Presentazione di PowerPoint

1
Parabola
Dato un punto F del piano
F
d
ed una retta d
si dice parabola linsieme dei punti del
piano equidistanti dal punto F e dalla retta d
2
Parabola punto per punto
Animazione clicca sullimmagine
3
Ogni punto è determinato dalleguaglianza fra le
distanze punto-retta punto-fuoco
fuoco F
direttrice
Per ogni punto il valore delle distanze(raggio)
è diversa, tranne che . . .
fuoco F
direttrice
4
Linsieme dei punti (parabola)

• ha un punto particolare detto vertice
• è simmetrico rispetto alla linea asse di
  simmetria

Asse di simmetria
F fuoco
V vertice
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Rappresentazione della parabola nel piano
cartesiano
Se nel piano inseriamo un sistema di assi
cartesiani si ha la rappresentazione a fianco
della parabola. Il fuoco F e il vertice V sono
punti,ognuno con le sue coordinate, lasse di
simmetria è una retta parallela allasse y.
6
I punti della parabola sono costruiti
sulleguaglianza delle distanze dal fuoco e dalla
direttrice
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7
Variando fuoco e direttrice si possono ottenere
parabole diverse per posizione . . .
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8
. . . e per ampiezza
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9
I punti di una parabola soddisfano tutti la
proprietà eguaglianza delle distanze. Possiamo
determinarne lequazione.
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Equazione generica della parabola
a,b,c ? R
Asse di simmetria parallelo asse y
a,b,c ? R
Asse di simmetria parallelo asse x
Ci occuperemo qui delle parabole con asse di
simmetria parallelo allasse y
Per approfondimenti vedere scheda
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Variazione dei grafici al variare dei coefficienti
a,b,c ? R
Vediamo come si presenta il grafico della
parabola al variare dei valori a,b,c
Con il pacchetto grafico che avete a disposizione
disegnate nel piano cartesiano le parabole
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Si ottengono i grafici
Concavità
agt0 alt0
13
Vertice
Al variare di a e b varia la posizione
dellascissa del vertice, che ha infatti
coordinate
Per approfondimenti vedere scheda
14
Al variare di c varia la posizione del vertice
per quanto riguarda lordinata il grafico della
parabola risulta traslato
15
Intersezioni con gli assi
16
Quali sono i punti in cui la parabola taglia gli
assi cartesiani ?
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La parabola ha due punti dintersezione con
lasse x
Se b2-4acgt 0
La parabola ha un punto dintersezione con lasse
x
Se b2-4ac 0
La parabola non ha punti dintersezione con
lasse x
Se b2-4aclt 0
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Inoltre
Se c0 yax2bx
La parabola passa per lorigine
Se b0 yax2c
La parabola ha il vertice sullasse y
Se b0 e c0 yax2
La parabola ha il vertice nellorigine
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Formule
yax2bxc
Per approfondimenti vedere scheda
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Come si rappresenta la parabola di equazione
yax2bxc nel piano cartesiano

• Determinare le coordinate del vertice V

• Determinare lequazione dell asse di simmetria

• Determinare le coordinate degli eventuali punti
  dintersezione con gli assi

• Determinare le coordinate di qualche altro punto,
  anche tenendo presente la simmetria

• Rappresentare punti e asse nel piano essi
  caratterizzano il grafico

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Classificazione
La parabola fa parte di una famiglia di curve
dette CONICHE
Con il termine CONICA si indica la curva che si
ottiene come sezione tra un cono indefinito e un
piano che non passa per il vertice del cono
stesso.
22
PARABOLA
ELLISSE
IPERBOLE
CIRCONFERENZA (ellisse particolare)
23
Osserva la linea dintersezione cono-piano
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24
In questo caso la curva ottenuta come
intersezione tra il cono indefinito e il piano è
la parabola
25
Osserva la linea dintersezione cono-piano
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26
In questo caso la curva ottenuta come
intersezione tra il cono indefinito e il piano è
lellisse
27
Osserva la linea dintersezione cono-piano
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28
In questo caso la curva ottenuta come
intersezione tra il cono indefinito e il piano è
liperbole
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La curva ottenuta dipende dallinclinazione
Lequazione generale di una conica è
ax2by2cxydxeyf0

a,b,c,d,e,f ?R
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Per farle a casa
Una torcia elettrica accesa posta
perpendicolarmente ad una parete la illumina
formando un cerchio
Le coniche si ottengono intersecando un cono ed
un piano in questo caso il cono è il fascio di
luce ed il piano è la parete.
Se incliniamo la torcia si ottiene unaltra
figura luminosa lellisse.
Inclinando maggiormente la torcia, la linea
esterna della parte illuminata diventa una
parabola
Ruotando ancora di più si ottiene un ramo di
iperbole.
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Parabola applicazioni e meccanismi

• Moto di un proiettile
• Fontane
• Fuochi artificiali
• Ponti sospesi
• Proprietà focali della parabola
• Specchi ustori
• Antenna parabolica
• Fari dei porti
• Fari auto, flash, proiettori

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FINE
33
(No Transcript)
34
Moto di un proiettile
Il moto di un proiettile è il moto di un peso che
viene lanciato in aria obliquamente. Il lancio di
una palla da baseball, da golf o lo sparo di una
pallottola sono esempi di questo moto.
Galileo(1564-1642) fu il primo a studiare
scientificamente tale moto e nei Discorsi e
Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze
dimostrò che la traiettoria di un proiettile è
una parabola. Consideriamo il proiettile
soggetto alla sola forza di gravità, supponendo
nulla l'influenza dei vari agenti atmosferici, in
particolare le forze di attrito dell'aria e 
quelle del vento.
35
Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani
il moto, supponendo che lorigine sia il punto
nel quale il proiettile inizia a muoversi
obliquamente con velocità v0 Facendo un po' di
conti si scopre che la funzione del moto ha la
forma y ax2 bx la TRAIETTORIA è una parabola
passante per l'origine e con concavità rivolta
verso il basso.
v0
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Per approfondimenti vedere scheda
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Scheda 4 moto di un proiettile
Il moto di un proiettile è il moto di un peso che
viene lanciato in aria obliquamente. Il lancio di
una palla da baseball, da golf o lo sparo di una
pallottola sono esempi di questo moto.
Galileo(1564-1642) fu il primo a studiare
scientificamente tale moto e nei Discorsi e
Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze
dimostrò che la traiettoria di un proiettile è
una parabola. Consideriamo il proiettile
soggetto alla sola forza di gravità, supponendo
nulla l'influenza dei vari agenti atmosferici, in
particolare le forze di attrito dell'aria e 
quelle del vento.
Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani
il moto, supponendo che lorigine sia il punto
nel quale il proiettile inizia a muoversi con
velocità v0 e con un angolo di inclinazione ?
g accelerazione di gravità v0 velocità
iniziale,? angolo formato col terreno (alzo)
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Le coordinate del punto P (x,y) che individua la
posizione del proiettile al passare del tempo t
sono x v0x t y v0y t - 1/2 g t2 v0x
componente orizzontale della velocità iniziale
v0 v0y componente verticale della velocità
iniziale v0 L'accelerazione è quella
gravitazionale ed essendo diretta verso la terra
è negativa, quindi va sottratta
Lequazione della traiettoria si ottiene
eliminando il tempo t. Si ha così y v0y /
v0x x - 1/2 g x2/ v0x2
che ha la forma y ax-bx2, ed è l'equazione di
una parabola passante per l'origine e con
concavità rivolta verso il basso e questo prova
che la TRAIETTORIA di un proiettile è una
parabola.
Nel caso in cui un proiettile venga lanciato da
un'altezza h, y ha anche un termine noto, che
significa che parabola descritta non passa per
(0, 0).
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• Per ottenere la traiettoria in funzione dellalzo
  ? essendo
• v0x v0 cos ?
• v0y v0 sin ?
• si ottiene
• x (v0 cos ?) t
• y (v0 sin ?) t - 1/2 g t2
• La funzione che si ottiene eliminando t è
• y (tang ?) x - g/2 v0 2cos2 ? x2

• Per ottenere laltezza massima del proiettile
  corrispondente ad un certo valore di v0 e di ? si
  può determinare il vertice della parabola. Perciò
  si avrà
• ymax v0 2sin2 ? /g

• Per ottenere la gittata intersecando con l'asse
  delle x si ha
• Gittata v02 sin 2? /g

• Variamo la funzione per l'alzo a che varia da
  0 a 90. Si può osservare che la gittata massima
  si ottiene per 45 e che le gittate sono uguali
  per angoli che differiscono ugualmente da
  45,cioè per angoli complementari.

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(No Transcript)
40
Parabola con vertice nellorigine Formule
41
Parabola generica Formule
Q(X,Y)
P(x,y)
W(h,k)
k
V(0,0)
h
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Formule
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(No Transcript)
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Parabola con vertice nellorigine Formule
45
Parabola generica Formule
Q(X,Y)
P(x,y)
W(h,k)
k
V(0,0)
h
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Formule
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(No Transcript)
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Parabola con vertice nellorigine Formule
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Parabola generica Formule
Q(X,Y)
P(x,y)
W(h,k)
k
V(0,0)
h
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Formule
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(No Transcript)
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Antenna parabolica
I grandi radiotelescopi e le antenne paraboliche
con le quali si ricevono le trasmissioni
televisive dai satelliti agiscono secondo lo
stesso principio i segnali, praticamente
paralleli data la grande distanza da cui
provengono, rimbalzano sull'antenna e vengono
concentrati sul ricevitore posto nel suo fuoco,
aumentando così considerevolmente la potenza in
ingresso. In altre parole, l'antenna parabolica
funge da amplificatore, o meglio da condensatore
dei segnali, altrimenti piuttosto deboli,
provenienti dai satelliti.
53
(No Transcript)
54
(No Transcript)
55
Fari dei porti
Lo stesso  principio viene utilizzato in modo
opposto nei fari dei porti, nelle calotte dei
fari per auto e moto e nei proiettori in genere
una luce posta nel fuoco viene irradiata
parallelamente all'asse del fuoco. Un raggio
proveniente dal fuoco viene riflesso dalla
parabola in una direzione parallela all'asse.
fuoco F
LANTERNA di Genova
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Colosso di Rodi
Probabilmente il primo faro ad utilizzare le
proprietà focali della parabola fu proprio il
faro di Rodi, considerato all'epoca una delle
sette meraviglie del mondo. Alto 85 metri poteva
esser visto a circa 50 km di distanza. Esso fu
costruito ad Alessandria  (Rodi era una isoletta
davanti al porto cittadino) nel 280 a. C. cioè
nell'epoca e nei luoghi in cui lo studio delle
coniche da parte dei Greci era in pieno sviluppo.
Colosso di Rodi
57
(No Transcript)
58
Fari auto, flash, proiettori
La luce emessa dalla lampadina posta nel fuoco
della superficie riflettente parabolica dirige i
raggi uscenti in direzione parallela allasse,
creando un fascio di luce meno disperso, di più
alta luminosità direzionata. Tale principio viene
sfruttato in generale nella costruzione di
proiettori
Moto depoca Guzzi Sport14
Ingrandimento della calotta del faro
59
(No Transcript)
60
Fontane
Apparato per mostrare la traiettoria parabolica
dei liquidi (Istituto e Museo di Storia della
Scienza, Firenze, ITALIA). Gli strumenti esposti
in questa sala furono costruiti nell'officina del
Museo di Fisica dal 1775, sotto la direzione di
Felice Fontana (1730-1805).
61
La Barcaccia - Roma
Euroflora Genova
Fontana di produzione
62
Fontana di produzione
63
Fontana di produzione
64
Le 99 cannelle LAquila
65
Fontana delle Naiadi Roma
66
(No Transcript)
67
Fuochi artificiali
68
(No Transcript)
69
Animazione clicca sullimmagine
70
(No Transcript)
71
Specchi ustori
La leggenda secondo la quale Archimede (III sec.
a.C.) avrebbe incendiato le navi romane con uno
specchio ustorio ha dato luogo a ricerche fino al
Seicento inoltrato.
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72
(No Transcript)
73
Ponti sospesi
74
Per approfondimenti vedere scheda
75
Il Golden Gate, sulla baia di S. Francisco, è uno
dei ponti maggiori di questo tipo è stato
costruito negli anni 30 ed ha una luce libera di
1280 m. I cavi dacciaio del Golden Gate hanno 93
cm di diametro e sono formati da 27500 "fili" di
6 mm di diametro, pesano da soli circa 15.000
tonnellate e sostengono un impalcato a 75 m dal
mare. Le torri sono alte 223 m sopra il pelo
dellacqua. Questi dati possono forse aiutare a
capire linteresse per calcolare la " curva"
lungo cui si dispongono i cavi in modo da
conoscere la lunghezza dei tiranti prima di aver
iniziato la costruzione del ponte.
76
Le differenze sono dovute alle forze che agiscono
sui cavi a causa del peso dellimpalcato.
77
SCHEDA
I vertici della nostra spezzata appartengono alla
parabola di equazione y (p/2aT) x2 (b -
ap/8T) con a distanza fra due tiranti
consecutivi b y1 ordinata allorigine p
forza peso T tensione del cavo
78
(No Transcript)
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Proprietà focali della parabola
Il fuoco della parabola ha interessanti proprietà
relative alla riflessione e convergenza dei raggi
luminosi.
fuoco F
Un raggio proveniente  secondo una direzione
parallela all'asse della parabola quando incontra
la superficie parabolica viene riflesso nel fuoco.
80
Se dunque vogliamo concentrare in un punto dei
raggi paralleli (o praticamente paralleli, come
ad esempio quelli del sole) si dovrà usare una
superficie riflettente a forma di parabola
(paraboloide). Se la parabola è orientata verso
il sole allora cattura i raggi solari, cioè tutti
i raggi riflessi convergono nel fuoco F. Così
facendo si può costruire uno specchio ustorio,
capace di incendiare un pezzo di carta o di legno
posto nel suo fuoco. Questa proprietà giustifica
tra l'altro il nome stesso di fuoco.
paraboloide superficie ottenuta dalla rotazione
di una parabola attorno al suo asse
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