 (m/s) T T 149,95 (s)
150 (s)
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Aceleración angular

• Aceleración angular es el cambio en la rapidez
  angular en cierto tiempo. Se designa con la letra
  a y se expresa como
• a ?? / ?t
• Su unidad de medida en el sistema MKS es el
  Radián/segundo cuadrado (rd/s2)

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Aceleración angular

• Por ejemplo un motor disminuye su frecuencia de
  300 rpm a 120 rpm en 15 (s). Cuánto vale la
  aceleración angular del motor?

40
Solución

• Inicialmente
• Como 300 rev ? 1 (min)
• 300 rev ? 60 (s)
• f 5 (Hz)
• Luego como ? 2 p f ? ? 10 p (rd/s)

41
Solución

• Finalmente
• Como 120 rev ? 1 (min)
• 120 rev ? 60 (s)
• f 2 (Hz)
• Luego como ? 2 p f ? ? 4 p (rd/s)

42
Solución

• Sabemos que
• a ?f ?i / t ? a 4 p 10 p / 15
• a 6 p / 15
• La aceleración angular es a 0,4 p (rd/s2)
• es más bien una desaceleración

43
MCUA
L.A.M.M.

• Movimiento Circular Uniformemente Acelerado es
  aquel en que hay aceleración angular constante.
• Esto significa que en iguales intervalos de
  tiempo la rapidez angular cambia en iguales
  valores.

44
Ecuaciones del MCUA
L.A.M.M.

• Como existe aceleración, para cada tiempo hay
  una velocidad distinta, pero se despeja de la
  definición de aceleración
• a ?? / ?t si ti 0 (s)
• Queda a ?? / t, despejamos
• at ?f ?i ? at ?i ?f

Es la ecuación de la rapidez angular en función
del tiempo
45
Ecuaciones del MCUA
L.A.M.M.

• Como sabemos que ?t ?i ?f
• Pero ? no es constante, por lo que debemos buscar
  un valor promedio de ?
• ? prom ?i ?f reemplazamos en la
• 2 ecuación anterior
• y queda ( ?i ?f )t ?i ?f
• 2

46
Ecuaciones del MCUA
L.A.M.M.

• Despejamos ( ?i ?f )t ?i ?f
• el paréntesis 2
• ?i t ?f t ?i ?f
• 2 2
• Pero como at ?i ?f
• Queda ?i t (at ?i )t ?i ?f
• 2 2

47
Ecuaciones del MCUA
L.A.M.M.

• Despejamos nuevamente el paréntesis
• ?i t (at ?i )t ?i ?f
• 2 2
• ?i t att ?i t ?i ?f
• 2 2 2
• Finalmente sumamos términos semejantes
• at2 ?i t ?i ?f
• 2

Es la ecuación de la posición angular en función
del tiempo para un objeto que se mueve con MCUA
48
Ejemplo
L.A.M.M.

• Cuantas vueltas dará una rueda en 5 s , si
  partiendo del reposo su aceleración angular es de
  20 (rad/s2) .
• Como
• at2 ?i t ?i ?f
• 2
• at2 ?? 2025 ?? 250 (rd)
• 2 2

49
Ejemplo
L.A.M.M.

• Si ?? 250 (rd) es el ángulo barrido
• Y como
• 2 p (rd) 1 vuelta
• 250 (rd) X vueltas
• Nos queda que dio X 39,788 vueltas.

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Cinemática Rotacional(cantidades vectoriales)
L.A.M.M.

• Loreto A. Mora Muñoz
• LPSA
• Viña del Mar

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Sistema de Coordenadas.
L.A.M.M.

• Las cantidades vectoriales tienen módulo,
  dirección y sentido, por lo que necesitamos un
  sistema de referencia para poder indicar las
  variables vectoriales en el Movimiento Circular.
• En este caso se utiliza un sistema de coordenadas
  que es longitudinal y transversal a la posición
  del objeto.

52
La posición (vector) no es constante porque su
dirección está cambiando!!!!! En estos casos
es más conveniente no usar un sistema de
coordenadas fijo sino usar coordenadas
longitudinal (paralelo al vector R) y transversal
(perpendicular al vector R).
53
Vector Velocidad.
L.A.M.M.

• Como sabemos velocidad es cambio de posición en
  cierto tiempo, por tanto
• Para todo el movimiento circular habrá velocidad
  puesto que siempre hay cambio de posición
  (vector).
• La velocidad siempre es tangente a la
  trayectoria, por lo tanto es perpendicular a R.

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Velocidad (vector)
L.A.M.M.

• Este valor de V (vector) es constante si el
  movimiento es MCU (con ? constante).
• V vale

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Aceleración.
L.A.M.M.

• Existen dos tipos de aceleración
• centrípeta ( o radial)
• tangencial (perpendicular a R)
• Cuando el movimiento es MCU, la velocidad de la
  partícula permanece constante, y por lo tanto, la
  partícula no posee aceleración tangencial, pero
  como la dirección del vector velocidad varia
  continuamente, la partícula posee aceleración
  centrípeta.

56
Aceleración.
L.A.M.M.

• Demostración tomemos un cambio pequeño (ángulo
  de 8º) para el MCU.

57
Aceleración.
L.A.M.M.

• Demostración si restamos geométricamente los
  vectores Vf y Vi, nos queda en verde la dirección
  de la aceleración centrípeta
• ac ?V/?t
• Se llama centrípeta porque
• apunta hacia el centro de la circunferencia

58
Aceleración centrípeta.
L.A.M.M.

• El valor de la aceleración centrípeta es
• y como V ? R ,

59
Aceleración centrípeta.
L.A.M.M.

• La magnitud de la aceleración centrípeta es
  constante. Sólo su dirección (y sentido) cambian
  durante la rotación, puesto que siempre apunta al
  centro de la circunferencia.

60
Ejemplo
L.A.M.M.

• Para una esfera que rota en una circunferencia de
  radio 50 (cm) se sabe que su rapidez angular es
  de 3 (rd/s).
• a) Cuánto vale su aceleración centrípeta?
• b) Cuánto vale su rapidez tangencial?
• c) Cuánto vale el periodo de rotación?

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Solución
L.A.M.M.

• Como Ac ?2 R
• Entonces Ac 9 0,5 ? Ac 4,5 (m/s2)
• b) Como Ac V2 ? v(Ac R) V
• R
• V 1,5 (m/s)

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Solución
L.A.M.M.

• c) Sabemos que V 2 p R T
• Entonces T 2 p R
• V
• ? T 2 p 0,5 (m)
• 1,5 (m/s)
• T 2,094 (s)