Schemi di moltiplicazione

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Schemi di moltiplicazione

• e qualche trucchetto per le tabelline

A cura di Maria Giovanna Melis
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Indice Schemi
con le dita
Nepero
Moltiplicazione ad una cifra
Moltiplicazione a più cifre
a gelosia
a castelluccio
Egizi
Allindietro
del contadino russo
a crocetta
per scapezzo
medioevale
3
Moltiplicazione con le dita Un vecchio sistema
usato per le tabelline con numeri maggiori di
5
indice
4
Per moltiplicare 8 x 7 si procedeva in questo
modo 1- Si indicava con una mano l8 e con
laltra il 7 2- Si sommavano le dita alzate che
indicavano le decine 3 da 2 da 5 da 3- Si
moltiplicavano tra loro le dita chiuse 2 x 3
6 4- Si sommavano i risultati 50 6 56
5
Gli ltltOssigtgt di Nepero
Così scrive Nepero stesso Eseguire dei calcoli
è operazione difficile e lenta e spesso la noia
che ne deriva e la causa principale della
disaffezione che la maggioranza della gente prova
nei confronti della matematica. Ho cercato
sempre - usando tutti i mezzi che avevo a
disposizione e con le forze che il mio intelletto
mi ha dato - di rendere più agevole e spedito
questo processo. È con questo scopo ben fisso
nella mente che ho elaborato il metodo dei
logaritmi, a cui ho dedicato molti anni di
studio... Nello stesso tempo, a beneficio di chi
volesse far uso solo dei numeri naturali, ho
predisposto altri tre brevi metodi di
semplificazione dei calcoli. Il primo dei quali e
stato battezzato Rabdologia e si basa sull'uso di
alcune asticelle su cui sono scritti i numeri...
Rabdologia, p. 1
http//www.sibiwin.it/matematica/mouseCALC2.htm
indice
6
Luso dei regoli rinascimentali di Nepero sono
dovuti a Lord John Napier barone di Murchiston
(1550-1617), ricco proprietario terriero scozzese
che si interessava di argomenti di varia natura.
Per la matematica si applicò a questioni di
calcolo e di trigonometria e fu linventore dei
logaritmi. Nella sua Rhabdologia del 1617
presentò alcuni ingegnosi artefici per eseguire
le moltiplicazioni e le estrazioni di radici
quadrate (e cubiche) attraverso una tavola
numerica formata da bastoncini mobili. Queste
strisce risultavano intestate ciascuna ad una
cifra della numerazione decimale, da 1 a 9.
Queste informazioni le ho tratte dal libro di
Barbanera e De Luca, Progetto Pitagora, classe
quinta, Giunti Lisciani Editori, 1993
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7
Index fisso
i bastoncini
indice
8
Moltiplicazione ad una cifra Es. 385 x 8

• si avvicinano allindice fisso del moltiplicatore
  i regoli 3, 8, 5
• Facendo scorrere il visore sulla riga 8,
  appariranno nelle finestrelle i numeri
• 2 4 6 4 4 0
• Sommiamo cominciando da destra
• La cifra delle unità è 0 (si guarda lunità del
  regolo 5)
• La seconda cifra, quella delle decine, è 8 (44)
• La terza cifra, quella delle centinaia, è 0
  (46) col riporto di 1
• La quarta cifra, delle unità di migliaia, è 3
  (21 di riporto)
• Il prodotto è 3.080

indice
9
Moltiplicazione a più cifre Es. 742 x 463
indice
1- Si inseriscono i bastoncini contrassegnati con
i numeri 7, 4 e 2, vicino allIndex fisso del
moltiplicatore
2- Facciamo scorrere prima il visore sulla riga
quattro appariranno nelle finestrelle i numeri
2 81 60 8 Sommando come nellesempio
precedente, si ottiene 2.968
3- Facciamo ora scorrere il visore sulla riga 6
appariranno nelle finestrelle 4 22 41 2.
Sommando, si ottiene 4.452
4- Infine, poniamo il visore sulla linea 3
appariranno 2 11 20 6. Sommando si ottiene
2.226
5- Sommiamo i risultati ottenuti, aggiungendo
uno zero al secondo numero, due zeri al terzo, e
così via 2.968 44.520 222.600 270.088
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Schema a reticolo, ltltdei musulmanigtgt, ltlta
gelosiagtgt
324 x 43

1. Si scrive il moltiplicando e il moltiplicatore ai
   lati di un rettangolo o di un quadrato (quando i
   due fattori hanno un numero uguale di cifre)

indice
11
Lo schema a reticolo era in uso nei paesi arabi
per questo veniva chiamato ltltschema dei
musulmanigtgt. In Italia era conosciuto come
ltltschema a gelosiagtgt (gelosia, in questo caso, è
sinonimo di persiane che, messe alla finestra,
proteggevano da sguardi indiscreti)
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2. Ricordando che 324 x 43 324 x (40 3), si
applica la proprietà distributiva, si comincia a
moltiplicare 324 x 4 decine e si scrivono i
risultati come indicato negli schemi
4
4
3
1
6
2
0
8
3
2
1
13
2
3
4
1
0
1
4
6
2
8
1
0
0
3
6
2
9
3. Si moltiplica 324 x 3 e si scrivono i
risultati , come indicato negli schemi
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4. Si addiziona in diagonale a cominciare dalle
unità (2), tenendo conto di eventuali riporti
(21 di riporto)
(981) 1 di riporto
(661)
324 x 43 13 932
indice
A schema gelosia
15
Schema ltlta castellucciogtgt 742 x 463
indice
1- Si moltiplicava 7 x 463. 7 x 321. Si
scriveva 1 sotto il 3 e si riportava 2. A destra
dell1 si scrivevano due zeri in quanto si era
moltiplicato per 7 centinaia.
742 X 463
_______ 100
2- Si moltiplicava 7 x 6 42 più 2 di riporto44.
Si scriveva 4 e si riportava 4. Si moltiplicava
7 x 4 28 più 4 di riporto 32
742 X 463
_______ 324100
4- Si moltiplicava 2 x 463 e si addizionavano i
prodotti parziali 742 X
463 ________
324100
18520 926 _________ 343.546

3- Si moltiplicavano le 4 decine per 463,
mettendo uno zero per indicare che moltiplicavano
le 4 decine. 742
X 463 _______
324100
18520
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Schema ltltall indietrogtgt La stessa
moltiplicazione - 742 x 463 - eseguita con questo
schema, simile al castelluccio. In questo caso,
però, si cominciava a moltiplicare
742 x 463 ___________ 296800 44520
2226 ____________ 343 546
1- 742 x 400 296.800 2- 742 x 60 44.520 3- 742
x 3 2.226
indice
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Gli Egizi e la moltiplicazione
Per eseguire la moltiplicazione, gli antichi
Egizi non avevano bisogno delle tabelline. A
loro bastava saper moltiplicare e dividere per 2
e saper sommare. Si conoscono due modi
Primo modo
Secondo modo
indice
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Questo modo di eseguire la moltiplicazione è di
origine antichissima e viene descritto nel
papiro di Rhind
Per moltiplicare 25 x 11 si scrivevano i due
numeri in colonna
11
25
Si calcolava la metà di 25 (1/2 di 2512 r.1).
Non si teneva conto del resto e si scriveva 12
Si calcolava il doppio di 11e si scriveva.
12
22
Si calcolava la metà di 12 e si scriveva
Si calcolava il doppio di 22 e si scriveva
6
44
Si calcolava la metà di 6 e si scriveva
3
88
Si calcolava la metà di 3 e,non tenendo conto del
resto, si scriveva 1.
Si calcolava il doppio di 88 e si scriveva
1
176
19
Dopo che si raggiungeva l1 (nella colonna dove
si era diviso il numero di partenza a metà), si
cancellavano le righe in cui la metà trovata era
un numero pari. Si sommavano, infine, i raddoppi
rimasti 11 88 176 275
11
25
12
22
6
44
3
88
1
176
275
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20
Per eseguire questa moltiplicazione 26 x 17 gli
Egizi si comportavano in questo modo
Partendo da 1, si raddoppiava fino a trovare il
17. Si fermavano a 16 perché, fra i numeri
scritti, ci sono 16 e 1 che, sommati tra loro,
danno 17
26
1
Partendo da 26, si eseguivano i successivi
raddoppiamenti
X 2
X 2
52
2
104
4
8
208
16
416
442
Si sommavano, infine,i numeri che nella colonna
dei raddoppiamenti corrispondevano a 16 e a 1,
cioè 416 26 442
21
Moltiplicazione del ltltcontadino russogtgt Così
denominato per il fatto che fino a poco tempo fa
era ancora in uso presso i contadini russi.
Questo metodo è simile a quello egiziano.
126 x 42
1- Si formano due colonne di numeri nella prima
colonna, ogni numero successivo al primo è il
doppio del precedente nella seconda colonna la
metà (approssimata allunità inferiore) del
precedente.
2- Si prosegue in tal modo fino a che nella
seconda colonna si ottiene 1.
3- Si evidenziano i numeri dispari presenti nella
seconda colonna e si addizionano i numeri che a
essi corrispondono nella prima colonna. La somma
è il prodotto richiesto.

126 x 42 252 1 008 4 032 5 292
indice
22
Procedimento per ltltscapezzogtgt o per spezzato Si
scompongono entrambi i fattori nella somma di due
o più addendi, a piacere. Es. 56 x 34 56 30206
34 20104 Il prodotto si ottiene
applicando alla moltiplicazione (30206) x
(20104) la proprietà distributiva rispetto
alladdizione. Usare uno schema facilita
30
20
6
20
600
400
120
indice
10
300
60
200
80
24
120
4
56x34 600400120300200601208024 1 904
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Lo schema ltlta crocettagtgt esposto da Fibonacci nel
Liber abaci , e noto agli indiani come
moltiplicazione fulminea, permette di risolvere
la moltiplicazione senza eseguire i prodotti
parziali. Es 153 x 42
153 x 42 (100503) x (402)
1- 40 x 100 4.000 2- 4.000 (40 x 50) 6.000 3-
6.000 (40 x 3) 6.120 4- 6.120 (2 x 100)
6.320 5- 6.320 (2 x 50) 6.420 6- 6.420 (2 x
3) 6.426
indice
24
Lo schema Medioevale, progenitore di quello
attuale
3
4
9
3
7
6
3
4
4
1
3
9
2
8
3
0
2
3
7
9
6
2
2
Questo schema è stato tratto da larte de
labbacho, di autore ignoto, opera stampata a
Treviso nel 1478. Op. cit. Barbanera, De Luca.