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M A T E R I E

• ITALIANO
• GEOGRAFIA
• STORIA
• STORIA DELL ARTE
• FRANCESE
• MATEMATICA

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MATEMATICA

• Il nastro di Moebius
• Come costruire un nastro di Moebius
• Alcune proprietà
• Maurits Escher
• Limiti di funzione

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ALCUNE PROPRIETA'

• La proprietà caratteristica del Nastro di Moebius
  è che ha una sola faccia e un solo bordo (al
  contrario delle superfici che vediamo di solito,
  che hanno due "facce" o due "pagine").
• Per chiarire meglio questa affermazione
  consideriamo un cilindro se immaginiamo di
  camminare sulla faccia esterna del cilindro non
  possiamo sperare di arrivare sulla faccia interna
  senza attraversarne il bordo superiore e così,
  viceversa, se ci troviamo sulla superficie
  interna inoltre, se camminiamo sul bordo
  superiore, non possiamo mai arrivare sul bordo
  inferiore senza attraversare la superficie del
  cilindro.
• Questo può invece accadere sul nastro di Moebius
  camminando sulla parte interna si arriva su
  quella esterna senza dover mai attraversare
  l'unico bordo del nastro.
• Una seconda proprietà consiste nel fatto che,
  tagliando questa superficie a metà lungo una
  linea equidistante dai bordi, anziché ottenere
  due oggetti distinti, come si potrebbe pensare,
  si ottiene un solo nastro, anche se più lungo.

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NASTRO DI MOEBIUS

• Nel 1858 il matematico ed astronomo tedesco
  August Ferdinand Moebius (1790-1860) descrisse
  per la prima volta una nuova superficie dello
  spazio tridimensionale, superficie che oggi è
  nota con il nome di Nastro di Moebius.
• Questa superficie ha interessanti proprietà.
• Una consiste nel fatto che se la si percorre
  lungo l'asse più lungo con un dito, ci si accorge
  che la si percorre tutta ritornando esattamente
  al punto di partenza, senza dover attraversare il
  bordo della striscia il nastro di Moebius ha,
  cioè, una sola faccia, non due, una esterna ed
  una interna come per esempio nel caso di una
  superficie cilindrica.
• Una formica che si trovi su una faccia del
  rettangolo non potrà mai raggiungere del cibo
  sull'altra faccia, se cè dell'insetticida lungo
  tutto il bordo.
• La sua superficie risulta essere infinitamente
  percorribile la formica può raggiungere il cibo
  in qualunque posto del nastro si trovi.

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COME COSTRUIRE UN NASTRO DI MOEBIUS

• Dato un rettangolo
• si ruota di mezzo giro una delle due estremità
  (ad esempio il lato indicato con A)
• infine si incollano insieme le due estremità.

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MAURITS ESCHER

• Maurits Cornelis Escher
• (17 giugno 1898 - 27 marzo 1972) fu un artista e
  pittore olandese.
• Esempi famosi del suo lavoro includono le Mani
  che disegnano (1948), un'opera che raffigura due
  mani che si disegnano l'un l'altra, Salita e
  discesa (1960), nel quale file di persone salgono
  o scendono una scala chiusa in un ciclo infinito,
  su una costruzione che è impossibile da
  costruire, ma che è possibile disegnare solo
  avvalendosi di stranezze della percezione e della
  prospettiva.

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• Nella produzione di Escher gli anni che vanno dal
  1956 al 1970 individuano quello che possiamo
  definire Periodo dell'Infinito.
• L'opera migliore di questo periodo è Limite del
  cerchio III (1959), che sembra sia il frutto
  dell'ammirazione dell'artista per una
  illustrazione di un libro di H.S.M. Coxeter.
• Quest'immagine è una rappresentazione di uno
  spazio iperbolico il cui modello è dovuto al
  matematico francese Poincarè.
• Diamo un'idea dello spazio che Escher ha voluto
  rappresentare.
• Poniamoci al centro del disegno e supponiamo di
  voler camminare fino al bordo di esso.
• Mentre camminiamo ci restringiamo sempre di più,
  proprio come accade ai pesci della figura.
• Per raggiungere il bordo quindi dovremmo
  percorrere una distanza che ci sembrerà infinita,
  ma essendo immersi in questo spazio non ci parrà
  subito ovvio che ci sia qualcosa di inusuale.
• Anche l'ultima opera della sua vita, Serpenti
  (1969), è uno studio sull'infinito.
• In questo caso lo spazio si scontra con
  l'infinito non solo nella direzione del bordo ma
  anche verso il centro del cerchio, producendo un
  restringimento in entrambi i sensi.

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• Ma la stampa più ingegnosa può essere
  considerata Esposizione di Stampe (1956).
  Giudicando questopera secondo i canoni
  tradizionali dell'estetica, si potrebbero trovare
  una quantità enorme di difetti.
• Ma quello che è valido in tutta l'opera di Escher
  qui è esaltato all'ennesima potenza. Egli ha
  raggiunto in questopera il limite della sua
  perspicacia e della possibilità di espressione.
• In questa immagine una persona si trova
  all'interno di una galleria d'arte e sta
  osservando una stampa raffigurante una città
  marittima che, lungo i portici, ospita un
  negozio.
• Quel negozio è una galleria d'arte al cui interno
  si trova una persona che sta osservando una
  stampa raffigurante una città marittima...
• Escher è tornato in qualche modo sul suo
  soggetto la persona è sia nell'immagine che al
  di fuori di essa.
• Questo effetto è stato ottenuto grazie ad una
  griglia che l'artista creò in preparazione a
  quest'opera.

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LIMITI DI FUNZIONE

• Per limiti di funzione y f (x), per x tendente
  ad un certo valore
• che indichiamo con x 8
• Si intende il valore che la funzione tende a
  raggiungere quando alla variabile indipendente x
  si attribuiscono valori
• che si avvicinano sempre di più a x 8