Fonction drive

1
Fonction dérivée

• Jacques Paradis
• Professeur

2
Plan de la rencontre

• Volet historique
• Dérivée en un point
• Taux de variation instantanée
• Vitesse instantanée
• Définition de la fonction dérivée
• Notation de la fonction dérivée
• Fonction et fonction dérivée
• Continuité versus dérivée

3
Historique

• Avant le XVIe siècle
• Coexistence de la géométrie et de lalgèbre
• Vers XVIIe Alliance de la géométrie et de
  lalgèbre
• Descartes (René) 1596-1650
• Fermat (Pierre de) 1601-1665
• Premier à donner une méthode générale pour la
  détermination des tangentes à une courbe plane
• Fondateur de la théorie moderne des nombres
• Créateur, avec Leibniz et Newton, du calcul
  infinitésimal.

4
Descartes

• Né à La Haye, dans une famille noble de Touraine
• Philosophe, physicien et mathématicien français
• Considéré comme le fondateur de la philosophie
  moderne (la réflexion cartésienne est non
  seulement rationnelle mais aussi personnelle)
• Son oeuvre
• Le Discours de la Méthode (1637)
• La Géométrie (essai de la méthode)
• Créateur de la branche des mathématiques appelée
  géométrie analytique fusion de la géométrie et
  de lalgèbre

5
Son apport aux mathématiques

• Rigueur mathématique
• Conduire par ordre ses pensées pour atteindre
  la vérité grâce à lintuition évidente et à la
  déduction nécessaire (fonder ses démonstrations
  sur les évidences et ses connaissances déjà
  démontrées)
• Application des méthodes de lalgèbre aux
  problèmes de géométrie
• Utilisation dune méthode des coordonnées pour
  déterminer un point dans le plan
• Variables (x, y, z...) et valeurs connues (a, b,
  c)
• Ouverture au calcul infinitésimal

6
Système de coordonnées

• Soit à positionner le point (3 , 2)

Faux (nombres négatifs)
Vrai (nombres positifs)
7
Dérivée en un point (définition)

• La dérivée dune fonction f(x) au point P(a ,
  f(a)), notée f(a), est définie par
• f(a)
• pente de T
• taux de variation instantané, noté TVIxa

T
f(x) est une fonction continue en x a
7
8
Dérivée en un point (remarque)

• Lévaluation de la dérivée dune fonction f(x) au
  point P(a , f(a))
• définie par f(a)
  
• conduit toujours à une indétermination de la
  forme

9
Dérivée en un point (Exemple)

• Soit f(x) 2x2 x 3
• a) Trouver laccroissement de f(x) sur -1 , 2
• b) Trouver le taux de variation moyen sur -1 ,
  2
• c) Trouver le taux de variation instantané en x
  -1
• d) Trouver léquation de la tangente à la courbe
  au point dabscisse x-1

10
Dérivée en un point (Vitesse)

• Vitesse instantanée à linstant t a
• Soit x(t) la position dun objet à linstant t,
• La vitesse instantanée de cet objet au temps t
  a est définie par
• vta

11
Exemple

• Un individu, placé sur le toit dun immeuble de
  50 m, lance une balle vers le haut. La hauteur de
  cet objet, à linstant t, est donnée par x (t)
  50 10t -2,5t 2.
• Quelle est la vitesse instantanée de la balle à
  la deuxième seconde?
• Quelle est la signification de votre résultat?
• Quelle est la vitesse instantanée de la balle à
  la troisième seconde?

12
Fonction dérivée (pertinence)

• Exemple Soit f(x) 3x2 4
• f(1)
• f(2) ?

13
Fonction dérivée (définition)

• Soit f(x) une fonction continue, la fonction
  dérivée de f(x) est définie par
• f(x)
• pente de T (en fn de x)
• taux de variation instantané

T
14
Notation

• f(x)
• Soit y f(x), on note
• y , , , ,
• f(a) peut se noter yxa ,
  ,

15
Exemple

• Déterminer f(x) si f(x) (x 3)/(x 1)
• Remarque
• f(2) -4
• f(1) nexiste pas
• Domf IR / 1
• Exercice Déterminer la fonction donnant le taux
  de variation instantané du volume dune cube par
  rapport à larrête s (s en cm).

16
Fonction et fonction dérivée

• Soit f(x) 2x3 8x2 2x 6 et f(x) 6x2 16x
  2

17
Continuité versus dérivée (1 de 3)

• Fonction dérivable en x a ? fonction continue en
  x a

18
Continuité versus dérivée (2 de 3)

• Fonction non continue en x a ? fonction non
  dérivable en x a

19
Continuité versus dérivée (3 de 3)

• Fonction continue en x a ? fonction dérivable en
  x a
• Les sécantes ne tendent pas vers une tangente
  unique, donc pas de dérivée.

/
20
Continuité versus dérivée (3 de 3)

• Fonction continue en x a ? fonction dérivable en
  x a

/
21
Devoir

• Exercices 3.2, page 109, 1, 2a, 2b, 3, 4b, 5,
  8b, 8c, 9, 10.
• Exercices 3.3, page 116, 1 à 4, 6, 7.
• Exercices récapitulatifs, page 119, 8a et 8b,
  9a à 9c, 10, 12c, 13a et 13g, 17a à 17f
• Réponses du 8aii -3, du 8bii 0, du 10 4,
  -2, 0, 1, du 13g 54 cm2/cm et du 17
  f,f,v,v,f,v.
• Problèmes de synthèse, page123, 1e, 1g (-1,4)
  et 1j y2x7.

Exercices à remettre
22
Devoir

• Exercices 3.2, page 109, 1, 10.
• Exercices 3.3, page 116, 1 à 4, 6, 7.
• Exercices récapitulatifs, page 119, 8a et 8b
  8aii -3 et 8bii0, 9a à 9c, 12c y7x-22,
  17a à 17f f,f,v,v,f,v.
• Problèmes de synthèse, page123, 1e
  f(x)-2x-2, 1g (-1,4), 1 j y2x7, 2a à 2d
  f(-2)60, x(1,5)3ab, y-?2/2, g(1)0, 3.
• Page 233, 11a

23

• The only way to do good work in mathematics and
  to preserve his health was never to allow anyone
  to make him get up in the morning before he felt
  inclined to do so.
• Descartes
• Je pense donc je suis.