Metody Matematyczne w Inzynierii Chemicznej

1
Metody Matematyczne w Inzynierii Chemicznej

• wyklad 1

2
Literatura

• Emil Slavicek, Technika obliczeniowa dla chemików
• Anthony Ralston, Wstep do analizy numerycznej
• Karol Machej, Elementy programowania w jezyku
  BASIC i Pascal, skrypt 1833
• William Volk, Statystyka stosowana dla inzynierów

3
BLEDY OBLICZENIOWE

1. Blad zaokraglenia
2. Blad metody
3. Blad obciecia

4
1. Blad zaokraglenia

• Dokladnie mozna przedstawic tylko liczby
  calkowite i wymierne. Liczby niewymierne zawsze
  zapisujemy z bledem bo uzywamy skonczonej ilosci
  cyfr.
• Przyklad
• Uzywajac 5 miejsc znaczacych
• Popelniamy blad zaokraglenia

5
2. Blad metody

• Jego przyczyna lezy w niedoskonalosci metod
  obliczeniowych, które aby dac dokladny wynik
  wymagaja
• Uzycia nieskonczonej ilosci skladników, np.
  rozwiniecie w szereg Taylora o nieskonczonej
  ilosci wyrazów albo
• Zastosowania nieskonczenie male przyrostów.
• Praktyczne zastosowanie wymaga uzycia skonczonych
  wielkosci.

6
2. Blad metody przyklad

• Obliczyc pochodna w punkcie x 0,4

i xi yi
1 0,1 0,01
2 0,2 0,04
3 0,3 0,09
4 0,4 0,16
5 0,5 0,25
6 0,6 0,36
7 0,7 0,49
8 0,8 0,64

• Wynik dokladny to 0,8
• Blad wynosi 0,1 ?x, metoda jest I-go rzedu

7
2. Blad metody
Rozwiniecie w szereg Taylora
w przedstawionej wczesniej metodzie ograniczono
sie do k1
n 1, h ?x, x xi, xnh xi1
8
2. Blad metody
Dokladniejszy wzór uzyskamy stosujac3 wyrazy w
rozwinieciu w szereg Taylora (k2)
9
2. Blad metody
Stosujac zapis skrócony
Stosujac powyzszy wzór do przykladu
10
3. Blad obciecia

• Dotyczy iteracyjnych metod obliczeniowych (w
  których do rozwiazania zblizamy sie powtarzajac
  obliczenia)
• Do wyniku dokladnego w metodach iteracyjnych
  dochodzi sie po nieskonczonej ilosci powtórzen a
  praktycznie obliczenia trzeba w pewnym momencie
  zakonczyc.

11
3. Blad obciecia
Przyklad znalezc pierwiastek równania
xwynik
i i 1
12
4. Blad systematyczny

• Zwiazany jest z niedokladnymi wskazaniami
  przyrzadów pomiarowych
• Kazdy przyrzad pomiarowy ma okreslona dokladnosc
  nazwana klasa dokladnosci.
• Blad E wskazan przyrzadu oblicza sie mnozac skale
  S przez klase K i dzielac przez 100

13
4. Blad systematyczny
Przyklad manometr ma zakres 250bar i klase 2,5.
W jakich granicach miesci sie zmierzone za jego
pomoca cisnienie
Oznacza to, ze jezeli manometr wskazal cisnienie
100bar to rzeczywiste cisnienie miesci sie w
przedziale lt93,75 106,25gt
14
ALGORYTM
DEFINICJA

• Algorytm jest to jednoznaczny przepis pozwalajacy
  na wykonanie postawionego zadania. Ma nastepujace
  cechy
• Okreslonosc nie ma w nim dowolnosci, czyli
  przypadkowego postepowania
• Ogólnosc pozwala rozwiazac klase zadan a nie
  tylko jedno szczególne zadanie. Np. za algorytm
  mozna uznac przepis na sumowanie dwóch liczb a
  nie taki, który dodaje 2 i 2.
• Efektywnosc oznacza, ze po wykonaniu skonczonej
  i mozliwie najmniejszej ilosci operacji otrzymuje
  sie poprawny wynik

15
Schemat blokowy
DEFINICJA

• Schemat blokowy to graficzny obraz struktury
  algorytmu. Sklada sie z okreslonych
  (znormalizowanych) znaków i symboli graficznych
  (tzw. bloków) polaczonych liniami. Kolejnosc
  wykonywania okreslaja linie laczace bloki, od
  góry na dól i od lewej do prawej, chyba ze
  strzalki stanowia inaczej. Pierwszym elementem
  jest zawsze blok START, a ostatnim KONIEC.
  Operacje wykonywane w danym elemencie wpisuje sie
  wewnatrz bloku.

16
Podstawowe elementy Schematów Blokowych
Poczatek, koniec schematu
Przetwarzanie danych
Operacje wejscia, wyjscia (np. druk)
Blok decyzyjny. Wybór jednej z dróg w zaleznosci
od spelnienia warunku
Proces uprzednio zdefiniowany, podprogram
Laczniki stronicowy i miedzystronicowy
17
Zadanie przykladowe obliczanie wartosci dowolnej
funkcji liniowej dla róznych wartosci zmiennej
niezaleznej

1. Wprowadzic wspólczynniki a i b równania liniowego
2. Wprowadzic wartosc zmiennej niezaleznej x
3. Obliczyc y axb
4. Wydrukowac y
5. Zapytac czy kontynuowac obliczenia dla nowych x
6. Jezeli odpowiedz to tak wtedy powrót do punktu
   2
7. Koniec

18
start
19
Program w BASICu
10 INPUT a, b 20 INPUT x 30 y axb 40 PRINT
y 50 PRINT "Czy liczyc dla nowego x (t/n)" 60
INPUT O 70 IF O "t" THEN GOTO 20 80 PRINT
"Czy liczyc dla nowych parametrów a,b (t/n) 90
INPUT O1 100 IF O1 "t" THEN GOTO 10 110 END
20
Wykorzystanie Visual Basica z Excela

• Wprowadzenie danych
• Z komórek arkusza
• zmiennaActiveCell.Value
• ZmiennaRange(AdresKomórki)
• Z okienka wprowadzania danych
• ZmiennaInputBox(opis okienka)

21
Wykorzystanie Visual Basica

• Wyprowadzanie wyników
• Do komórki arkusza
• ActiveCell.Value zmienna
• Range(AdresKomórki) Zmienna
• W okienku wiadomosci
• MsgBox(Zmienna)

22
Wykorzystanie Visual Basica

• Dodatkowe mozliwosci funkcji MsgBox
• MsgBox(prompt, buttons , title , helpfile,
  context)

23
Wykorzystanie Visual Basica
5 a InputBox("podaj a") b InputBox("podaj
b") 10 x InputBox("podaj x") y a x b
odp MsgBox(y, 5, "wynik") If odp 4 Then
GoTo 10 odp1 MsgBox("czy liczyc dla nowych
parametrów?", 1, "pytanie") If odp1 1 Then
GoTo 5
24
Wykorzystanie Visual Basica

• Zmienne
• Oznaczenia
• Litery (A, B itp.)
• Wyrazy (ilosc, masa itp.)
• Kombinacje liter i cyfr (A1, c3 itp.)
• Kilka wyrazów polaczonych (NazwaZbioru,
  srednica_wew itp.)

25
Wykorzystanie Visual Basica

• Zmienne
• Typy
• Single, 1.401298E-45 do 3.402823E38 (/-) 32bity
• Double, 4.94065645841247E-324 do
  1.79769313486232E308 (64 bity)
• Boolean, false, true
• Byte, 0 to 255
• Integer, -32,768 to 32,767
• Long -2,147,483,648 to 2,147,483,647

26
Wykorzystanie Visual Basica

• Zmienne
• Definiowanie
• Dim NazwaZmiennej As TypZmiennej
• Dim NazwaZmiennej(il_w, il_kol) As TypZmiennej

27
Metody Matematyczne w Inzynierii Chemicznej

• Algorytmy iteracyjne

28
Algorytmy iteracyjne - definicja

• Jest to klasa algorytmów, w których wystepuje
  powtarzanie pewnych kroków obliczen w wyniku
  czego otrzymuje sie rozwiazanie z dokladnoscia
  rosnaca wraz z liczba powtórzen. Calkowicie
  dokladny wynik uzyskuje sie po nieskonczonej
  liczbie powtórzen (iteracji).

29
Przyklad algorytm obliczania pierwiastka liczby
Ngt0
30
Przyklad algorytm obliczania pierwiastka liczby
Ngt0
Wzór iteracyjny
Obliczyc pierwiastek z 9. Jako pierwsze
przyblizenie przyjac x0 6.
31
(No Transcript)
32
(No Transcript)
33
Podstawy teoretyczne procesów iteracyjnych
Rozwazmy zadanie typu
Pierwszy krok to przeksztalcenie do postaci
Z której wynika
Od kolejnych wartosci xk oczekuje sie by
spelnialy warunek
34
Podstawy teoretyczne procesów iteracyjnych
Inaczej mozna to wyrazic wzorem
35
Podstawy teoretyczne procesów iteracyjnych
Warunek zbieznosci wyrazony za pomoca bledu
k-tego kroku
36
Szybkosc zbieznosci procesu iteracyjnego
Zwiazek miedzy ek1 i ek
Rozwijajac funkcje F(x) w szereg Taylora wokól
punktu xkna promieniu h ek mozna wyprowadzic
zaleznosc na zmiane bledu w kolejnym kroku.
Z definicji bledu
37
Szybkosc zbieznosci procesu iteracyjnego
Z definicji przeksztalcenia iteracyjnego
Podstawiajac do rozwiniecia w szereg
38
Szybkosc zbieznosci procesu iteracyjnego
Wprowadzajac oznaczenie
Zakladajac, ze ek jest bardzo male znaczenie ma
ten wyraz, dla którego parametr b jest rózny od
0 przy najmniejszej potedze ek
Z praktycznego punktu widzenia rozpatruje sie
tylko potegi od 1 - 3
39
Szybkosc zbieznosci procesu iteracyjnego
Iteracja pierwszego rzedu
Iteracja drugiego rzedu
40
Szybkosc zbieznosci procesu iteracyjnego
Iteracja trzeciego rzedu
Poniewaz eklt1 to im wiekszy rzad metody tym jest
ona szybciej zbiezna
41
Warunki zbieznosci procesu iteracyjnego w
zaleznosci od jego rzedu
Aby proces iteracyjny byl zbiezny dla dowolnego
kroku kwiekszego od pewnego kroku p musi byc
spelniony warunek

1. Proces pierwszego rzedu

lub
42
Warunki zbieznosci procesu iteracyjnego
W przypadku metod rzedu I-go jedynym warunkiem
zbieznosc jest by modul pochodnej F(x) w
punkcie startowym byl mniejszy od 1.
43
Warunki zbieznosci procesu iteracyjnego
2. Proces drugiego rzedu
W warunku zbieznosci wystepuje wartosc
bledu.Poniewaz jest ona nieznana nie dla
wszystkich punktówstartowych bedzie on mniejszy
od granicznego ep dlatego obliczenia moga nie
byc zbiezne!
44
Warunki zbieznosci procesu iteracyjnego
3. Proces iteracyjny trzeciego rzedu
Podobnie jak w przypadku II-go rzedu osiagniecie
zbieznoscizalezy od przyjetego punktu startowego
45
Praktyczny warunek zakonczenia obliczen
Poniewaz rzeczywista wartosc bledu jest nieznana
jako warunek konczacy obliczenia przyjmuje sie
zaleznosc oparta o róznice rozwiazania
obliczonego w dwóch kolejnych krokach
e - zalozona wartosc okreslajaca dokladnosc
obliczen
Wykorzystuje sie ja w algorytmie, do
sformulowaniawarunku konczacego petle iteracyjna
46
Schemat blokowy algorytmu obliczania pierwiastka
kwadratowego liczby.
start
x0 x1
47
Zwiazek miedzy e i e.
Ile wynosi blad w momencie zakonczenia obliczen
iteracyjnych?
Iteracja pierwszego rzedu
48
Zwiazek miedzy e i e.
Jezeli b1 jest bliskie 1 to blad jest znaczaco
wiekszy e. Np. dla b1 0,9
49
Zwiazek miedzy e i e.
Iteracje wyzszych rzedów
Z warunku zbieznosci
50
Zwiazek miedzy e i e.
Dla iteracji wyzszych bledów rzeczywisty blad
obliczen ek jest zwykle co najmniej o rzad
wielkosci mniejszy od parametru e decydujacego o
zakonczeniu obliczen.