Title: ROB
1ROBÓTICA
Helder Anibal Hermini
2Aula 3
- Modelagem Cinemática de Robôs
3Sistemas de Referência e Transformação de
Coordenadas
4Transformação Homogênea
Um ponto V no espaço pode ser representado em
coordenadas homogêneas por,
onde
e w é o fator de escala real e não nulo.
5Translação
- É Possível transladar um ponto u nas direções X,
Y, e Z ou em uma direção arbitrária, a partir da
aplicação da relação
v T . u
com a relação
6Exemplo 1
Considere a transformação homogênea
e o ponto
A transformação homogênea T, transforma o ponto u
em um ponto v,
v T. u
7Exemplo 2
Transladar o ponto v(1,0,0) de 1 unidade na
direção X, 2 na direção Y e 3 na direção Z.
8Rotação
Considere os pontos u e v , representados na
figura.
1
2
3
4
rotação em z
Suas representações no plano são u(xu, yu) e
v(xv,yv) respectivamente. Considere ainda que o
ponto u foi transformado no ponto v, através de
uma rotação, em torno da origem, de um ângulo ?,
no sentido anti-horário.
9 Desenvolvendo as equações 1 e 2 e usando as
equações 3 e 4, tem-se
5
6
As equações 5 e 6 podem ser escritas, então
ou na forma vetorial
7
10 Para o espaço tridimensional a equação 7 pode
ser reescrita na forma vetorial
ou ainda em coordenadas homogêneas,
11 Resumindo, as matrizes transformação homogênea
de rotação em torno dos três eixos são
12Modelagem Cinemática Direta e Inversa de
Manipuladores
13Problema Cinemático de Manipuladores
MODELO CINEMÁTICO DIRETO
VARIÁVEIS DAS JUNTAS
POSIÇÃO E ORIENTAÇÃO DO EFETUADOR DO ROBÔ
MODELO CINEMÁTICO INVERSO
POSIÇÃO E ORIENTAÇÃO DO EFETUADOR DO ROBÔ
VARIÁVEIS DAS JUNTAS
14Problema Cinemático Direto
- Calcular a matriz de transformação homogênea que
relaciona a i-ésima referência com a referência
i-1. Para isto faz-se uso dos parâmetros de todas
as juntas
- Tendo ob tido todas as matrizes Ti-1i ,
obtém-se T0n através de
- Como T0n depende das variáveis das juntas, o
problema cinemático direto se resolve com a
obtenção da matriz de transformação homogênea que
fornece posição e orientação da ponta do robô em
relação a base.
15Representação de Denavit-Hartemberg
- Suponha que dois sistemas de coordenadas
coincidentes, X0Y0Z0 e X1Y1Z1. - A transformação homogênea que relaciona esses
sistemas é a matriz identidade
16Representação de Denavit-Hartemberg
- Provoca-se uma rotação de ?? em relação ao eixo
Z0, através da transformação
A nova matriz é agora dada por
17Representação de Denavit-Hartemberg
- A seguir translada-se o sistema X1Y1Z1 de d
unidades ao longo de Z1. A matriz fica então,
18Representação de Denavit-Hartemberg
- Translada-se o sistema X1 Y1 Z1 de a unidades ao
longo do eixo X1. A nova matriz é dada por
19Representação de Denavit-Hartemberg
- Finalmente, provoca-se uma rotação do sistema X1
Y1 Z1 de ??, em torno do eixo X1. Esta última
transformação deixa a matriz como
20CONVENÇÃO DE DENAVIT-HARTEMBERG
Estabelece que a transformação homogênea Ai
entre quaisquer dois sistemas de coordenadas
solidários a dois elos consecutivos, através de
uma cadeia cinemática de um manipulador, composto
de elos rígidos, separados por uma junta, pode
ser escrita por até quatro matrizes de
transformações homogêneas básicas.
Uma rotação de ? em torno de z1
Um deslocamento d ao longo do eixo z1
Um alongamento ao longo do eixo x
Uma rotação ? em torno do eixo x.
21Passo 1 Estabelecer o eixo z dos sistemas de
coordenadas de cada elo nos eixos de cada junta
da estrutura, ou na direção do deslocamento das
junta prismáticas.
Passo 2 Colocar a origem do sistema de
coordenadas referencial, no eixo z da junta do
primeiro elo.
22Passo 3 Estabelecer a origem do sistema de
coordenadas na linha ortogonal aos eixos z dos
sistemas de coordenadas de cada par de elos para
toda a estrutura.
Passo 4 Definir o eixo x de cada do sistema de
coordenadas na linha ortogonal aos eixos z dos
sistemas de coordenadas de cada par de elos para
toda a estrutura, definido o sentido do eixo pela
regra da mão direita do eixo de maior ordem para
o de menor ordem.
23Passo 5 Definir o eixo y de cada sistema de
coordenadas pela regra da mão direita.
Passo 6 Definir o sistema de coordenadas da
garra, conforme o passo 6 indicado na figura 2.2.
24- Passo 7 Estabelecer os 4 parâmetros da
convenção de Denavit-Hartenberg, onde - ? é uma rotação do eixo xi-1 para o eixo xi em
torno de zi-1. - d é um deslocamento ao longo do eixo z i - 1, da
origem o i -1 até o eixo xi. - a um alongamento ou comprimento ao longo do eixo
xi da origem oi até o eixo z i -1. - a é uma rotação do eixo z i - 1 ao eixo z i torno
do eixo xi.
25Passo 8 Determinar matrizes de transformações
homogêneas entre cada par de elos.
Se a junta for rotacional
Se a junta for prismática
Passo 9 Determinar matrizes de transformações
homogêneas entre cada par de elos e a base. A
matriz de transformação homogênea entre o
elemento final e a base define o modelo
cinemático direto do robô. Ti A1 . A2 ... An
26Exemplo de Implementação de estabelecimento de
parâmetros pelo método de Denavit-Hartemberg
27Parâmetros D H para o Robô PUMA 560
28Matrizes de transformação homogênea para o Robô
PUMA 560
29DEFINIÇÃO DE SISTEMAS DE COORDENADAS PARA MODELOS
ARTICULADOS
- Um sistema Articulado pode ser representado
matemáticamente por n corpos móveis Ci (i 1,
2,..., n) e de um Corpo fixo, acoplado por n
articulações, formando uma estrutura em cadeia, e
as juntas podem ser rotacionais ou prismáticas.
Para representar as situações relativas dos
vários corpos da cadeia, é fixado para cada
elemento Ci um referencial Ri.
A ? Matriz de Transformação de
Coordenadas Xi, Yi, Zi ? Sistema de
Referência Li ? Vetor de Translação Oi ?
Origem
30DESCRIÇÃO MATEMÁTICA
- Podemos relacionar um certo referencial Ri1
(oi1, xi1, yi1, zi1) com um previamente Ri
(oi, xi, yi, zi), como também as coordenadas de
sistema de origem básico por - o i1 oi A i,i1 Li
- Onde A é a matriz de Orientação
- Ai, i1 A1, 2. A2, 3. ... A i, i1
- Onde Li é o vetor de translação entre uma origem
e a outra.
31Especificações de Posição e Orientação do
Efetuador
- Já foram vistas três coisas muito importantes,
no que diz respeito à cinemática de robôs, a
saber
- É possível relacionar dois sistemas de
referências, através de uma matriz de
transformação homogênea
- Para um robô com n graus de liberdade, aloca-se
um sistema de coordenadas em cada junta e
calcula-se a matriz de transformação homogênea
que relaciona o último sistema de referência com
a base
- No efetuador é alocado um sistema de referência
(o último da cadeia cinemática), tal que se possa
relacioná-lo com a base, através de uma matriz de
transformação homogênea. No caso de um robô com
seis graus de liberdade, esta matriz é dada por
32 n nx ny nz T ? Vetor normal do
efetuador e tem direção ortogonal aos
vetores o e a s sx sy sz T ?
Vetor de deslizamento e aponta na direção dos
movimentos de abertura e fechamento
dos dedos da mão a ax ay az T ?
Vetor de aproximação e aponta na direção normal a
palma da mão p px py pz T ?
Vetor posição e aponta da origem do sistema de
coordenadas da base até a origem do
sistema de coordenadas da mão.
33Ângulos de Euler e RPY
A matriz de orientação espacial de um robô
poderá ser expressa através das componentes dos
versores de orientação n, s e a, ou através de
três ângulos. Normalmente em aplicações
industrias são utilizados ângulos Euler ou RPY
(Roll, Pitch e Yaw) para descrição da orientação
de um corpo rígido no espaço.
34Ângulos de Euler
35CÁLCULO DOS ÂNGULOS DE EULER A PARTIR DA MATRIZ
DE ORIENTAÇÃO
ORIENTAÇÃO DO EFETUADOR
CÁLCULO DA MATRIZ DE ORIENTAÇÃO A PARTIR DOS
ANGULOS DE EULER
(14)
(?, ?, ?)
(?, ?, ?)
36Ângulos RPY
37 CÁLCULO DOS ÂNGULOS RPY A PARTIR DA MATRIZ DE
ORIENTAÇÃO
ORIENTAÇÃO DO EFETUADOR
CÁLCULO DA MATRIZ DE ORIENTAÇÃO A PARTIR DOS
ANGULOS RPY
(?, ?, ?)
(?, ?, ?)
38Problema Cinemático Inverso
A necessidade da obtenção de referências em
coordenadas angulares, correspondentes a tarefas
definidas no espaço cartesiano é expressa
matematicamente pela inversão do modelo
geométrico, isto é
? f -1 ( x )
- A função f é não linear e composta de soma de
produtos de senos e cosenos das coordenadas
generalizadas
- Como f é não linear não se pode garantir a
existência e/ou a unicidade de uma função inversa
f -1
- Os métodos de solução do problema da inversão do
modelo geométrico são - Métodos analíticos
- Métodos numéricos iterativos
39Modelagem Cinemática Inversa
- A transformação de coordenadas de um robô com n
graus de liberdade revolutos pode ser formulada
de forma que, a partir de uma configuração
inicial do robô, na qual a suas variáveis
articulares po são conhecidas, a posição completa
de seu elemento terminal Xo será conhecida a
partir do modelo do sistema.
- A mudança de coordenadas consistirá de um
funcional que descreverá a correspondência
existente entre a cadeia cinemática para um
conjunto de variáveis articulares p e sua posição
X correspondente.
x x o F ( q q o )
1
40Modelagem Cinemática Inversa
- No caso da transformação inversa de coordenadas,
uma determinada posição X do volume de trabalho
do robô será atingida a partir de uma posição de
repouso xo (obtenção dos ângulos Roll, Pitch, Yaw
ou de Euler, a partir da matriz de orientação
espacial). Esta equação não apresentará uma
solução única, e a mesma poderá ser utilizada
para o controle cinemático de mecanismos.
(q - qo) F-1 (x xo)
2
- A transformação inversa que é muito complexa, não
apresentando uma solução única. Para eliminarmos
as indeterminações que aparecem no problema
inverso, utiliza-se geralmente a matriz
jacobiana, onde a mesma poderá ser utilizada para
o controle cinemático de mecanismos.
41Matriz Jacobiana
- Dada uma configuração inicial qo e Xo de um robô,
as coordenadas X do elemento terminal são
descritas pela equação (2). Para pequenos
deslocamentos ?x associados aos deslocamentos das
variáveis articulares ?q podemos escrever
? X m?1 J m?n ?q n?1
3
- A matriz Jacobiana J(?) será definida como
4
que poderá ser construída a partir das relações
cinemáticas que descrevem a arquitetura do robô
5
42Matriz Jacobiana
- A matriz Jacobiana J(?) será definida como
6
Para uma robô, as coordenadas de seu elemento
terminal serão descritas através de um vetor
posição X (x, y, z) e sua orientação definida a
partir de três ângulos (?, ? , ?).
43Inversão da Matriz Jacobiana (Controle de
Posição de uma prótese)
- O controle de uma prótese antropomórfica no
espaço de juntas necessita de uma transformação
inversa de coordenadas (F-1). Esta transformação
poderá ser realizada a partir da inversão da
matriz Jacobiana
?q n?1 J (q) m?n ? X m?1
7
- Matematicamente, a relação 7 indica a variação do
incremento ?q das variáveis articulares para um
dado deslocamento ?X do elemento terminal do
robô. Como a posição atual de cada articulação qi
atual é perfeitamente conhecida (através dos
sensores de posição), a partir da utilização da
equação (7) de modo iterativo e recalculando J(q)
a cada passo de iteração, uma trajetória X(t)
poderá ser realizada num determinado tempo, em
função da variação dos ângulos das juntas qi
atual ?qi.
44Malha de Controle de Posição
A partir da comparação da posição atual do robô
X (valor calculado a partir da posição atual X
atual obtidas das informações de posições dos
sensores de juntas ou da sinapse neural) e sua
posição de referência Xd, um sinal de erro é
amplificado e transformado em termos de
coordenadas articulares ?q a partir do cálculo de
J (q). O sinal de erro é integrado e depois
utilizado como sinal de entrada para controle das
variáveis articulares da prótese.
45Malha de Controle de Posição
Finalmente, a obtenção da matriz Jacobiana,
utilizada no método recursivo para o cálculo do
modelo cinemático inverso, é uma forma
multidimensional da derivada e relaciona a
velocidade no espaço de juntas à velocidade no
espaço cartesiano. A sua solução deverá ser
encontrada em tempo real através da utilização de
algoritmos numéricos, onde será aproximada por ?x
J. ?q .
46Metodologia da Inversa Generalizada
- Em muitos casos, a solução de um sistema de
equações lineares existe, mesmo quando a inversa
da matriz não existe. Este problema e muitos
outros podem ser resolvidos através do conceito
da pseudoinversa, ou matriz inversa generalizada.
- A matriz inversa generalizada de uma matriz A
deve atender a algumas das seguintes propriedades
para obter sucesso
i) Deve reduzir-se a A-1 se A é não
singular ii) Deve sempre existir iii)
Deve possuir algumas das propriedades da inversa
(ou modificações destas) iv) Quando usadas
no lugar da inversa, deve ser capaz de
proporcionar respostas sensíveis para questões
importantes tais como consistência das equações,
ou soluções dos mínimos quadrados.
47Metodologia da Inversa Generalizada
- Moore e Penrose definiram a pseudoinversa de uma
matriz A como sendo a única solução para
A ? A ? A A A ? A
? A A (A ? A ) t
A ? A (A ? A ) t
A ? A
8