Chapitre 24

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Chapitre 24 Modèles de taux dintérêt
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Introduction

• sous-jacent obligations et taux dintérêt
• Vasicek et Cox-Ingersoll-Ross modèles du taux
  court
• Black taux forward suivent une loi lognormale
• Black-Derman-Toy modèle binomial du taux court

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24.2 Modèles déquilibrepour le taux court

• modèles de la forme
• les valeurs de ?(r), ?(r), ?(r) diffèrent dun
  modèle à lautre
• modèles considérés
• Mouvement Brownien Arithmétique
• Rendleman-Bartter
• Vasicek
• Cox-Ingersoll-Ross

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Mouvement Brownien Arithmétique

• Modèle
• Désavantages
• taux peut être négatif
• dérive constante (pas de retour à la moyenne)
• volatilité constante et indépendante du taux

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Rendleman-Bartter (1980)

• Modèle mouvement brownien géométrique
• Désavantage
• dérive constante (pas de retour à la moyenne)
• Avantages
• taux toujours positif
• volatilité proportionnelle au taux

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Vasicek (1977)

• Modèle
• Désavantage
• taux peut être négatif
• Avantages
• retour à la moyenne
• volatilité proportionnelle au taux

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Cox-Ingersoll-Ross (1985)

• Modèle
• Avantages
• taux toujours positif
• retour à la moyenne
• volatilité croît avec le taux

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24.3 Modèle de Black et options sur obligations

• Hyp. on suppose que le prix des obligations suit
  une loi lognormale
• P(T,Ts) prix au temps T de 1 versé au temps
  Ts
• Versement dune option dachat max0, P(T,Ts) -
  K
• Prix dune option dachat

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Modèle de Black et options sur taux dintérêt

• Versement dun caplet (taux plafond avec 1 seul
  versement) max0, RT - KR reçu à Ts
• RT RT(T,Ts) rendement effectif sur la
  période (T,Ts) selon la courbe des rendements à
  T
• Valeur à T du versement reçu à Ts

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Modèle de Black et options sur taux dintérêt

• Valeur à T du versement reçu à Ts
• correspond au versement de (1KR) options de
  vente sur obligation

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24.4 Modèles  sans arbitrage 

• On construit un arbre pour lévolution des taux
  dintérêt
• On considère un ensemble de titres, généralement
  des obligations coupon zéro de différentes
  échéances et on sassure que larbre permet de
  reproduire les prix observés sur les marchés.

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Black-Derman-Toy

• Données
• PM(0,ih) i1,2,...
• ?i
• p0,5
• But
• trouver les Rih tels que PBDT(0,ih) PM(0,ih)
• pas de solution analytique requiert
  lutilisation de méthodes numériques