La disjonction : R ou S

1
CHAPITRE 2
Nombres entiers, initiation à larithmétique-
Nombres rationnels
2
Nombres entiers, initiation à larithmétique,
nombres rationnels.

• Lensemble N des entiers positifs
• Lanneau Z des entiers relatifs
• Nombres rationnels

3
Lensemble N des entiers positifs
4
Les axiomes de N (G. Peano)

• 1. N contient au moins un élément (noté  0 )
• 2. Tout élément n de N admet un successeur S(n)
• 3. Deux éléments ayant mêmes successeurs sont
  égaux
• 4.  0  nest successeur daucun élément
• 5. Le seul sous-ensemble de N contenant à la fois
  0 et les successeurs de tous ses éléments est N
  tout entier (principe de récurrence)

G. PEANO (1858-1932)
5
Deux opérations sur N

• somme a
• répéter b fois
• somme S (somme)

• produit 0
• répéter a fois
• produit produit b

a b
a x b
6
Un ordre total sur N
a  est plus petit que b 
Il existe un élément x de N tel que b a x
Cet ordre est compatible avec addition et
multiplication
a b b
7
Trois propriétés  clef  de N (équivalentes aux
axiomes de Peano)

• 1. Toute partie A non vide possède un plus petit
  élément (borne inférieure)
• 2. Toute partie A non vide et majorée admet un
  plus grand élément (borne supérieure)
• 3. Lensemble N tout entier na pas de majorant

(1) Cet ordre est total (on peut
toujours comparer deux éléments)
8
Les deux principes de récurrence
Données une assertion R n où figure le
caractère  n  et un nombre entier n0 fixé
PRINCIPE 1
Lassertion
( R n0 et pour tout n plus grand que n0 , R
n R n1 )
(pour tout n plus grand que n0 , R n)
est une évidence dans laxiomatique de Peano
PRINCIPE 2
Lassertion
R n0 et pour tout n plus grand que n0 , R k
OK pour kn0,,n Rn1
(pour tout n plus grand que n0 , R n)
est une évidence dans laxiomatique de Peano
9
Les nombres premiers illustration de deux
modèles de raisonnement

• Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 admet un
  diviseur premier (preuve par récurrence)
• Il y a une infinité de nombres premiers (preuve
  par labsurde)

10
Le théorème dEuclide
Soient a et b deux entiers positifs avec b non
nul. Il existe un UNIQUE couple dentiers (q,r)
tels que
a b q r
et
r est entre 0 (inclus) et b-1 (inclus)
Définition le nombre r est dit RESTE dans la
division EUCLIDIENNE de a par b. Le nombre q est
dit QUOTIENT dans la division EUCLIDIENNE de a
par b.
11
Quelques applications du théorème
dEuclide

• La recherche du PGCD
• Le développement en base b

Deux  programmes  basés sur lalgorithme
dEuclide
fonction PGCD PGCD (a,b)
fonction X newbase (a,b)
12
fonction PGCDPGCD (a,b) Lalgorithme dEuclide
Al-Khwarizmi (780 Bagdad 850)

• xa
• yb
• tant que ygt0
• q,r div(x,y)
• si r0
• PGCD y
• y 0
• sinon
• q1,r1 div(y,r)
• x r
• PGCD x
• yr1
• fin
• fin

a b q0 r0 PGCD (a,b) PGCD (b,r0)
b r0 q1 r1 PGCD (b,r0) PGCD
(r0,r1) r0 r1 q2 r2 PGCD (r0,r1)
PGCD (r1,r2) .. . . .
.. rN-2 qN rN-1 rN PGCD
(rN-2,rN-1) PGCD(rN-1,rN) rN-1 qN1 rN 0
PGCD (rN-1,rN) rN
13
fonction Xnewbase (a,b) Comment écrire a en
base b  ?

• X
• xa
• tant que x gt 0
• q,r div (x,b)
• xq
• Xr , X
• fin

a b q d0 b (b q1 d1) d0 b (b
(b q2 d2) d1) d0 d0 d1 b
dN-1 bN-1
a dN-1 dN-2 d2 d1 d0
14
Lanneau Z des entiers relatifs

• Construction de lanneau ordonné (Z,,x)
• Un exemple de calcul algébrique lidentité de
  Bézout

François Viète 1540 1603
Etienne Bézout 1730 1783
15
La construction de Z à partir de lensemble N x N
des couples dentiers positifs ou nuls
GAIN
PERTE
(a,b) (p,q) a q b p
Si b gt a, la classe (a,b) est notée
b-a
Si a gt b, la classe (a,b) est notée
- (a-b)
Si a b, la classe (a,a) est notée
0
16
N sous-ensemble de Z
Z
(a,b), bgta ou ab N
(a,b), blta Z\N
Deux opérations
(a1 , b1) (a2 , b2) (a1 a2 , b1
b2) (a1 , b1) x (a2 , b2) (a1b2 a2b1
, a1a2 b1b2)
17
et un ordre total prolongeant lordre sur N en
incorporant les deux règles additionnelles
suivantes

• Si a et b sont des éléments de N, -a est
  inférieur ou égal à b
• Si a et b sont des éléments de N, -a est
  inférieur ou égal à b si et seulement si b est
  inférieur ou égal à a.

Lordre est compatible aux deux opérations
18
Propriétés des opérations
(Z,) groupe abélien
Addition

• Commutativité
• xyyx
• Associativité
• x(yz) (xy)z
• Elément neutre 0
• x0 0x x
• Tout élément x admet un  opposé  -x
• x(-x) (-x)x 0

(Z,,x) anneau commutatif unitaire
Multiplication
x

• Commutativité
• x x yy x x
• Associativité
• x x (y x z) (x x y) x z
• Elément unité 1(0,1)
• x x 1 1 x x x

Distributivité mult/addition x x (yz) (x x
y) (x x z)
19
Propriétés de Z liées à lordre
Toute partie non vide et minorée admet en son
sein un plus petit élément (borne inférieure)
Toute partie non vide et majorée admet en son
sein un plus grand élément (borne supérieure)
20
Un exemple de calcul algébrique dans Z
lidentité de Bézout
1730 - 1783
21
La division dans Z
Soient A et B deux entiers relatifs On dit
que B divise A sil existe un entier relatif q
tel que ABq.
PGCD (A,B) PGCD (A,B) (si A,B non
tous les deux nuls)
22
Le théorème de Bézout 1. Clause dexistence
Soient a et b deux entiers relatifs non tous les
deux nuls et d leur PGCD
Il existe au moins un couple dentiers (u0,v0)
dans Z2 tel que
a u0 b v0 d ()
23
Une démarche algorithmique récursivefonction
PGCD,u,v bezout (a,b)
x a y abs(b) q,r div (x,y) si r
0 PGCD y u0 v1 sinon
d , u1 ,v1 bezout (y,r) PGCD d
u v1 v signe (b) (u1- qv1) fin
a b q0 r0 b r0 q1 r1
r0 r1 q2 r2 .. . . rN-3
qN-1 rN-2 rN-1 rN-2 qN rN-1 d
rN-1 qN1 d 0 PGCD (rN-1,rN) d
d rN-2 qN rN-1 rN-2 qN ( rN-3 qN-1
rN-2) u a v b
24
Le théorème de Bézout 2. Clause dunicité
On suppose a et b non nuls, de PGCD égal à d,
avec a d a, b d b et
PGCD(a,b)1
Les solutions (u,v) dans Z2 de léquation
a u b v d ()
sont exactement les couples de la forme
(u0 b k, v0 a k) où k désigne un
entier arbitraire et (u0,v0) une solution
particulière de ()
25
Le lemme de Gauss
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls
On suppose PGCD (a,b) 1
Alors, si c est un nombre entier relatif tel que
b divise ac, nécessairement b divise c.
Carl F. Gauss (1777-1855)
26
Le théorème dEuclide (élargi
à Z)
Soient a un entier relatif et b un entier
positif non nul. Il existe un UNIQUE couple
dentiers (q,r) tels que
a b q r
et
r est entre 0 (inclus) et b-1 (inclus)
Définition le nombre r est dit RESTE dans la
division EUCLIDIENNE de a par b. Le nombre q est
dit QUOTIENT dans la division EUCLIDIENNE de a
par b.
27
Nombres rationnels

• Fractions et développements décimaux périodiques
  deux approches des rationnels

28
Fractions la construction de Q à partir de
lensemble Z x N
le point de vue  abstrait 
(a,b) (p,q) dans Z x N a q p b
La classe (a,b) est notée
a/b
Dénominateur
Numérateur
29
Z sous-ensemble de Q
Q\ Z (a,b) a non multiple de b
Z(a,b) a multiple de b
Deux opérations
(a1,b1) (a2,b2) (a1 b2a2 b1 , b1
b2) (a1,b1) x (a2,b2) (a1a2 ,
b1b2)
30
Propriétés des opérations
(Q ,) groupe abélien
Addition

(Q,, x) corps commutatif

• Commutativité
• xyyx
• Associativité
• x(yz) (xy) z
• Elément neutre 0
• x0 0 x x
• Tout élément x admet un  opposé  -x
• x (-x) (-x) x 0

Multiplication
x

• Commutativité
• x x yy x x
• Associativité
• x x (y x z) (x x y) x z
• Elément unité 1 (1,1)
• x x 1 1 x x x
• Tout élément non nul admet un inverse pour la
  multiplication
• (a,b) x (b,a) 1

Distributivité mult/addition x x (yz) (x x
y) (x x z)
31
Fractions développements décimaux
le point de vue  concret  (hérité de
lenseignement primaire)
32
Rationalité développement décimal
périodique
23456
33567
0
3315 8
0
0 , 6
9
Lun des 33567 restes possibles !
33
Développement décimal périodique
rationalité
___ x 12, 431572
___ 1000 x
12431 0, 572

___ 1000 (1000 x 12431) 572, 572
1000 (1000 x -12431) 572 1000 x - 12431
x (999 x 12431 572)/999000
34
Fractions écriture décimale et décimaux
x m 0, d1 d2 d3 d4 dp ..
Partie entière
décimales
_ m
O, d1 d2 d3 d4 dN 0

nombres décimaux

_ m O, d1 d2 d3 d4 (dN-1) 9
35
Un  manque  à Q un ensemble majoré na pas
nécessairement de plus petit majorant dans Q !

• Exemple lensemble des nombres rationnels
  positifs dont le carré est inférieur ou égal à 2
  !

Il faut en connaître une (ou plusieurs) preuves
!!
36
Fin du chapitre 2