Metody numerycznego znajdowania miejsc zerowych funkcji jednej zmiennej

1
Metody numerycznego znajdowania miejsc zerowych
funkcji jednej zmiennej

• Metody nieinkluzyjne
• Metoda iteracji prostej.
• Metoda stycznych (Newtona).
• Metoda siecznych
• Metody inkluzyjne
• Metoda polowienia (bisekcji).
• Metoda falszywej linii (regula falsi).
• Metoda Pegaza.
• Metody znajdowania zer wielomianów

2
x jest pierwiastkiem pojedynczym
x jest pierwiastkiem wielokrotnym rzedu n
Pierwiastek wielokrotny nieparzystego rzedu
y
Pierwiastek wielokrotny parzystego rzedu
Pierwiastek pojedynczy
x
x
x
x
3
Twierdzenia. 1. Niech fÎCna,b. Wtedy xÎa,b
jest pierwiastkiem n- krotnym f wtedy i tylko
wtedy gdy f(x)f(x)...f(n-1)(x)0 i
f(n)(x)¹0. 2. Jezeli x jest pierwiastkiem
n-krotnym f i f jest odpowiednio wysokiej klasy
to x jest pierwiastkiem pojedynczym
funkcji g(x)f(x)/f(x). 3. Jezeli f jest ciagla
w a,b i f(a)f(b)lt0 to f ma przynajmniej jeden
pierwiastek w a,b (twierdzenie Bolzano).
4

• Ogólny schemat metod iteracyjnego znajdowania zer
  funkcji
• Przeksztalcamy równanie f(x)0 do postaci
• xf(x)
• poprzez podstawienie
• f(x)x-g(x)f(x)
• gdzie g jest funkcja ciagla i g¹0.
• Punkt x taki, ze równanie jest spelnione nazywa
  sie punktem stalym. Czesto postac xf(x) równania
  jest jego postacia naturalna wtedy mówimy o
  metodzie iteracji prostej (przyklad z mechaniki
  kwantowej SCF).
• 2. Tworzymy ciag kolejnych przyblizen
  x(0),x(1),...,x(p),... (w zalozeniu zbiezny do
  x) taki, ze
• x(p1)f(x(p))
• gdzie x(0) jest przyblizeniem poczatkowym. Taka
  procedura jest nazywana procedura iteracyjna a
  funkcja f funkcja iteracyjna.
• 3. Procedure iteracyjna konczymy jezeli kolejne
  przyblizenia x róznia sie odpowiednio malo
  (zbieznosc) lub wykonalismy maksymalna zadana
  liczbe kroków (brak zbieznosci).

5

• Twierdzenie o istnieniu punktu stalego
• Równania xf(x) posiada przynajmniej jedno
  rozwiazanie w przedziale Ia,b, jezeli
• f jest funkcja ciagla w I,
• f(x)ÎI dla wszystkich x ÎI.
• Twierdzenie o jednoznacznosci punktu stalego
• Równanie xf(x) posiada co najwyzej jedno
  rozwiazanie w przedziale I jezeli pierwsza
  pochodna f jest w tym przedziale ograniczona w
  sensie Lipschitza, tj. istnieje taka stala L, ze
  dla kazdego x1 i x2 z przedzialu I mamy
• f(x1)-f(x2)Lx1-x2, 0ltLlt1
• Jezeli f spelnia warunki zawarte w obu
  twierdzeniach, to równanie xf(x) ma jedno i
  tylko jedno rozwiazania w I (istnienie i
  jednoznacznosc).

6
y
y
Zbieznosc jednostajna (0ltf(x)lt1)
x
x(0)
x(1)
x
x(2)
x(0)
x(1)
x(2)
Rozbieznosc (f(x)gt1)
Zbieznosc oscylacyjna (0gtf(x)gt-1)
y
y
x
x(1)
x(0)
x(2)
x
x(1)
x(0)
x(2)
7
Metoda iteracyjna ma rzad zbieznosci r, jezeli
Numeryczne szacowanie rzedu zbieznosci
dla odpowiednio duzych p.
Metoda iteracji prostej jest na ogól rzedu
pierwszego.
8
Metoda Newtona (metoda Newtona-Raphsona, metoda
stycznych)
y
x(1)
x(0)
x
x(2)
Metoda Newtona jest zawsze zbiezna dla funkcji
wypuklych i monotonicznych (f(x)¹0 i f(x)gt0
dla kazdego x) Metoda Newtona jest zbiezna
kwadratowo dla pierwiastków pojedynczych a
liniowo dla pierwiastków wielokrotnych.
9
Tlumiona metoda Newtona (pewniejsza zbieznosc)
k jest najmniejsza liczba calkowita nieujemna
taka, ze
Zmodyfikowana metoda Newtona do znajdowania
pierwiastków wielokrotnych
jezeli znamy rzad pierwiastka (r).
jezeli nie znamy rzedu pierwiastka.
W tym przypadku oryginalne równanie f(x)0
zastepujemy równaniem f(x)/f(x)0.
10
Metoda siecznych(nazywana równiez metoda regula
falsi)
y
x(2)
x(1)
x(0)
x
Rzad zbieznosci metody siecznych wynosi
Metoda siecznych nie musi byc zawsze zbiezna. Dla
pierwiastków wielokrotnych f(x) zastepujemy przez
11
Metoda falszywej linii (regula falsi)(nazywana
równiez uproszczona metoda regula falsi)

1. Start z x(0) i x(1) takich, ze f(x(0))f(x(1))lt0
   (funkcja ma rózne znaki).
2. Do obliczenia nastepnego x stosujemy
   zmodyfikowany wzór metody siecznych

gdzie q jest najwieksza liczba calkowita nie
wieksza niz p-2 taka, ze f(x(p))f(x(q))lt0 (tj.
funkcja ma rózne znaki w x(p) i x(q) a zatem
pierwiastek musi zawierac sie w przedziale
x(p),x(q) jezeli funkcja jest ciagla Metoda ma
gwarantowana zbieznosc dla funkcji ciaglych ale
jej rzad w ogólnosci wynosi 1 (wolna zbieznosc).
12
Metoda Pegaza ilustracja graficzna
y
f(1)f(2)
f(2)
f(1)
x(0)
x
x(1)
x(2)
f(0)
f(0)
13
Metoda Pegaza - algorytm

• Startujemy jak w metodzie falszywej linii z
  takich x(0) i x(1), ze f(x(0))f(x(1))lt0.
• Obliczamy punkt x(2) zgodnie z algorytmem metody
  siecznych. Jezeli f(x(2))lte, konczymy proces
  iteracyjny.
• Jezeli f(x(1))f(x(2))lt0 (pierwiastek lezy
  pomiedzy x(1) i x(2)) wstawiamy x(0)x(1) i
  x(1)x(2) i przechodzimy do nastepnego kroku.
• Jezeli f(x(0))f(x(2))lt0 (pierwiastek lezy
  pomiedzy x(0) i x(2)) zastepujemy we wzorze
  metody siecznych f(0) przez f(0)f(0)f(2)/(f(1)f
  (2)), wyliczamy x(2) jeszcze raz i wstawiamy
  x(1)x(2).
• Sprawdzamy, czy x(2)-x(1)lte. Jezeli tak, to za
  rozwiazanie przyjmujemy x(1), jezeli
  f(x(1))ltf(x(2)) a x(2) w przeciwnym przypadku.
• Rzad zbieznosci metody Pegaza wynosi 1.642.

14
Metoda polowienia (bisekcji)
y
x(0)
x(1)
x
x(2)

• Startujemy z takich x(0) i x(1), ze
  f(x(0))f(x(1))lt0.
• Obliczamy x(2)(x(0)x(1))/2. Jezeli f(x(2))lte
  konczymy proces iteracyjny.
• Jezeli f(x(0))f(x(2))lt0 wstawiamy x(1)x(2), w
  przeciwnym przypadku x(0)x(1), x(1)x(2).
• Metoda bisekcji jest rzedu pierwszego.

15
Inne metody znajdowania zer

1. Metoda Andersona-Björcka (rzad zbieznosci od
   1.682 do 1.710, inkluzyjna) jak metoda Pegaza
   ale z inna formula obliczania f(0)
   f(0)f(0)(1-f(2)/f(1)) jezeli 1-f(2)/f(2)gt0 i
   f(0)/2 w przeciwnym przypadku.
2. Metoda Kinga (rzad zbieznosci od 1.710 do 1.732,
   inkluzyjna) w odróznieniu od metody Pegaza po
   kazdej iteracji metody siecznych nastepuje
   iteracja z modyfikacja f(0).
3. Metoda Andersona-Björcka-Kinga (rzad zbieznosci
   od 1.710 do 1.732, inkluzyjna) formula
   Andersona-Björcka obliczania f(0) ze schematem
   iteracyjnym Kinga.
4. Metoda Illinois (rzad zbieznosci 1.442,
   inkluzyjna) jak metoda Pegaza ale f(0)f(0)/2.

16
Znajdowanie wszystkich pierwiastków równan
algebraicznych (wielomianów)

• Metoda Mullera
• Lokalizujemy pierwiastek o najmniejszym module
  (x1).
• Po znalezieniu jego przyblizonej wartosci
  dzielimy wielomian przez (x-x1), ignorujemy
  reszte z dzielenia a nastepnie szukamy nastepnego
  pierwiastka az do rzedu n.
• Po znalezieniu przyblizen wszystkich pierwiastków
  porzadkujemy je od nowa od wartosci najmniejszej
  do najwiekszej i powtarzamy cykl (procedura
  Wilkinsona).
• Przyblizenia poszczególnych pierwiastków
  poprawiamy stosujac jakakolwiek metode szybko
  zbiezna (np. Newtona).

17
Do efektywnego znajdowania dobrych przyblizen
pierwiastków bardzo dobrze nadaje sie metoda
iteracji Mullera, w której wielomian interpoluje
sie odcinkami paraboli. Pozwala to na lokalizacje
zarówno pierwiastków rzeczywistych jak i
zespolonych.