Le Principe de Moindre Action

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Le Principe de Moindre Action
ALBERT Mathias Mécanique 2005
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Le Principe de Moindre Action

• Approche Intuitive quel est le plus court
  chemin ?
• Approche Historique De Maupertuis à Lagrange
• Action et Mécanique Quantique Approche Moderne à
  la Feynman
• Applications

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Le Principe de Moindre Action

• Approche Intuitive quel est le plus court
  chemin ?
• Approche Historique De Maupertuis à Lagrange
• Action et Mécanique Quantique Approche Moderne à
  la Feynman
• Applications

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Approche Intuitive

• Idée de Base Appréhender un mouvement dans sa
  globalité et non par une approche infinitésimale
• Recherche dun principe premier dictant les
  trajectoires physiques

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Approche Intuitive
Espace
Temps
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Approche Intuitive

• Principe Premier Parmis tous les chemins
  possibles, Le Chemin Physique est celui de plus
  COURTE DISTANCE.

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Approche Intuitive

• Principe Premier Parmis tous les chemins
  possibles, Le Chemin Physique est celui de plus
  COURTE DISTANCE.

z
x
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Approche Intuitive

• Principe Premier Parmis tous les chemins
  possibles, Le Chemin Physique est celui de plus
  COURTE DUREE.

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Approche Intuitive

• Principe Premier Parmis tous les chemins
  possibles, Le Chemin Physique est celui de plus
  COURTE DUREE.

Si lon prend un point de vue dans lespace
temps, pour aller dun point A(xa,ta) à un point
B(xb,tb) le temps est constant et égale à tb-ta
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Approche Intuitive

• Principe Premier Parmis tous les chemins
  possibles, Le Chemin Physique est celui qui
  coûte le moins dENERGIE.

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Approche Intuitive

• Principe Premier Parmis tous les chemins
  possibles, Le Chemin Physique est celui qui
  coûte le moins dENERGIE.

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Approche Intuitive

• Principe Premier Parmis tous les chemins
  possibles, Le Chemin Physique est celui qui
  minimise LACTION.
• ACTIONTransfert entre réservoirs dénergie

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Le Principe de Moindre Action

• Approche Intuitive quel est le plus court
  chemin ?
• Approche Historique De Maupertuis à Lagrange
• Action et Mécanique Quantique Approche Moderne à
  la Feynman
• Applications

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Approche Historique
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Approche Historique
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Approche Historique
Leonhard Euler quelques années plus tard Les
corps tendent à adopter un état dénergie
potentielle minimale
Qui a raison?
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Approche Historique
Vs
Les Deux sont équivalentes
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Approche Historique
Joseph Louis Lagrange (1788)
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Le Principe de Moindre Action

• Approche Intuitive quel est le plus court
  chemin ?
• Approche Historique De Maupertuis à Lagrange
• Action et Mécanique Quantique Approche Moderne à
  la Feynman
• Applications

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Approche Moderne
Avec sa formulation par intégrale de chemins
Feynman a fait émerger La Mécanique Classique de
la Physique Quantique
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Approche Moderne
Avec sa formulation par intégrale de chemins
Feynman a fait émerger La Mécanique Classique de
la Physique Quantique
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Approche Moderne
Amplitude de Probabilité daller de (xa,ta) à
(xb,tb) SOMME des Probabilités pour Chaque
Chemin
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Approche Moderne
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Approche Moderne
Lien entre la Mécanique Quantique et Mécanique
Classique Comment une Particule trouve-t-elle
le chemin dAction Stationnaire?
Cest la Nature Ondulatoire qui Dicte la
Trajectoire
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Approche Moderne
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Le Principe de Moindre Action

• Approche Intuitive quel est le plus court
  chemin ?
• Approche Historique De Maupertuis à Lagrange
• Action et Mécanique Quantique Approche Moderne à
  la Feynman
• Applications

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Applications

• Postulats de quantification Mécanique de Bohr
  Sommerfeld
• Théorie des Champs
• Relativité générale
• Théorème de Noether

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Mécanique de Bohr-Sommerfeld

• But trouver les conditions de quantification
  de systèmes physiques par des méthodes
  semi-classiques
• Idée quantifier lAction

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Ex LOscillateur Harmonique
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Ex2 Latome dHydrogène
v
e-
Trajectoire Circulaire Snh
r
p
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Théorie des Champs

• Comment trouver les équations dun système ayant
  un nombre Infini de Degrés de Liberté?
• Comment Quantifier un Champs? Problème de la
  seconde quantification

Réponse Utiliser le Formalisme Lagrangien bien
sûr!
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Théorie des Champs
Il faut définir une nouvelle fonction de
Lagrange La densité Lagrangienne dun champ fk
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Théorie des Champs
On peut quantifier les champs avec le formalisme
canonique On cherche les variables conjuguées
opérateurs
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Relativité Générale

• Hilbert a établi les équations dEinstein à
  laide du principe de Moindre Action

Equation dEinstein Dans le vide
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Relativité Générale

• Pour Obtenir les équations en présence de matière
  on doit rajouter un terme à lAction

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Théorème de Noether

• Comment faire le lien entre les symétries et les
  lois de conservations dun système physique?

Théorème Si laction est invariante sous une
transformation de symétrie alors il existe un
courant localement conservé.
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Merci
Questions?
Bibliographie

• http//jac_leon.club.fr/Zooms/action/action0.htm
• Mécanique quantique avancée Forme Lagrangienne
  de la mécanique quantique. Cours de dea
• Electrodynamique classique et quantique. JJ
  Labarthe, cours de M1 physique fondamentale
• Lecture Notes on General Relativity - S_ Carroll
• Introduction à la mécanique quantique. Elie
  Belorizki